forallx-ch4-predicate.tex

%!TEX root = forallx.tex

%ZL fordítása kezdet
\chapter*{Quantified logic}
\chapter{Predikátum logika}
\label{ch.QL}

This chapter introduces a logical language called QL. It is a version of \emph{quantified logic}, because it allows for quantifiers like \emph{all} and \emph{some}. Quantified logic is also sometimes called \emph{predicate logic}, because the basic units of the language are predicates and terms.

A fejezet bemutatja az úgynevezett PL logika nyelvet. Ez egy fajtája a predikátum logikának, mert engedélyezi a kvantorokat, mint a mind, és a néhány. A predikátum logika, alapegységei predikátumok, és termek.

\section*{From sentences to predicates}
\section{Kijelentésektől prediátumokig}
Consider the following argument, which is obviously valid in English:

Tekintsük a következő érvelést, ami a magyarban nyilvánvalóan érvényes:
\begin{quote}
If everyone knows logic, then either no one will be confused or everyone will. Everyone will be confused only if we try to believe a contradiction. This is a logic class, so everyone knows logic.\\
\therefore\ If we don't try to believe a contradiction, then no one will be confused.
\end{quote}
\begin{quote}
Ha mindenki ismeri a logikát, akkor vagy senki nem lesz zavarban vagy mindenki. Mindenki csak akkor lesz zavarban, ha megpróbálunk elhinni egy ellentmondást. Ez egy logika óra, tehát mindenki ismeri a logikát.\\
\therefore\ Ha nem próbáljunk meg elhinni egy ellentmondást, akkor senki sem lesz zavarban.
\end{quote}
In order to symbolize this in SL, we will need a symbolization key.

Annak érdekében, hogy tudjuk ezt szimbolizálni KL-ban, szükségünk lesz egy szimbolizációs kulcsra.
\begin{ekey}
\item[L:] Everyone knows logic.
L: Mindenki ismeri a logikát.
\item[N:] No one will be confused.
N: Senki sem lesz zavarban.
\item[E:] Everyone will be confused.
E: Mindenki zavarban lesz.
\item[B:] We try to believe a contradiction.
B: Megpróbálunk elhinni egy ellentmondást.
\end{ekey}
Notice that $N$ and $E$ are both about people being confused, but they are two separate sentence letters. We could not replace $E$ with $\enot N$. Why not? $\enot N$ means `It is not the case that no one will be confused.' This would be the case if even one person were confused, so it is a long way from saying that \emph{everyone} will be confused.

Vegyük észre, hogy $N$, és $E$ egyaránt, a zavarról szól, de mindkettő különálló mondat betű. Nem helyetesíthetjük az $E$-t $\enot N$-el.  Miért nem?  $\enot N$ az jelenti  ‘Ez nem az az eset, hogy senki sem lesz zavarban.’ Akkor is ez az eset lenne, hogyha egyetlen egy ember zavarban lenne, tehát ez messze van attól, hogy azt mondjuk, hogy \emph{mindenki} zavarban lesz.

%ZL fordítása vége

%HD fordítása kezdet

Once we have separate sentence letters for $N$ and $E$, however, we erase any connection between the two. They are just two atomic sentences which might be true or false independently. In English, it could never be the case that both no one and everyone was confused. As sentences of SL, however, there is a truth-value assignment for which $N$ and $E$ are both true.

Először külön kijelentés betűink vannak $N$-re és $E$-re, viszont így bármilyen köztük lévő kapcsolatot törlünk. Csak két atomi állításunk van, amelyek függetlenül lehetnek igazak vagy hamisak. Viszont magyarban az sosem fordulhatna elő, hogy egyidejűleg senki sem és mindenki is össze van zavarodva. Bár az állítások KL-beli volta miatt létezik olyan igazság-érték megjelölés, melyre $N$ és $E$ is mindketten igazak.

Expressions like `no one', `everyone', and `anyone' are called \emph{quantifiers}. By translating $N$ and $E$ as separate atomic sentences, we leave out the \emph{quantifier structure} of the sentences. Fortunately, the quantifier structure is not what makes this argument valid. As such, we can safely ignore it. To see this, we translate the argument to SL:

Az olyan kifejezéseket, mint "senki", "mindenki" és "bárki" \emph{kvantoroknak} nevezzük. $N$ és $E$ külön atomi kijelentésekre való lefordításával kihagyjuk az állítások \emph{kvantor-szerkezetét}. Szerencsére nem a kvantor-szerkezet az, ami érvényessé teszi ezt az érvelést. Mi több, nyugodtan figyelmen kívül is hagyhatjuk azt. Hogy lássuk ezt, lefordítjuk az érvelést KL-ba:
\begin{earg}
\item[]$L \eif (N \eor E)$
\item[]$E \eif B$
\item[]$L$
\item[\therefore]$\enot B \eif N$
\end{earg}
This is a valid argument in SL. (You can do a truth table to check this.) 

Ez egy érvényes érvelés KL-ban. (Igazságtáblázattal leellenőrizhető.)

Now consider another argument. This one is also valid in English.

Most vizsgáljunk meg egy másik érvelést. Ez is érvényes magyarul.

\begin{quote}
\label{willard1}
Willard is a logician. All logicians wear funny hats.\\
\therefore\ Willard wears a funny hat.
\end{quote}

\begin{quote}
\label{willard1}
Vilmos egy logikával foglalkozó tudós. Minden logikával foglalkozó tudós vicces kalapot hord. \\
\therefore\ Vilmos vicces kalapot hord.
\end{quote}

To symbolize it in SL, we define a symbolization key:

Hogy szimbolizálhassuk ezt KL-ban, definiálunk hozzá egy szimbolizációs kulcsot:
\begin{ekey}
\item[L:] Willard is a logician.
\item[A:] All logicians wear funny hats.
\item[F:] Willard wears a funny hat.
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[L:] Vilmos egy logikával foglalkozó tudós.
\item[A:] Minden logikával foglalkozó tudós vicces kalapot hord.
\item[F:] Vilmos vicces kalapot hord.
\end{ekey}

Now we symbolize the argument:

Most szimbolizáljuk az érvelést:
\begin{earg}
\item[]$L$
\item[]$A$
\item[\therefore] $F$
\end{earg}

This is \emph{invalid} in SL. (Again, you can confirm this with a truth table.) There is something very wrong here, because this is clearly a valid argument in English. The symbolization in SL leaves out all the important structure. Once again, the translation to SL overlooks quantifier structure: The sentence `All logicians wear funny hats' is about both logicians and hat-wearing. By not translating this structure, we lose the connection between Willard's being a logician and Willard's wearing a hat.

Ez \emph{nem érvényes} KL-ban. (Ismét bebizonyítható igazságtáblázattal.) Valami nagy baj van itt, hiszen ez nyilvánvalóan egy érvényes érvelés magyarul. A szimbolizáció KL-ban kihagyja az összes fontos szerkezetet. A KL-ba való fordítás megint figyelmen kívül hagyja a kvantor-szerkezetet: A „Minden logikával foglalkozó tudós vicces kalapot hord” állítás mind a tudósokról, mind a kalaphordásról szól. Ezen szerkezet le nem fordításával elvesztjük a kapcsolatot Vilmos logikával foglalkozó tudós volta és Vilmos vicces kalapot hordása között.

Some arguments with quantifier structure can be captured in SL, like the first example, even though SL ignores the quantifier structure. Other arguments are completely botched in SL, like the second example. Notice that the problem is not that we have made a mistake while symbolizing the second argument. These are the best symbolizations we can give for these arguments \emph{in SL}.

Néhány kvantor-szerkezettel rendelkező érvelés leírható KL-ban, mint az első példában, még annak ellenére is, hogy a KL figyelmen kívül hagyja a kvantor-szerkezetet. Más érvelések pedig teljesen össze vannak csapva KL-ban, mint a második példában. Jegyezzük meg, hogy nem az a probléma, hogy hibát vétettünk a második érvelés szimbolizálásánál. Ezek a legjobb szimbolizációk, amiket csak adhatunk ezeknek az érveléseknek \emph{KL-ban}.

%HD fordítása vége

%TKK fordítása kezdet

Generally, if an argument containing quantifiers comes out \emph{valid in SL}, then the English language argument is valid. If it comes out \emph{invalid in SL}, then we cannot say the English language argument is invalid. The argument might be valid because of quantifier structure which the natural language argument has and which the argument in SL lacks.

Általában, ha egy kvantorokat tartalmazó érvelés helyes KL-ben, akkor nyelvtanilag is helyes. Ha viszont az érvelés helytelen KL-ben, attól még nem biztos, hogy nyelvtanilag is helytelen. Érvelésünk a logikai helytelenség ellenére akár nyelvtanilag helyes is lehet a természetes nyelv kvantorstruktúrája miatt, mely struktúra a KL-ből hiányzik.

\nix{Is this true? Is it possible to exploit the independence of N and E?}

Similarly, if a sentence with quantifiers comes out as a \emph{tautology in SL}, then the English sentence is logically true. If it comes out as \emph{contingent in SL}, then this might be because of the structure of the quantifiers that gets removed when we translate into the formal language.

Hasonlóképpen, ha egy kvantorokat tartalmazó állítás tautológia KL-ben, akkor a kijelentés nyelvtanilag is helytálló. Ha állításunk kontingens KL-ben, annak oka a formális nyelvé alakítás során kieső kvantorok struktúrája lehet.

In order to symbolize arguments that rely on quantifier structure, we need to develop a different logical language. We will call this language quantified logic, QL.

A kvantorstruktúrán alapuló érvelések helyes szimbolizálása érdekében egy új logikai nyelvet kell kifejlesztenünk. Ezt a nyelvet predikátumlogikának, PL-nek nevezzük.

\section*{Building blocks of QL}
\section{A PL építőelemei}

Just as sentences were the basic unit of sentential logic, predicates will be the basic unit of quantified logic. A predicate is an expression like `is a dog.' This is not a sentence on its own. It is neither true nor false. In order to be true or false, we need to specify something: Who or what is it that is a dog?

