---微分方程---.md

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数学	[[--微积分--]]	Cyletix	7

目录

1. [[微分方程基本概念]]
2. [[可分离变量的微分方程]]
3. [[齐次方程]]
4. [[一阶线性微分方程]]
5. [[高阶微分方程降阶]]
6. [[高阶齐次线性微分方程]]
7. [[常系数线性微分方程]]
8. [[欧拉方程]]

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微分方程的特征

微分方程具有多种特征，这些特征决定了解法的选择。以下是微分方程常见的一些主要特征：

1. 阶数：
   • 一阶微分方程：含有一阶导数的最高阶导数。
   • 二阶微分方程：含有二阶导数的最高阶导数。
   • 高阶微分方程：含有三阶或更高阶导数。
2. 线性：
   • 线性微分方程：方程中的未知函数及其导数均以一次幂出现，且未知函数的系数仅依赖于自变量。
   • 非线性微分方程：方程中的未知函数或其导数的幂次超过一，或者未知函数的系数依赖于未知函数本身。
3. 系数：
   • 常系数微分方程：方程中所有的系数都是常数。
   • 变系数微分方程：方程中至少有一个系数是自变量的函数。
4. 齐次：
   • 齐次微分方程：方程的自由项（不含未知函数及其导数的项）为零。
   • 非齐次微分方程：方程的自由项不为零。
5. 可分离变量：
   • 可分离变量的微分方程：方程可以重写为未知函数的导数与自变量的函数的乘积的形式，从而可以通过分离变量来解决。
6. 特殊类型：
   • 伯努利方程：一类特殊的非线性微分方程，形式为$y' + p(x)y = q(x)y^n$。
   • 欧拉方程：一类具有特定形式$x^ny^{(n)} + ... + p(x)y = q(x)$的微分方程。
   • 悬链线方程：形如$\frac{d^2y}{dx^2} = a(1 + (\frac{dy}{dx})^2)^{3/2}$的非线性二阶微分方程。
7. 解的结构：
   • 基本解集：线性齐次微分方程的一组解，任何解都可以表示为这组解的线性组合。
   • 特解：特定于非齐次微分方程，是任何满足非齐次方程的特定解。
   • 朗斯基行列式：用于判断一组解是否线性独立，对于齐次方程特别有用。
8. 边界条件和初始条件：
   • 初始条件：给定微分方程在某一点的值，用于求解初值问题。
   • 边界条件：给定微分方程在定义域边界的值，用于求解边界值问题。

微分方程解法总结

流程

1. 判断微分方程的阶数：

   • 如果是一阶微分方程，转到步骤2。
   • 如果是二阶或更高阶微分方程，转到步骤3。

2. 一阶微分方程：

   • 判断是否为线性方程（即形式为$y' + p(x)y = q(x)$）。
   • 如果是线性方程，使用一阶线性微分方程的通解方法。
   • 如果是可分离变量的形式（$y' = g(x)h(y)$），使用变量分离法。
   • 如果是伯努利方程（形式为$y' + p(x)y = q(x)y^n$），使用伯努利方程的特定变换。
   • 如果可以化为齐次方程，使用对应的变换方法。

3. 二阶或更高阶微分方程：

   • 判断方程是否为常系数方程。
     • 如果是常系数齐次线性微分方程，使用特征方程法。
     • 如果是常系数非齐次线性微分方程，使用待定系数法或变参数法。
   • 如果是高阶齐次线性微分方程，使用朗斯基行列式判断解的独立性。
   • 如果方程为欧拉方程（形式为$x^n y^{(n)} + \dots + p(x)y = q(x)$），使用欧拉方程的解法。
   • 如果方程可以降阶，例如高阶微分方程组的降阶，应用降阶技术。
   • 如果是复系数的齐次线性微分方程，使用复变函数解法。

表格

类型	形式/条件	解法
[[可分离变量的微分方程]]	$y' = g(x)h(y)$	变量分离法
[[齐次方程]]	可化为不显含x,y的单变量形式	$u=\phi(x,y)$
[[可化为齐次的方程]]	可通过变换化为齐次方程	$x=X+h$, $y=Y+k$
[[一阶线性微分方程]]	$y' + p(x)y = q(x)$	通解公式
[[伯努利方程]]	$y' + p(x)y = q(x)y^n$	换元$z=y^{1-n}$
[[高阶微分方程降阶|可降阶的高阶微分方程]]	可降为一阶线性方程	第一积分法(换元)
(1)不含低阶y	$y^{(n)}=f(x)$	连续积分n次
(2)不含一阶y	$y''=f(x,y')$	设$y'=p$, $y''=p'$
(3)不显含x	$y''=f(y,y')$	设$y'=p$, $y''=p\frac{dp}{dy}$
高阶线性微分方程		朗斯基行列式判断独立性
[[常系数齐次线性微分方程]]	$a y'' + b y' + cy = 0$	特征方程法
[[常系数非齐次线性微分方程]]	$a y'' + b y' + cy = f(x)$	待定系数法或变参数法
[[复系数齐次线性微分方程]]	$\mathbb{a}y''+\mathbb{b}y'+\mathbb{c}=0$
[[欧拉方程]]	$x^n y^{(n)} + \dots + p(x)y = q(x)$	欧拉方程解法