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Résolution du problème de diffusion thermique dans un four

Ce projet traite de la résolution du problème de diffusion thermique dans un four.
L'objectif est de modéliser numériquement le problème discrétisé par différences finies, puis de résoudre le problème linéaire $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ qui en découle.

Description du domaine étudié

Le four est représenté par un domaine $\Omega = ]0,1[^2$, avec :

• $\partial \Omega_D$ : les bords de Dirichlet.
• $\partial \Omega_N$ : les bords de Neumann.

L'objet dans le four est modélisé par le domaine $S = [0.25, 0.75] \times [0.4, 0.6]$.
On note $\mathbf{n}$ le vecteur normal extérieur unitaire.

Équations du problème

La solution $T : \Omega \to \mathbb{R}$ doit vérifier le système d'équations suivant :

$$ \begin{cases} -\text{div}(\rho \nabla T(x)) = 0, & \forall x \in \Omega, \\ T = T_D, & \forall x \in \partial \Omega_D, \\ \nabla T \cdot \mathbf{n} = 0, & \forall x \in \partial \Omega_N. \end{cases} $$

Variables et notations

• $T(x)$ : Température au point $x$.
• $\rho$ : Conductivité thermique (supposée constante ici).
• $\nabla T$ : Gradient de la température.
• $\text{div}$ : Divergence d'un champ vectoriel.
• $\mathbf{n}$ : Vecteur normal unitaire extérieur.