Ahogy a kijelentéslogika alapegységei a kijelentések voltak, a predikátumlogika alapjai a predikátumok lesznek. A predikátum egy kifejezés, mint például `egy kutya'. Ez önmagában nem egy kijelentés, nincs logikai értéke. Ahhoz, hogy eldönthessük igaz vagy hamis, valamit meg kell határoznunk: Ki, vagy mi az, ami kutya?

The details of this will be explained in the rest of the chapter, but here is the basic idea: In QL, we will represent predicates with capital letters. For instance, we might let $D$ stand for `\blank\ is a dog.' We will use lower-case letters as the names of specific things. For instance, we might let $b$ stand for Bertie. The expression $Db$ will be a sentence in QL. It is a translation of the sentence `Bertie is a dog.'

Ennek részletei a fejezet későbbi részében lesznek olvashatók, de most nézzük az alap ötletet: PL-ben a predikátumokat nagybetűkkel reprezentáljuk. Például az `\blank\ egy kutya' predikátumot jelöljük $D$-vel. A különböző dolgok neveit pedig kisbetűvel jelöljük. Így például a Bertie név helyett $b$ állhat. A $Db$ kifejezés egy kijelentés lesz PL-ben, ez a `Bertie egy kutya' fordítása.

In order to represent quantifier structure, we will also have symbols that represent quantifiers. For instance, `$\exists$' will mean `There is some\blank.' So to say that there is a dog, we can write $\exists x Dx$; that is: There is some $x$ such that $x$ is a dog.

Hogy helyesen reprezentálhassuk a kvantorstruktúrát, a kvantorok jelölésére is kell alkalmaznunk különböző szimbólumokat. Például `$\exists$' azt jelenti `Van olyan\blank.' vagy `Létezik\blank.' Tehát ha azt szeretnénk mondani, hogy létezik kutya, írhatjuk, hogy $\exists x Dx$; ami azt jelenti: Van olyan $x$, amely $x$ egy kutya.

That will come later. We start by defining singular terms and predicates.

Ezzel a későbbiekben foglalkozunk. A szinguláris kifejezések és predikátumok definiálásával kezdjük.

\subsection*{Singular Terms}
\subsection{Szinguláris kifejezések}

In English, a \define{singular term} is a word or phrase that refers to a \emph{specific} person, place, or thing. The word `dog' is not a singular term, because there are a great many dogs. The phrase `Philip's dog Bertie' is a singular term, because it refers to a specific little terrier.

A magyar nyelvben a szinguláris kifejezés egy szó vagy szókapcsolat, amely egy konkrét személyt, helyet vagy tárgyat jelöl. A `kutya' szó nem egy szinguláris kifejezés, hiszen nagyon sok kutya van a világon. A `Philip kutyája Bertie' viszont egy szinguláris kifejezés, mivel egy bizonyos terrierre utal.

%TKK fordítása vége

%BM fordítása kezdet

A \define{proper name} is a singular term that picks out an individual without describing it. The name `Emerson' is a proper name, and the name alone does not tell you anything about Emerson. Of course, some names are traditionally given to boys and other are traditionally given to girls. If `Jack Hathaway' is used as a singular term, you might guess that it refers to a man. However, the name does not necessarily mean that the person referred to is a man--- or even that the creature referred to is a person. Jack might be a giraffe for all you could tell just from the name. There is a great deal of philosophical action surrounding this issue, but the important point here is that a name is a singular term because it picks out a single, specific individual.

A \define{proper name} egy olyan szinguláris kifejezés, amely kiválasztja az egyént anélkül, hogy leírná. Az ’Emerson’ név egy tulajdon név, és önmagában semmit nem árul el Emersonról. Természetesen néhány névhez férfi, néhányhoz női nemet rendelünk. Ha ’Jack Hathaway’ szinguláris kifejezéshez van használva, kitalálható, hogy egy férfire vonatkozik. Habár a név nem feltétlenül jelenti azt, hogy a hivatkozott személy férfi, vagy még azt sem, hogy személyre utal. Jack lehet egy zsiráf is, ha csak a név alapján mondhatnád meg. Nagyon sok filozofikus cselekvés folyik e kérdés körül, de az fontos pont, hogy a név egy szinguláris kifejezés, mert egyetlen, konkrét személyt választ ki. 

Other singular terms more obviously convey information about the thing to which they refer. For instance, you can tell without being told anything further that `Philip's dog Bertie' is a singular term that refers to a dog. A \define{definite description} picks out an individual by means of a unique description. In English, definite descriptions are often phrases of the form `the such-and-so.' They refer to \emph{the} specific thing that matches the given description. For example, `the tallest member of Monty Python' and `the first emperor of China' are definite descriptions. A description that does not pick out a specific individual is not a definite description. `A member of Monty Python' and `an emperor of China' are not definite descriptions.

Néhány szinguláris kifejezés több konkrét információt közvetít arról a dologról, amit meghatároz. Például elmodhatod anélkül, hogy további információt kellene mondanod, hogy ’Philip kutyája Bertie’ egy szinguláris kifejezés, amely egy kutyára utal. A \define{határozott leírás} az egyedi leírással választja ki az egyént. Angol nyelvben a határozott leírások gyakran a ’the such-and-so’ forma kifejezései. Arra \emph{a} konkrét dologra vonatkoznak, amely megfelel a leírásnak. Például ’a Monty Python legmagasabb tagja’ és a ’Kína első császára’ határozott leírások. A leírás, ami nem választja ki a konkrét egyént, nem határozott leírás. A ’Monty Python egyik tagja’ és a  ’Kína egyik császára’ nem határozott leírás.

We can use proper names and definite descriptions to pick out the same thing. The proper name `Mount Rainier' names the location picked out by the definite description `the highest peak in Washington state.' The expressions refer to the same place in different ways. You learn nothing from my saying that I am going to Mount Rainier, unless you already know some geography. You could guess that it is a mountain, perhaps, but even this is not a sure thing; for all you know it might be a college, like Mount Holyoke. Yet if I were to say that I was going to the highest peak in Washington state, you would know immediately that I was going to a mountain in Washington state.

Használhatunk tulajdon neveket és határozott leírást, hogy kiválasszunk hasonló dolgokat. A ’Mount Rainier’ tulajdon név azt a helyet választja ki, aminek a határozott leírása ’a legmagasabb csúcs Washington államban’. A kifejezések ugyanarra a helyre vonatkoznak különböző módon. Abból te semmit nem értesz, ha azt mondom, hogy elmegyek a Mount Rainier-re, hacsak nincs földrajzi ismereted. Gyaníthatod, hogy talán ez egy hegy, de még ez sem biztos; ez akár lehet egy főiskola is, mint a ’Mount Holyoke’. Mégis, ha ezt mondanám, hogy elmegyek Washington állam legmagasabb pontjára, azonnal tudnád, hogy egy hegyre mennék Washington államban.

In English, the specification of a singular term may depend on context; `Willard' means a specific person and not just someone named Willard; `P.D. Magnus' as a logical singular term means \emph{me} and not the other P.D. Magnus. We live with this kind of ambiguity in English, but it is important to keep in mind that singular terms in QL must refer to just one specific thing.

Angol nyelvben az egyes szinguláris kifejezés függhet a kontextustól; ’Willard’ jelenthet egy meghatározott személyt, nem csak valakit, akit Wilard-nak hívnak; a ’P.D. Magnus’ mint logikai szinguláris kifejezés \emph{rám} utal, nem egy másik P.D. Magnus-ra. Ilyen kétértelműséggel élünk az angol nyelvben, de fontos szem előtt tartani, hogy a szinguláris kifejezéseknek a QL-ben csak egy meghatározott dologra kell utalniuk.

In QL, we will symbolize singular terms with lower-case letters $a$ through $w$. We can add subscripts if we want to use some letter more than once. So $a,b,c,\ldots w, a_1, f_{32}, j_{390}$, and $m_{12}$ are all terms in QL.

A QL-ben az egyes szinguláris kifejezéseket kisbetűkkel szimbolizáljuk $a$-tól $w$-ig. Hozzáadhatunk feliratokat, ha egynél több levelet akarunk használni. Tehát $a,b,c,\ldots w, a_1, f_{32}, j_{390}$, és $m_{12}$ mind kifejezések a QL-ben.

Singular terms are called \define{constants} because they pick out specific individuals. Note that $x, y$, and $z$ are not constants in QL. They will be \define{variables}, letters which do not stand for any specific thing. We will need them when we introduce quantifiers.

A szinguláris kifejezéseket \define{konstansnak} nevezzük, mert konkrét egyént választanak ki. Figyelembe kell venni, hogy $x, y$, és $z$ nem konstansok a QL-ben. Ezek \define{változók}, betűk, amelyek semmilyen konkrét dolgot nem képviselnek. Szükségünk lesz rájuk, mikor bevezetjük a mennyiségeket.

%BM fordítása vége

%EG fordítása kezdete

\subsection*{Predicates}
\subsection{Predikátumok}

The simplest predicates are properties of individuals. They are things you can say about an object. `\blank\ is a dog' and `\blank\ is a member of Monty Python' are both predicates. In translating English sentences, the term will not always come at the beginning of the sentence: `A piano fell on \blank' is also a predicate. Predicates like these are called \define{one-place} or \define{monadic}, because there is only one blank to fill in. A one-place predicate and a singular term combine to make a sentence.

A legegyszerűbb predikátumok az indivíduumok tulajdonságai. Ezek olyan dolgok amiket el lehet mondani egy objektumról. „\blank\ egy kutya” és „\blank\ a Monty Python egy tagja” egyaránt predikátumok. Angolról való fordításban a kifejezés nem mindig a mondat elejére kerül: „Ráesett egy zongora \blank\-ra” is egy predikátum. Az ilyen predikátumokat úgy hívják, hogy \define{unáris} vagy \define{monadikus}, mert csak egy hiányt kell betölteni. Egy unáris predikátum és egy szinguláris kifejezés összekapcsolása alakít egy mondatot.

Other predicates are about the \emph{relation} between two things. For instance, `\blank\ is bigger than \blank', `\blank\ is to the left of \blank', and `\blank\ owes money to \blank.' These are \define{two-place} or \define{dyadic} predicates, because they need to be filled in with two terms in order to make a sentence.

Más predikátumok két dolog közötti \emph{relációról} szólnak. Példának „\blank\ nagyobb mint \blank”, „\blank\ balra van \blank\-tól”, és „\blank\ tartozik \blank\-nak.” Ezek \define{bináris} vagy \define{diadikus} predikátumok, mert két kijelentéssel kell feltölteni őket hogy mondattá váljanak.

In general, you can think about predicates as schematic sentences that need to be filled out with some number of terms. Conversely, you can start with sentences and make predicates out of them by removing terms. Consider the sentence, `Vinnie borrowed the family car from Nunzio.' By removing a singular term, we can recognize this sentence as using any of three different monadic predicates:
\begin{center}
\blank borrowed the family car from Nunzio.\\
Vinnie borrowed \blank from Nunzio.\\
Vinnie borrowed the family car from \blank.
\end{center}

Általánosan lehet úgy gondolni a predikátumokra, mint vázlatos mondatokra, amiket fel kell tölteni valamennyi kifejezéssel. Ugyanígy ki lehet indulni mondatokból, és azokból predikátumokat lehet létrehozni kifejezések eltüntetésével. Vegyük ezt a mondatot: „Vinnie kölcsönvette a családi autót Nunzio-tól.”. Egyetlen kifejezés eltüntetésével létrejön ebből a mondatból az egyik monadikus predikátum az alábbi három közül:
\begin{center}
\blank kölcsönvette a családi autót Nunzio-tól.\\
Vinnie kölcsönvette \blank\-t Nunzio-tól.\\
Vinnie kölcsönvette a családi autót \blank\-tól.
\end{center}

By removing two singular terms, we can recognize three different dyadic predicates:
\begin{center}
Vinnie borrowed \blank\ from \blank.\\
\blank\ borrowed the family car from \blank.\\
\blank\ borrowed \blank\ from Nunzio.
\end{center}

Két szinguláris kifejezés eltüntetésével létrejön az alábbi három diadikus predikátum egyike:
\begin{center}
Vinnie kölcsönvette \blank\-t \blank\-tól.\\
\blank\ kölcsönvette a családi autót \blank\-tól.\\
\blank\ kölcsönvette \blank\-t Nunzio-tól.
\end{center}

By removing all three singular terms, we can recognize one \define{three-place} or \define{triadic} predicate:
\begin{center}
\blank\ borrowed \blank\ from \blank.
\end{center}

Ha mindhárom szinguláris kifejezést eltüntetjük, létrejön egy \define{ternáris} vagy \define{triadikus} predikátum:
\begin{center}
\blank\ kölcsönvette \blank\-t \blank\-tól.
\end{center}

If we are translating this sentence into QL, should we translate it with a one-, two-, or three-place predicate? It depends on what we want to be able to say. If the only thing that we will discuss being borrowed is the family car, then the generality of the three-place predicate is unnecessary. If the only borrowing we need to symbolize is different people borrowing the family car from Nunzio, then a one-place predicate will be enough.

Ha ezt a mondatot lefordítjuk PL-be, akkor unáris, bináris vagy ternárissá alakítsuk? Ez attól függ, hogy milyen kijelentések megadására akarunk képesek lenni. Ha az egyetlen dolog aminek kölcsönzéséről beszélni fogunk az a családi autó, akkor a ternáris predikátum általánossága szükségtelen. Ha az egyetlen dolog, amit szimbolizálnunk kell, az az, hogy különböző emberek kölcsön veszik Nunzio-tól a családi autót, akkor egy unáris predikátum elegendő.

%EG fordítása vége

%TBA fordítása kezdet

In general, we can have predicates with as many places as we need. Predicates with more than one place are called \define{polyadic}. Predicates with $n$ places, for some number $n$, are called \define{n-place} or \define{n-adic}.

Általánosságban, egy predikátumnak annyi változója lehet, amennyire csak szükségünk van. A egynél több változós predikátumokat \define {polyadikus}-nak
vagy \define {többrétű}-nek nevezzük. Az $n$-változós predikátumokat \define {n-rétű}-nek nevezzük.

In QL, we symbolize predicates with capital letters $A$ through $Z$, with or without subscripts. When we give a symbolization key for predicates, we will not use blanks; instead, we will use variables. By convention, constants are listed at the end of the key. So we might write a key that looks like this:

A QL-ben nagybetűkkel szimbolizáljuk a predikátumokat: $A$-$Z$, indexekkel vagy azok nélkül. Ha szimbolizációs kulcsot adunk a predikátumokhoz, akkor nem használunk üres helyeket, ehelyett változókat fogunk használni. Megállapodás szerint az állandók a kulcs végén vannak listázva/felsorolva. Szóval írhatunk egy kulcsot, amely így néz ki:

\begin{ekey}
\item[Ax:] $x$ is angry.
\item[Hx:] $x$ is happy.
\item[T$_1$xy:] $x$ is as tall or taller than $y$.
\item[T$_2$xy:] $x$ is as tough or tougher than $y$.
\item[Bxyz:] $y$ is between $x$ and $z$.
\item[d:] Donald
\item[g:] Gregor
\item[m:] Marybeth
\end {ekey}

\begin{ekey}
\item [Ax:] $ x $ dühös.
\item [Hx:] $ x $ boldog.
\item [T $ _1 $ xy:] $ x $ ugyanolyan magas vagy magasabb, mint $ y $.
\item [T $ _2 $ xy:] $ x $ ugyanolyan kemény vagy keményebb, mint $ y $.
\item [Bxyz:] $ y $ $ x $ és $ z $ között van.
\item [d:] Donald
\item [g:] Gregor
\item [m:] Marybeth
\end{ekey}

We can symbolize sentences that use any combination of these predicates and terms. For example:

Szimbolizálhatunk olyan mondatokat, amelyek ezen predikátumok és kifejezések bármilyen kombinációját használják. Például:

\begin {earg}
\nix{I am inclined to change these to Cordelia, Hamlet, and Macbeth}
\item[\ex{terms1}] Donald is angry.
\item[\ex{terms2}] If Donald is angry, then so are Gregor and Marybeth.
\item[\ex{terms3}] Marybeth is at least as tall and as tough as Gregor.
\item[\ex{terms4}] Donald is shorter than Gregor.
\item[\ex{terms5}] Gregor is between Donald and Marybeth.
\end {earg}

\begin {earg}
\nix {Hajlamos vagyok ezeket Cordelia, Hamlet és Macbeth-re változtatni}
\item [\ex {terms1}] Donald dühös.
\item [\ex {terms2}] Ha Donald dühös, akkor Gregor és Marybeth is.
\item [\ex {terms3}] Marybeth legalább annyira magas és olyan kemény, mint Gregor.
\item [\ex {terms4}] Donald alacsonyabb, mint Gregor.
\item [\ex {terms5}] Gregor, Donald és Marybeth között van.
\end {earg}

Sentence \ref{terms1} is straightforward: $Ad$. The `$x$' in the key entry `$Ax$' is just a placeholder; we can replace it with other terms when translating.

Az \ref{terms1} mondat egyértelmű: $Ad$. Az „$x$” az „$Ax$” kulcsbejegyzésben csak helyőrzõ; kicserélhetjük más kifejezésekkel a fordítás során.

Sentence \ref{terms2} can be paraphrased as, `If $Ad$, then $Ag$ and $Am$.' QL has all the truth-functional connectives of SL, so we translate this as $Ad \eif (Ag \eand Am)$.

Az \ref{terms2} mondat átfogalmazható így: „Ha $Ad$, akkor $Ag$ és $Am$.” A QL rendelkezik az SL logikai műveleteivel, tehát ezt $Ad \eif(Ag \eand Am)$-nek fordítjuk.

Sentence \ref{terms3} can be translated as $T_1mg \eand T_2mg$.

Az \ref{terms3} mondat lefordítható így: $T_1mg \eand T_2mg $.

Sentence \ref{terms4} might seem as if it requires a new predicate. If we only needed to symbolize this sentence, we could define a predicate like $Sxy$ to mean `$x$ is shorter than $y$.' However, this would ignore the logical connection between `shorter' and `taller.' Considered only as symbols of QL, there is no connection between $S$ and $T_1$. They might mean anything at all. Instead of introducing a new predicate, we paraphrase sentence \ref{terms4} using predicates already in our key: `It is not the case that Donald is as tall or taller than Gregor.' We can translate it as $\enot T_1dg$.

Az \ref{terms4} mondat úgy tűnik, hogy új predikátumot igényel. Ha csak ezt a mondatot kellene szimbolizálnunk, akkor definiálhatnánk egy olyan predikátumot, mint például a $Sxy$, ezalatt értve ezt: „$x$ alacsonyabb, mint $y$”. Ez azonban figyelmen kívül hagyná a logikai kapcsolatokat „alacsonyabb” és „magasabb” között. Csak a QL szimbólumainak tekintve, nincs kapcsolat $S$ és $T_1$ között. Talán bármit is jelenthetnek. Egy új predikátum bevezetése helyett a \ref{term4} mondatot újrafogalmazzuk a már meglévő predikátumok felhasználásával a kulcsban: „Nem az a helyzet, hogy Donald olyan magas vagy magasabb, mint Gregor.” Ezt fordíthatjuk így is: $ \enot T_1dg$.

Sentence \ref{terms5} requires that we pay careful attention to the order of terms in the key. It becomes $Bdgm$.

Az \ref{terms5} mondat megköveteli, hogy figyelmet fordítsunk a kulcsban szereplő kifejezések sorrendjére. Ez $Bdgm$ lesz.

%TBA fordítása vége

%MR fordítása kezdet

\section*{Quantifiers}
\section{Kvantorok}
We are now ready to introduce quantifiers. Consider these sentences:

Most már bevezethetjük a kvantorokat. Tekintsük a következő mondatokat:

\begin{earg}
\item[\ex{q.a}] Everyone is happy.
\item[\ex{q.a}] Mindenki boldog.
\item[\ex{q.ac}] Everyone is at least as tough as Donald.
\item[\ex{q.ac}] Mindenki legalább olyan erős, mint Donald.
\item[\ex{q.e}] Someone is angry.
\item[\ex{q.e}] Valaki mérges.
\end{earg}

It might be tempting to translate sentence \ref{q.a} as $Hd \eand Hg \eand Hm$. Yet this would only say that Donald, Gregor, and Marybeth are happy. We want to say that \emph{everyone} is happy, even if we have not defined a constant to name them. In order to do this, we introduce the `$\forall$' symbol. This is called the \define{universal quantifier}.

Hívogatónak tűnhet a \ref{q.a}. mondatot úgy lefordítani, mint $Hd \eand Hg \eand Hm$. Azonban ez csak azt jelentené, hogy Donald, Gregor és Marybeth boldogok. Azt szeretnénk kifejezni, hogy mindenki boldog, még akkor is ha nem határoztunk meg nekik állandó nevet. Ahhoz, hogy ezt megtegyük, bevezetjük a `$\forall$' jelet. Ez az \define{univerzális kvantor}.

A quantifier must always be followed by a variable and a formula that includes that variable. We can translate sentence \ref{q.a} as $\forall x Hx$. Paraphrased in English, this means `For all $x$, $x$ is happy.'
%\nix{This may be too soon:}
We call $\forall x$ an \emph{x-quantifier}. The formula that follows the quantifier is called the \emph{scope} of the quantifier. We will give a formal definition of scope later, but intuitively it is the part of the sentence that the quantifier quantifies over. In $\forall x Hx$, the scope of the universal quantifier is $Hx$.

A kvantort minden esetben egy változó és egy, a változót magába foglaló képlet kell, hogy kövesse. A \ref{q.a}. mondatot fordíthatjuk úgy, mint $\forall x Hx$. Magyarul körülírva, ez azt jelenti, hogy “Minden x-re vonatkozólag, x boldog”. $\forall x$-et \emph{x-kvantornak} nevezzük. A képletet, ami a kvantort követi, a kvantor \emph{hatókörének} nevezzük. A hatókör definíciójával később foglalkozunk, de a mondatnak az a része, aminek a kvantor meghatározza a mennyiségét. Az $\forall x Hx$ képletben az univerzális kvantor hatóköre $Hx$.

Sentence \ref{q.ac} can be paraphrased as, `For all $x$, $x$ is at least as tough as Donald.' This translates as $\forall x T_2xd$.

A \ref{q.ac} .mondatot a következőképpen lehet körülírni: „Minden $x$-re vonatkozólag, $x$ legalább olyan erős, mint Donald.” Ez azt jelenti, hogy $\forall x T_2xd$.

In these quantified sentences, the variable $x$ is serving as a kind of placeholder. The expression $\forall x$ means that you can pick anyone and put them in as $x$. There is no special reason to use $x$ rather than some other variable. The sentence $\forall x Hx$ means exactly the same thing as $\forall y Hy$, $\forall z Hz$, and $\forall x_5 Hx_5$.

Ezekben a kvantifikált mondatokban az $x$ változó helyettesítőként szolgál. A $\forall x$ kifejezés azt jelenti, hogy bárkit választhatunk és behelyettesíthetünk az $x$ helyére. Semmi különösebb oka nincs pont az $x$ használatának, akármelyik más változót is használhatnánk. A $\forall x Hx$ mondat ugyanazt jelenti mint $\forall y Hy$, $\forall z Hz$ és $\forall x_5 Hx_5$.

To translate sentence \ref{q.e}, we introduce another new symbol: the \define{existential quantifier}, $\exists$. Like the universal quantifier, the existential quantifier requires a variable. Sentence \ref{q.e} can be translated as $\exists x Ax$. This means that there is some $x$ which is angry. More precisely, it means that there is \emph{at least one} angry person. Once again, the variable is a kind of placeholder; we could just as easily have translated sentence \ref{q.e} as $\exists z Az$.

A \ref{q.e}. mondat lefordításához egy új jelet vezetünk be: az \define{egzisztenciális kvantort}, $\exists$-t. Ugyanúgy, mint az univerzális kvantornak az egzisztenciálisnak is szüksége van egy változóra. A \ref{q.e}. mondatot fordíthatjuk úgy, mint $\exists x Ax$. Ez azt jelenti, hogy létezik $x$, aki mérges. Pontosabban ez azt jelenti, hogy \emph{legalább egy} mérges személy van. A változó ismét csak helyettesítőként szolgál; a \ref{q.e}. mondatot akár úgy is fordíthattuk volna, mint $\exists z Az$.

Consider these further sentences:

Tekintsük a következő mondatokat:
\begin{earg}
\item[\ex{q.ne}] No one is angry.
\item[\ex{q.ne}] Senki sem mérges.
\item[\ex{q.en}] There is someone who is not happy.
\item[\ex{q.en}] Van valaki, aki nem boldog.
\item[\ex{q.na}] Not everyone is happy.
\item[\ex{q.na}] Nem mindenki boldog.
\end{earg}

Sentence \ref{q.ne} can be paraphrased as, `It is not the case that someone is angry.' This can be translated using negation and an existential quantifier: $\enot \exists x Ax$. Yet sentence \ref{q.ne} could also be paraphrased as, `Everyone is not angry.' With this in mind, it can be translated using negation and a universal quantifier: $\forall x \enot Ax$. Both of these are acceptable translations, because they are logically equivalent. The critical thing is whether the negation comes before or after the quantifier.

A \ref{q.ne}. mondatot körülírhatjuk a következőképpen: ’Nem igaz, hogy valaki mérges.’ Ezt lefordíthatjuk tagadással és egy egzisztenciális kvantor használatával: $\enot \exists x Ax$. A \ref{q.ne}. mondatot úgy is körülírhatnánk, hogy ‘Nincs olyan, aki mérges.’ Ebben az esetben lefordíthatjuk a mondatot tagadás és az univerzális kvantor használatával: $\forall x \enot Ax$. Mindkettő fordítás elfogadható, mert logikailag egyenlőek. A kritikus kérdés az, hogy a tagadás a predikátum elé vagy pedig utána kerüljön.

%MR fordítása vége


%ÖD fordítása kezdete

In general, $\forall x\script{A}$ is logically equivalent to $\enot\exists x\enot\script{A}$. This means that any sentence which can be symbolized with a universal quantifier can be symbolized with an existential quantifier, and vice versa. One translation might seem more natural than the other, but there is no logical difference in translating with one quantifier rather than the other. For some sentences, it will simply be a matter of taste.

Általában, $\forall x\script{A}$ logikailag ekvivalens $\enot\exists x\enot\script{A}$ -val. Ez azt jelenti, hogy bármely olyan mondat, amely egy univerzális kvantorral szimbolizálható, az szimbolizálható egy egzisztenciális kvantorral és fordítva. Egy fordítás természetesebbnek tűnhet a másiknál, de nincs logikai különbség két kvantorban történő fordításban.

Sentence \ref{q.en} is most naturally paraphrased as, `There is some $x$ such that $x$ is not happy.' This becomes $\exists x \enot Hx$. Equivalently, we could write $\enot\forall x Hx$.

A \ref{q.en} mondatot legtermészetesebben az alábbi módon definiálják: van olyan $x$, hogy $x$ nem boldog. Ez lesz $\exists x \enot Hx$. Egyenértékűen a következőképp néz ki: $\enot\forall x Hx$.

Sentence \ref{q.na} is most naturally translated as $\enot\forall xHx$. This is logically equivalent to sentence \ref{q.en} and so could also be translated as $\exists x \enot Hx$.

A \ref{q.na} mondat lefordítva lényegében a következőt jelenti: $\enot\forall xHx$. Ez logikailag ekvivalens a \ref{q.en} mondattal és szintén le lehet fordítani: $\exists x \enot Hx$.

Although we have two quantifiers in QL, we could have an equivalent formal language with only one quantifier. We could proceed with only the universal quantifier, for instance, and treat the existential quantifier as a notational convention. We use square brackets [ ] to make some sentences more readable, but we know that these are really just parentheses ( ). In the same way, we could write `$\exists x$' knowing that this is just shorthand for `$\enot \forall x \enot$.' There is a choice between making logic formally simple and making it expressively simple. With QL, we opt for expressive simplicity. Both $\forall$ and $\exists$ will be symbols of QL.

Habár két kvantorunk van a Predikátum Logikában, lehet még egy egyenértékű formális nyelvünk is egyetlen kvantorral. Tudnánk csak az univerzális kvantorral folytatni és jelölési konvencióként kezelni az egzisztenciális kvantort. Szögletes zárójeleket használunk [], hogy néhány mondatot jobban olvashatóbbá tegyünk, de tudjuk, hogy ezek igazából csak zárójelek (). Ugyanúgy írhatjuk `$\exists x$'-t tudva, hogy ez csak gyorsírása a `$\enot \forall x \enot$.'-nak. Választhatunk a logika formálisan egyszerűvé tétele és a kifejezetten egyszerűvé tétele között. Predikátum Logikával a kifejezés egyszerűsítésére törekszünk. Mindkét $\forall$ és $\exists$ is szimbólumai lesznek a Predikátum Logikának.

\subsection{Universe of Discourse}
\subsection{Individuumtartomány}

Given the symbolization key we have been using, $\forall xHx$ means `Everyone is happy.' Who is included in this \emph{everyone}? When we use sentences like this in English, we usually do not mean everyone now alive on the Earth. We certainly do not mean everyone who was ever alive or who will ever live. We mean something more modest: everyone in the building, everyone in the class, or everyone in the room.

Figyelembe véve a szimbolizációs kulcsot, amelyet használunk, $\forall xHx$ azt jelenti ’Mindenki boldog’. Kit foglal magába ez a \emph{mindenki}? Amikor a mondatot így használjuk a magyarban, általában nem a Földön élő összes emberre gondolunk. Természetesen nem is azokra, akik éltek vagy élni fognak azon. Valami konkrétabbra gondolunk: mindenki az épületben, mindenki az osztályban, vagy mindenki a szobában.

In order to eliminate this ambiguity, we will need to specify a \define{universe of discourse}--- abbreviated UD. The UD is the set of things that we are talking about. So if we want to talk about people in Chicago, we define the UD to be people in Chicago. We write this at the beginning of the symbolization key, like this:

Annak érdekében, hogy kiiktassuk ezt a kétértelműséget, szükségünk lesz kikötni egy \define{Individuumtartományt} röviden: UD. Individuumtartomány a dolgok halmaza.  Szóval, ha beszélni akarunk Chicago-i emberekről, definiálnunk kell az Individuumtartományt, tehát az embereket Chicago-ban. Ezt a szimbolizációs kulcs elejére írjuk. Például:

\begin{ekey}
\item[UD:] people in Chicago
\item[UD:] emberek Chicagoban
\end{ekey}

The quantifiers \emph{range over} the universe of discourse. Given this UD, $\forall x$ means `Everyone in Chicago' and $\exists x$ means `Someone in Chicago.' Each constant names some member of the UD, so we can only use this UD with the symbolization key above if Donald, Gregor, and Marybeth are all in Chicago. If we want to talk about people in places besides Chicago, then we need to include those people in the UD.

A kvantorok az Individuumtartomány \emph{alatt mozognak}. A megadott Individuumtartomány értelmében, $\forall x$ azt jelenti: mindenki Chicago-ban, és $\exists x$ azt jelenti: valaki Chicago-ban. Mindegyik konstans megnevezi az Individuumtartomány valamely tagját, szóval csak akkor használhatjuk ezt az Individuumtartományt a fenti szimbólumkulccsal, ha Donald, Gregor és Marybeth mind Chicago-ban vannak.

%ÖD fordítása vége

%MP fordítása kezdet

In QL, the UD must be \emph{non-empty}; that is, it must include at least one thing. It is possible to construct formal languages that allow for empty UDs, but this introduces complications.

PL-ben az UD  nem lehet \emph{üres}; legalább egy dolgot tartalmaznia kell. Lehetőség van olyan formális nyelvek felépítésére, amelyek lehetővé teszik az üres UD-k használatát, de ez komplikációkhoz vezethet.

Even allowing for a UD with just one member can produce some strange results. Suppose we have this as a symbolization key:

Már a csak egy taggal lévő UD engedélyezése is furcsa eredményeket hozhat. Tegyük fel, hogy ezt használjuk szimbolizációs kulcsként:
\begin{ekey}
\item[UD:] the Eiffel Tower
\item[Px:] $x$ is in Paris.
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[UD:] az Eiffel torony
\item[Px:] $x$ Párizsban van.
\end{ekey}
The sentence $\forall x Px$ might be paraphrased in English as `Everything is in Paris.' Yet that would be misleading. It means that everything \emph{in the UD} is in Paris. This UD contains only the Eiffel Tower, so with this symbolization key $\forall x Px$ just means that the Eiffel Tower is in Paris.

A $\forall x Px$ mondat magyarul lehetne az, hogy „Minden Párizsban van.” Ez azonban megtévesztő lehet. Ez azt jelenti, hogy minden az \emph{UD-n belül} Párizsban van. Ez az UD az Eiffel tornyot tartalmazza csak, szóval ezzel a szimbolizációs kulccsal $\forall x Px$ csak annyit jelent, hogy az Eiffel torony Párizsban van.

\subsection*{Non-referring terms}
\subsection{Nem hivatkozó változók}
In QL, each constant must pick out exactly one member of the UD. A constant cannot refer to more than one thing--- it is a \emph{singular} term. Each constant must still pick out \emph{something}. This is connected to a classic philosophical problem: the so-called problem of non-referring terms.

PL-ben minden konstansnak választania kell pontosan egy tagot a UD-ből. A konstant nem hivatkozhat egynél több dologra -- ez egy \emph{szinguláris} kifejezés. Minden konstansnak kell választania \emph{valamit}. Ez kapcsolódik a klasszikus filozófiai problémához: az úgynevezett nem hivatkozó változók problémájához.

Medieval philosophers typically used sentences about the \emph{chimera} to exemplify this problem. Chimera is a mythological creature; it does not really exist. Consider these two sentences:

A középkori filozófusok tipikusan a \emph{chimeráról} alkottak példa mondatokat a probléma leírásához. A chimera egy mitológiai teremtmény; valójában nem létezik. Vegyük az alábbi két mondatot:
\begin{earg}
\item[\ex{chimera1}] Chimera is angry.
\item[\ex{chimera2}] Chimera is not angry.
\end{earg}
\begin{earg}
\item[\ex{chimera1}] A chimera mérges.
\item[\ex{chimera2}] A chimera nem mérges.
\end{earg}
It is tempting just to define a constant to mean `chimera.' The symbolization key would look like this:

Csábító, hogy definiáljunk egy konstans értéket ami alatt a „chimerát” értjük. A szimbolizációs kulcs így nézne ki:

\begin{ekey}
\item[UD:] creatures on Earth
\item[Ax:] $x$ is angry.
\item[c:] chimera
\end{ekey}
\begin{ekey}
\item[UD:] a Földön élő teremtmények
\item[Ax:] $x$ mérges.
\item[c:] chimera
\end{ekey}
We could then translate sentence \ref{chimera1} as $Ac$ and sentence \ref{chimera2} as $\enot Ac$.

Értelmezhetjük a \ref{chimera1} mondatot mint $Ac$ és a \ref{chimera2} mondatot mint $\enot Ac$.

Problems will arise when we ask whether these sentences are true or false.

Akkor merül fel a probléma, amikor meg akarjuk tudni, hogy ezek a mondatok igazak vagy hamisak.

One option is to say that sentence \ref{chimera1} is not true, because there is no chimera. If sentence \ref{chimera1} is false because it talks about a non-existent thing, then sentence \ref{chimera2} is false for the same reason. Yet this would mean that $Ac$ and $\enot Ac$ would both be false. Given the truth conditions for negation, this cannot be the case.

Az egyik opció, hogy azt mondjuk a \ref{chimera1} mondat hamis, mert a chimera nem létezik. Ha a \ref{chimera1} mondat hamis, mert egy nem létező dologról van szó, akkor a \ref{chimera2} is hamis ugyanazon okok miatt. Ez azt jelentené, hogy $Ac$ -nek és $\enot Ac$ -nek is hamisnak kellene lennie.  A negációra való tekintettel ez nem történhet meg.

%MP fordítása vége

Since we cannot say that they are both false, what should we do? Another option is to say that sentence \ref{chimera1} is \emph{meaningless} because it talks about a non-existent thing. So $Ac$ would be a meaningful expression in QL for some interpretations but not for others. Yet this would make our formal language hostage to particular interpretations. Since we are interested in logical form, we want to consider the logical force of a sentence like $Ac$ apart from any particular interpretation. If $Ac$ were sometimes meaningful and sometimes meaningless, we could not do that.

Mit tegyünk hát, ha nem állíthatjuk, hogy mindkét eset hamis? Egy másik lehetőség az, hogy azt mondjuk, hogy a \ref{chimera1} mondat \emph{értelmetlen}, mert nem létező dologról beszél. Így az $Ac$ néhány értelmezés szerint jelentésteli lehet a PL-ben, míg egyéb esetekben nem. Ez azonban túszul ejtené a formális nyelvünk bizonyos értelmezésekhez. Mivel minket a logikai formula érdekel, szeretnénk mérlegelni olyan mondatok erejét, mint az $Ac$ külön más részleges interpretációktól. Nem engedhetjük meg, hogy $Ac$ néhol értelmes és néhol értelmetlen legyen. 

This is the \emph{problem of non-referring terms}, and we will return to it later (see p.~\pageref{subsec.defdesc}.) The important point for now is that each constant of QL \emph{must} refer to something in the UD, although the UD can be any set of things that we like. If we want to symbolize arguments about mythological creatures, then we must define a UD that includes them. This option is important if we want to consider the logic of stories. We can translate a sentence like `Sherlock Holmes lived at 221B Baker Street' by including fictional characters like Sherlock Holmes in our UD.

Ez a probléma a \emph{nem hivatkozó változók problémája}, később még visszatérünk rá (see p.~\pageref{subsec.defdesc}.) A fontos szempont jelenleg, hogy a PL minden változójának hivatkozni \emph{kell} valamire az UD-ben, habár az UD-ben bármilyen tetszőleges dolog rögzíthető. Ha mitológiai lények tulajdonságait akarjuk szimbolizálni, akkor muszáj egy olyan UD-t definiálnunk, amely magába foglalja őket. Ez a lehetőség fontos, ha történetek logikáját szeretnénk megvizsgálni. Lefordíthatunk egy olyan mondatot, mint “Sherlock Holmes a Baker Street 221B alatt lakott”, úgy, hogy olyan képzeletbeli karaktereket tüntenünk fel az UD-nkben, mint Sherlock Holmes.

\section*{Translating to QL}
\section{QL-re fordítás}
We now have all of the pieces of QL. Translating more complicated sentences will only be a matter of knowing the right way to combine predicates, constants, quantifiers, variables, and connectives. Consider these sentences:

Most, hogy minden darabja megvan a PL-nek, bonyolultabb mondatok fordításának csak az lehet az akadálya, hogy megfelelően tudjuk kombinálni a predikátumokat, konstansokat, kvantorokat és a műveleteket. Vizsgáljuk meg a következő mondatokat: 

\begin{earg}
\item[\ex{quan1}] Every coin in my pocket is a quarter.
\item[\ex{quan2}] Some coin on the table is a dime.
\item[\ex{quan3}] Not all the coins on the table are dimes.
\item[\ex{quan4}] None of the coins in my pocket are dimes.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{quan1}] Minden érme a zsebemben egy negyed dolláros.
\item[\ex{quan2}] Néhány érme az asztalon egy tíz centes.
\item[\ex{quan3}] Nem minden érme az asztalon egy tíz centes. 
\item[\ex{quan4}] A zsebemben lévő érmék egyike sem egy tíz centes.
\end{earg}

In providing a symbolization key, we need to specify a UD. Since we are talking about coins in my pocket and on the table, the UD must at least contain all of those coins. Since we are not talking about anything besides coins, we let the UD be all coins. Since we are not talking about any specific coins, we do not need to define any constants. So we define this key:

A szimbólizációs kulcs megadásakor meg kell határozni az UD-t. Mivel a zsebünkben és az asztalon lévő érmékről beszélünk, az UD-nek legalább ezeket mind tartalmaznia kell. Mivel nem beszélünk másról csak érmékről, így lehet az UD minden érme összessége. Mivel nem konkrét érmékről beszélünk, nem szükséges konstansokat definiálnunk. Így mi ezeket a kulcsokat definiálhatjuk:

\begin{ekey}
\item[UD:] all coins
\item[Px:] $x$ is in my pocket.
\item[Tx:] $x$ is on the table.
\item[Qx:] $x$ is a quarter.
\item[Dx:] $x$ is a dime.
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[UD:] minden érme
\item[Px:] $x$ a zsebemben van.
\item[Tx:] $x$ az asztalon van.
\item[Qx:] $x$ egy negyed doláros.
\item[Dx:] $x$ egy tíz centes.
\end{ekey}

Sentence \ref{quan1} is most naturally translated with a universal quantifier. The universal quantifier says something about everything in the UD, not just about the coins in my pocket. Sentence \ref{quan1} means that (for any coin) \emph{if} that coin is in my pocket, \emph{then} it is a quarter. So we can translate it as $\forall x(Px \eif Qx)$.

A 14. mondatot természetesen fordíthatjuk univerzális kvantorral. Az univerzális kvantor mond valamit minden UD-ben található dologról, nemcsak a zsebemben lévő érmékről.
A \ref{quan1} mondat azt jelenti, hogy (bármilyen érmére) \emph{ha} az az én zsebemben van, \emph{akkor} az negyed dolláros. Szóval mi lefordíthatjuk, úgy mint $\forall x(Px \eif Qx)$.

%NV fordítása vége 
	

%NG fordítása kezdet

Since sentence \ref{quan1} is about coins that are both in my pocket \emph{and} that are quarters, it might be tempting to translate it using a conjunction. However, the sentence $\forall x(Px \eand Qx)$ would mean that everything in the UD is both in my pocket and a quarter: All the coins that exist are quarters in my pocket. This would be a crazy thing to say, and it means something very different than sentence \ref{quan1}.

Mivel a \ref{quan1}. mondat arról szól, hogy mindkét érme a zsebemben van \emph{és} azok negyed dollárosok, csábító lehet ezeket konjunkció használatával leírni. Viszont az $\forall x(Px \eand Qx)$ mondat azt jelentené, hogy minden az UD-ben található dolog mindkét zsebemben van és ezek negyed dollárosok: Minden létező érme negyed dolláros és a zsebeimben van. Ezt őrültség lenne így kimondani, és teljesen mást is jelent, mint a \ref{quan1}. mondat.  

Sentence \ref{quan2} is most naturally translated with an existential quantifier. It says that there is some coin which is both on the table and which is a dime. So we can translate it as $\exists x(Tx \eand Dx)$.

A \ref{quan2}. mondat legtermészetesebben egy egzisztenciális kvantorral fordítható le. Azt mondja ki, hogy van valamennyi érme, amely az asztalon van és tízcentes. Tehát ezt $\exists x(Tx \eand Dx)$-ként fordíthatjuk.

Notice that we needed to use a conditional with the universal quantifier, but we used a conjunction with the existential quantifier. What would it mean to write $\exists x(Tx \eif Dx)$? Probably not what you think. It means that there is some member of the UD which would satisfy the subformula; roughly speaking, there is some $a$ such that $(Ta \eif Da)$ is true. In SL, $\script{A} \eif \script{B}$ is logically equivalent to $\enot\script{A} \eor \script{B}$, and this will also hold in QL. So $\exists x(Tx \eif Dx)$ is true if there is some $a$ such that $(\enot Ta \eor Da)$; i.e., it is true if some coin is \emph{either} not on the table \emph{or} is a dime. Of course there is a coin that is not on the table--- there are coins in lots of other places. So $\exists x(Tx \eif Dx)$ is trivially true. A conditional will usually be the natural connective to use with a universal quantifier, but a conditional within the scope of an existential quantifier can do very strange things. As a general rule, do not put conditionals in the scope of existential quantifiers unless you are sure that you need one.

Észre lehet venni, hogy szükségünk volt egy implikáció használatára az univerzális kvantorhoz, de konjukciót használtunk az egzisztenciális kvantorhoz. Mit jelentene, ha a $\exists x(Tx \eif Dx)$-t írnánk le? Valószínűleg nem azt, amire gondolnánk. Azt jelenti, hogy az UD-nak van egy tagja, amely kielégíti a szubfüggvényt; Nyersen fogalmazva, létezik $a$ úgy, hogy $(Ta \eif Da)$ igaz. Az kijelentés logikában $\script{A} \eif \script{B}$ logikailag ekvivalens $\enot\script{A} \eor \script{B}$-el, és ez a kvantifikált logikában is így van. Szóval $\exists x(Tx \eif Dx)$ igaz, ha létezik $a$ úgy, hogy $(\enot Ta \eor Da)$; vagyis: igaz, ha valamennyi érme \emph{vagy} nincs az asztalon \emph{vagy} tízcentes. Persze van olyan érme, amely nincs az asztalon -- sok más helyen is vannak érmék. Tehát $\exists x(Tx \eif Dx)$ triviálisan igaz. Az implikáció lesz általában a természetes kapcsolat az univerzális kvantor haszhálatához, de egy implikáció az egzisztenciális kvantoron belül elég furcsa dolgokat tud csinálni. Általános szabályként, ne rakjunk implikáció az egzisztenciális kvantoron belülre, kivéve, ha biztosak vagyunk benne, hogy szükségünk van a használatára.

Sentence \ref{quan3} can be paraphrased as, `It is not the case that every coin on the table is a dime.' So we can translate it as $\enot \forall x(Tx \eif Dx)$. You might look at sentence \ref{quan3} and paraphrase it instead as, `Some coin on the table is not a dime.' You would then translate it as $\exists x(Tx \eand \enot Dx)$. Although it is probably not obvious, these two translations are logically equivalent. (This is due to the logical equivalence between $\enot\forall x\script{A}$ and $\exists x\enot\script{A}$, along with the equivalence between $\enot(\script{A}\eif\script{B})$ and $\script{A}\eand\enot\script{B}$.)

A \ref{quan3}. mondat értelmezhető úgy, hogy „Nem áll fenn, hogy minden érme az asztalon tízcentes.” Szóval fordíthatjuk ezt $\enot \forall x(Tx \eif Dx)$-ként. Lehet, hogy ránézünk a \ref{quan3}-os mondatra és úgy értelmezzük, hogy „Néhány érme az asztalon nem tízcentes.” Ezt utána $\exists x(Tx \eand \enot Dx)$-ként fordítanánk le. Bár Valószínűleg ez nem teljesen egyértelmű, de ez a két fordítás logikailag ekvivalens. (Ez a $\enot\forall x\script{A}$ és $\exists x\enot\script{A}$ közötti logikai ekvivalencia miatt fordulhat elő, valamint még a $\enot(\script{A}\eif\script{B})$ és $\script{A}\eand\enot\script{B}$ között lévő ekvivalencia miatt.)

Sentence \ref{quan4} can be paraphrased as, `It is not the case that there is some dime in my pocket.' This can be translated as $\enot\exists x(Px \eand Dx)$. It might also be paraphrased as, `Everything in my pocket is a non-dime,' and then could be translated as $\forall x(Px \eif \enot Dx)$. Again the two translations are logically equivalent. Both are correct translations of sentence \ref{quan4}.

A \ref{quan4}. mondat értelmezhető úgy, hogy „Nem áll fenn, hogy van valamennyi tízcentes a zsebemben.” Ezt lefordíthatjuk úgy, hogy $\enot\exists x(Px \eand Dx)$. Még úgy is lehet értelmezni, hogy „A zsebemben minden nem tízcentes,” és aztán úgy fordítható, hogy $\forall x(Px \eif \enot Dx)$. A két fordítás ismét logikailag ekvivalens. Mindkettő helyes fordítása a \ref{quan4}-es mondatnak.

We can now translate the argument from p.~\pageref{willard1}, the one that motivated the need for quantifiers:
\begin{quote}
Willard is a logician. All logicians wear funny hats.\\
\therefore\ Willard wears a funny hat.
\end{quote}

Most már le tudjuk fordítani a kifejezést a ~\pageref{willard1}. oldalról, amely szükségessé tette a kvantorok használatát:
\begin{quote}
Willard egy logikával foglalkozó tudós. Minden logikával foglalkozó tudós vicces kalapot hord.\\
\therefore\ Willard egy vicces kalapot hord.
\end{quote}

%NG fordítása vége

%BV fordítása kezdet

\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Lx:] $x$ is a logician.
\item[Fx:] $x$ wears a funny hat.
\item[w:] Willard
\end{ekey}
Translating, we get:
\begin{earg}
\item[] $Lw$
\item[] $\forall x(Lx \eif Fx)$
\item[\therefore] $Fw$
\end{earg}

\begin{ekey}
\item[UD:] emberek
\item[Lx:] $x$ logikával foglalkozó tudós.
\item[Fx:] $x$ vicces kalapot visel.
\item[w:] Willard
\end{ekey}
Lefordítva kapjuk:
\begin{earg}
\item[] $Lw$
\item[] $\forall x(Lx \eif Fx)$
\item[\therefore] $Fw$
\end{earg}

This captures the structure that was left out of the SL translation of this argument, and this is a valid argument in QL.

Ez rögzíti a struktúrát, amelyet kihagytak ennek az argumentumnak a KL fordításából, és ez egy érvényes argumentum a PL-ben.




\nix{What does $(\forall x) Oxi$ mean? [Wait.] `Ryan and I owe me money.' It might be true (although slightly odd), but it would be very different than the same formal sentence with a UD of all people.}



\subsection{Empty predicates}
A predicate need not apply to anything in the UD. A predicate that applies to nothing in the UD is called an \define{empty} predicate.

\subsection{Üres predikátumok}
A predikátumnak nem kell semmire sem vonatkoznia az UD-ben. Egy olyan predikátumot, amely az UD-n semmire sem vonatkozik, \define{üres} predikátumnak nevezik.

Suppose we want to symbolize these two sentences:
\begin{earg}
\item[\ex{monkey1}]Every monkey knows sign language.
\item[\ex{monkey2}]Some monkey knows sign language.
\end{earg}
It is possible to write the symbolization key for these sentences in this way:
\begin{ekey}
\item[UD:] animals
\item[Mx:] $x$ is a monkey.
\item[Sx:] $x$ knows sign language.
\end{ekey}

Tegyük fel, hogy szimbolizálni akarjuk ezt a két mondatot:
\begin{earg}
\item[\ex{monkey1}]Minden majom ismeri a jelnyelvet.
\item[\ex{monkey2}]Néhány majom ismeri a jelnyelvet.
\end{earg}
Így lehet a következő mondatokhoz szimbolizáló kulcsot írni:
\begin{ekey}
\item[UD:] állatok
\item[Mx:] $x$ egy majom.
\item[Sx:] $x$ ismeri a jelnyelvet.
\end{ekey}

Sentence \ref{monkey1} can now be translated as $\forall x(Mx \eif Sx)$.
A \ref{monkey1} mondat lefordítható $\forall x(Mx \eif Sx)$-ként.

Sentence \ref{monkey2} becomes $\exists x(Mx \eand Sx)$.
A \ref{monkey2} mondat $\exists x(Mx \eand Sx)$ lesz.


It is tempting to say that sentence \ref{monkey1} entails sentence \ref{monkey2}; that is: if every monkey knows sign language, then it must be that some monkey knows sign language. This is a valid inference in Aristotelean logic: All $M$s are $S$, \therefore\ some $M$ is $S$. However, the entailment does not hold in QL. It is possible for the sentence $\forall x(Mx \eif Sx)$ to be true even though the sentence $\exists x(Mx \eand Sx)$ is false.

Kísértő azt mondani, hogy a \ref{monkey1} mondat magában foglalja a \ref{monkey2} mondatot; vagyis: ha minden majom ismeri a jelnyelvet, akkor lehet, hogy néhány majom ismeri a jelnyelvet. Ez érvényes következtetés az Arisztotelészi logikában: Minden $M$ $S$, \therefore\ néhány $M$ pedig $S$. Azonban a következtetés nem érvényes a PL-ben. Lehetséges, hogy a $\forall x(Mx \eif Sx)$ mondat igaz, még akkor is, ha a $\exists x(Mx \eand Sx)$ mondat hamis.


How can this be? The answer comes from considering whether these sentences would be true or false \emph{if there were no monkeys}.

Hogy lehet ez? A válasz abból adódik, hogy figyelembe vesszük, vajon ezek a mondatok valóban hamisak lennének-e, \emph{ha nem lennének majmok}.

%BV fordítása vége

%OM fordítása kezdet

We have defined $\forall$ and $\exists$ in such a way that $\forall\script{A}$ is equivalent to $\enot \exists\enot \script{A}$. As such, the universal quantifier doesn't involve the existence of anything--- only non-existence. If sentence \ref{monkey1} is true, then there are \emph{no} monkeys who don't know sign language. If there were no monkeys, then $\forall x(Mx \eif Sx)$ would be true and $\exists x(Mx \eand Sx)$ would be false.

$\forall$-t és $\exists$-t úgy definiáltuk, hogy $\forall\script{A}$ egyenlő a $\enot \exists\enot \script{A}$ kifejezéssel. Ebből következik, hogy az univerzális kvantor nem valaminek a létezését jelenti, hanem csupán a nem-létezését. Ha a \ref{monkey1}. mondat igaz, akkor \emph{nincsenek} majmok, akik nem ismerik a jelnyelvet. Ha nincsenek majmok, akkor $\forall x(Mx \eif Sx)$ igaz és $\exists x(Mx \eand Sx)$ hamis.

We allow empty predicates because we want to be able to say things like, `I do not know if there are any monkeys, but any monkeys that there are know sign language.' That is, we want to be able to have predicates that do not (or might not) refer to anything.

Használhatunk üres predikátumokat, hiszen mondunk a következőhöz hasonlókat: „Nem tudom, hogy vannak-e itt majmok, azt pedig főleg nem tudom, hogy ismerik-e a jelnyelvet.”. Ebből kifolyólag szeretnénk olyan predikátumokat használni, amik nem (vagy talán nem) vonatkoznak semmire.

%Third, consider: $(\forall x)(Px \eif Px)$. This should be a tautology. But if sentence \ref{monkey1} implied sentence \ref{monkey2}, then this would imply $(\exists x)(Px \eand Px)$. It would become a logical truth that for any predicate there is something that satisfies that predicate.

What happens if we add an empty predicate $R$ to the interpretation above? For example, we might define $Rx$ to mean `$x$ is a refrigerator.' Now the sentence $\forall x(Rx \eif Mx)$ will be true. This is counterintuitive, since we do not want to say that there are a whole bunch of refrigerator monkeys. It is important to remember, though, that $\forall x(Rx \eif Mx)$ means that any member of the UD which is a refrigerator is a monkey. Since the UD is animals, there are no refrigerators in the UD and so the sentence is trivially true.

Mi történik, ha a fenti kijelentéshez adunk egy $R$ üres predikátumot? Például definiálhatjuk $Rx$-et úgy, hogy az azt jelentse, hogy „$x$ egy hűtő.” Ekkor a $\forall x(Rx \eif Mx)$ logikai kijelentés értéke igaz lesz. Ez ellentétes azzal, amit a józan ész diktál, hiszen nem akarjuk azt mondani, hogy van egy csomó hűtő, aki majom. Ne felejtsük el, hogy a  $\forall x(Rx \eif Mx)$ állítás azt jelenti, hogy az UD bármely azon tagja, aki egy hűtő, az egyben egy majom is. Mivel az UD az állatokat jelenti, kizárt, hogy egy hűtő is a tagjai közt legyen. Ebből már egyértelműen látszik, hogy az állítás igaz.

If you were actually translating the sentence `All refrigerators are monkeys', then you would want to include appliances in the UD. Then the predicate $R$ would not be empty and the sentence $\forall x(Rx \eif Mx)$ would be false.

Ha úgy fordítanánk a mondatot, hogy „minden hűtő majom”, akkor a konyhai készülékeket is bele kellene venni az UD halmazba. Ekkor az $R$ predikátum nem lenne üres és a $\forall x(Rx \eif Mx)$ állítás értéke hamis lenne.

\begin{table}[h!]
\factoidbox{
\begin{itemize}
\item A UD must have \emph{at least} one member.
\item A predicate may apply to some, all, or no members of the UD.
\item A constant must pick out \emph{exactly} one member of the UD.

 A member of the UD may be picked out by one constant, many constants, or none at all.
\end{itemize}
}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\factoidbox{
\begin{itemize}
\item UD-nek \emph{legalább} egy tagja van.
\item A predikátum vonatkozhat közülük néhányra, az összesre vagy egyre sem.
\item Egy konstans \emph{pontosan} egy elemet határoz meg UD-ből. 

Egy elem az UD-ből néhány, az összes vagy nulla konstans által kerülhet kiválasztásra.
\end{itemize}
}
\end{table}

\subsection*{Picking a Universe of Discourse}
\subsection{Egy Univerzum kiválasztása}
The appropriate symbolization of an English language sentence in QL will depend on the symbolization key. In some ways, this is obvious: It matters whether $Dx$ means `$x$ is dainty' or `$x$ is dangerous.' The meaning of sentences in QL also depends on the UD.

Egy adott mondat megfelelő leírása a PL-ben a szimbolizációs kulcs megválasztásától függ. Bizonyos értelemben ez nyilvánvaló, hiszen számít, hogy $Dx$ azt jelenti, hogy „$x$ kecses” vagy azt, hogy „$x$ veszélyes.” A mondatok jelentése a PL-ben az UD-től is függ.

Let $Rx$ mean `$x$ is a rose,' let $Tx$ mean `$x$ has a thorn,' and consider this sentence:
\begin{earg}
\item[\ex{pickUDrose}] Every rose has a thorn.
\end{earg}

$Rx$ jelentse, hogy „$x$ egy rózsa” és $Tx$ jelentse, hogy „$x$-nek tüskéje van.” Ekkor vegyük a következő mondatot:
\begin{earg}
\item[\ex{pickUDrose}] Minden rózsának van tüskéje.
\end{earg}

It is tempting to say that sentence \ref{pickUDrose} should be translated as $\forall x(Rx \eif Tx)$. If the UD contains all roses, that would be correct. Yet if the UD is merely \emph{things on my kitchen table}, then $\forall x(Rx \eif Tx)$ would only mean that every rose on my kitchen table has a thorn. If there are no roses on my kitchen table, the sentence would be trivially true.

Könnyen rávághatjuk, hogy a \ref{pickUDrose} mondatot $\forall x(Rx \eif Tx)$ logikával jelölhetjük. Ha az UD az összes rózsát tartalmazza, akkor ez igaz is. Viszont, ha az UD az \emph{asztalomon lévő tárgyakat} takarja, akkor a $\forall x(Rx \eif Tx)$ mondat csupán azt jelentené, hogy az asztalomon lévő összes rózsának van tüskéje. Ha nincsenek az asztalomon rózsák, könnyen látható, hogy a kijelentés igaz.

%OM fordítása vége

%JT fordítás kezdete
%\begin{earg}
%\item[\ex{pickUDrose}] Every rose has a thorn.
%\item[\ex{pickUDrose}] Minden rózsának van tüskéje.
%\end{earg}


%It is tempting to say that sentence \ref{pickUDrose} should be translated as $\forall x(Rx \eif Tx)$. If the UD contains all roses, that would be correct. Yet if the UD is merely \emph{things on my kitchen table}, then $\forall x(Rx \eif Tx)$ would only mean that every rose on my kitchen table has a thorn. If there are no roses on my kitchen table, the sentence would be trivially true.

%Helytálló lehet azt mondani, hogy a \ref{pickUDrose} mondat a következőképpen értelmezhető: $\forall x(Rx \eif Tx)$. Ha az UD tartalmazza az összes rózsát. akkor ez helyes lenne. Viszont ha az UD csupán a konyhaasztalomon lévő dolgokra vonatkozik, akkor $\forall x(Rx \eif Tx)$ csupán azt jelentené, hogy a konyhaasztalomon lévő minden rózsának van tüskéje. Ha nincsenek rózsák a konyhaasztalomon, a mondat triviálisan igaz lenne.

The universal quantifier only ranges over members of the UD, so we need to include all roses in the UD in order to translate sentence \ref{pickUDrose}. We have two options. First, we can restrict the UD to include all roses but \emph{only} roses. Then sentence \ref{pickUDrose} becomes $\forall x Tx$. This means that everything in the UD has a thorn; since the UD just is the set of roses, this means that every rose has a thorn. This option can save us trouble if every sentence that we want to translate using the symbolization key is about roses.

Az univerzális kvantorok csupán az UD tagjaira terjednek ki, szóval bele kell számítanunk az összes rózsát a UD-ba ahhoz, hogy le tudjuk fordítani a \ref{pickUDrose}. mondatot. Két lehetőségünk van. Az első, lekorlátozhatjuk az UD-t, hogy az összes rózsát tartalmazza, de \emph{csak} rózsákat. Ebben az esetben a \ref{pickUDrose}. mondat $\forall x Tx$ lesz. Ez azt jelenti, hogy mindennek ami az UD-ban van, van tüskéje; mivel az UD csak rózsát tartalmaz, ezért ez azt jelenti, hogy minden rózsának van tüskéje. Ez a lehetőség megkímél minket a problémáktól, ha minden mondat, amit értelmezni szeretnénk a szimbolizációs kulcs segítségével, a rózsákról szól.

Second, we can let the UD contain things besides roses: rhododendrons, rats, rifles, and whatall else. Then sentence \ref{pickUDrose} must be $\forall x(Rx \eif Tx)$.

A második lehetőségünk, hogy megengedjük, hogy az UD tartalmazzon más dolgokat is a rózsákon kívül: Havasszépét, patkányokat, puskákat, bármi mást. Így a \ref{pickUDrose}. mondat $\forall x(Rx \eif Tx)$ kell, hogy legyen.

If we wanted the universal quantifier to mean \emph{every} thing, without restriction, then we might try to specify a UD that contains everything. This would lead to problems. Does `everything' include things that have only been imagined, like fictional characters? On the one hand, we want to be able to symbolize arguments about Hamlet or Sherlock Holmes. So we need to have the option of including fictional characters in the UD. On the other hand, we never need to talk about every thing that does not exist. That might not even make sense. There are philosophical issues here that we will not try to address. We can avoid these difficulties by always specifying the UD. For example, if we mean to talk about plants, people, and cities, then the UD might be `living things and places.'

Ha azt akarjuk, hogy az univerzális kvantorok \emph{minden} dolgot jelentsenek, korlátozások nélkül, akkor megpróbálhatunk meghatározni egy UD-t, ami mindent tartalmaz. Ez problémákhoz vezetne. A „mindenbe” beletartoznának olyan dolgok is, amiket csak elképzeltünk, mint például kitalált karakterek? Másrészről, azt akarjuk, hogy a Hamletről és Sherlock Holmesról szóló érveket szimbolizálhassuk. Tehát lehetőséget kell teremtenünk arra, hogy a kitalált karaktereket az UD részévé tegyük. Másrészről, nem szükséges minden olyan dologról beszélnünk, ami nem létezik. Talán nincs is értelme. Ezek filozófiai kérdések, amikkel nem fogunk foglalkozni. Elkerülhetjük ezeket a problémákat azzal, hogy meghatározzuk az UD-t. Például ha a növényekról, emberekről, városokról szeretnénk beszélni, akkor az UD lehetne „élő dolgok és helyek.”

Suppose that we want to translate sentence \ref{pickUDrose} and, with the same symbolization key, translate these sentences:

Tegyük fel, hogy értelmezni akarjuk a \ref{pickUDrose} mondatot és ugyanazzal a szimbolizációs kulccsal az alábbi mondatokat is értelmezni szeretnénk:

\begin{earg}
\item[\ex{pickUDhair}] Esmerelda has a rose in her hair.
\item[\ex{pickUDcross}] Everyone is cross with Esmerelda.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{pickUDhair}] Esmereldának van egy rózsa a hajában.
\item[\ex{pickUDcross}] Mindenki haragszik Esmeraldára.
\end{earg}

We need a UD that includes roses (so that we can symbolize sentence \ref{pickUDrose}) and a UD that includes people (so we can translate sentence \ref{pickUDhair}--\ref{pickUDcross}.) Here is a suitable key:

Szükségünk van egy UD-ra, ami tartalmazza a rózsákat (azért, hogy szimbolizálni tudjuk a \ref{pickUDrose} mondatot) és egy UD-ra, ami tartalmazza az embereket(azért, hogy értelmezni tudjuk a 21-22. mondatot.) Itt egy alkalmazható kulcs:

\begin{ekey}
\item[UD:] people and plants
\item[Px:] $x$ is a person.
\item[Rx:] $x$ is a rose.
\item[Tx:] $x$ has a thorn.
\item[Cxy:] $x$ is cross with $y$.
\item[Hxy:] $x$ has $y$ in their hair.
\item[e:] Esmerelda
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[UD:] emberek és növények 
\item[Px:] $x$ egy személy.
\item[Rx:] $x$ egy rózsa.
\item[Tx:] $x$-nek tüskéje van.
\item[Cxy:] $x$ haragszik $y$-ra. 
\item[Hxy:] $x$-nek $y$ van a hajában.
\item[e:] Esmerelda 
\end{ekey}

Since we do not have a predicate that means `$\ldots$ has a rose in her hair', translating sentence \ref{pickUDhair} will require paraphrasing. The sentence says that there is a rose in Esmerelda's hair; that is, there is something which is both a rose and is in Esmerelda's hair. So we get: $\exists x(Rx \eand Hex)$.

Mivel nincs egy predikátumunk, ami azt jelenti, hogy „$\ldots$-nak van egy rózsa a hajában”, ezért a \ref{pickUDhair}. mondat értelmezése újrafogalmazást igényel. A mondat arról szól, hogy egy rózsa van Esmerelda hajában; azaz van valami, ami egyszerre rózsa és Esmeralda hajában is van. Szóval ezt kapjuk: $\exists x(Rx \eand Hex)$.

%JT fordítás vége

%MBM fordítása kezdet

It is tempting to translate sentence \ref{pickUDcross} as $\forall x Cxe$. Unfortunately, this would mean that every member of the UD is cross with Esmerelda--- both people and plants. It would mean, for instance, that the rose in Esmerelda's hair is cross with her. Of course, sentence \ref{pickUDcross} does not mean that.

Csábító a \ref{pickUDcross}. mondatot így lefordítani: $\forall x Cxe$. Sajnálatos módon ez azt jelenti, hogy UD minden tagja haragszik Esmereldára -- emberek és növények egyaránt. Ez azt jelentené péládul, hogy a rózsa Esmerelda hajában haragszik rá. Természetesen, \ref{pickUDcross}. mondat nem ezt jelenti.

`Everyone' means every person, not every member of the UD. So we can paraphrase sentence \ref{pickUDcross} as, `Every person is cross with Esmerelda.' We know how to translate sentences like this: $\forall x(Px \eif Cxe)$

„Mindenki” minden embert jelenti, nem az UD minden tagját. Tehát a \ref{pickUDcross}. mondatot úgy fogalmazhatjuk meg,hogy  „Minden ember haragszik Esmereldára.” Tudjuk, hogy ezt így kell lefordítani: $\forall x(Px \eif Cxe)$

In general, the universal quantifier can be used to mean `everyone' if the UD contains only people. If there are people and other things in the UD, then `everyone' must be treated as `every person.'

Általában, az univerzális kvantor azt jelenti „mindenki” ha az UD csak embereket tartalmaz. Ha embereket és más dolgokat is tartalmaz az UD, a „mindenkit” úgy kell kezelni, mint „minden embert.”





\subsection*{Translating pronouns}
\subsection{Névmások fordítása}
When translating to QL, it is important to understand the structure of the sentences you want to translate. What matters is the final translation in QL, and sometimes you will be able to move from an English language sentence directly to a sentence of QL. Other times, it helps to paraphrase the sentence one or more times. Each successive paraphrase should move from the original sentence closer to something that you can translate directly into QL.


A PL-re való fordításnál, fontos megérteni a lefordítandó mondatok szerkezetét. A végső PL fordítás számít, és néha a magyar nyelvű mondatról közvetlenül áttérhetünk a PL mondatra. Máskor segíthet egy mondat egyszeri vagy többszöri körülírása. Minden sikeres körülírással közelebb kell jutni az eredeti mondattól egy olyan megfogalmazáshoz, amit lefordíthatunk PL-re.

For the next several examples, we will use this symbolization key:

\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Gx:] $x$ can play guitar.
\item[Rx:] $x$ is a rock star.
\item[l:] Lemmy
\end{ekey}

A következő pár pédában ezt a szimbolizációs kulcsot fogjuk használni:

\begin{ekey}
\item[UD:] ember
\item[Gx:] $x$ tud gitározni.
\item[Rx:] $x$ egy rocksztár.
\item[l:] Lemmy
\end{ekey}

Now consider these sentences:

\begin{earg}
\item[\ex{pronoun1}] If Lemmy can play guitar, then he is a rock star.
\item[\ex{pronoun2}] If a person can play guitar, then he is a rock star.
\end{earg}

Most nézzük ezeket a mondatokat:

\begin{earg}
\item[\ex{pronoun1}] Ha Lemmy tud gitározni, akkor ő egy rocksztár.
\item[\ex{pronoun2}] Ha egy ember tud gitározni, akkor ő egy rocksztár.
\end{earg}

Sentence \ref{pronoun1} and sentence \ref{pronoun2} have the same consequent (`$\ldots$ he is a rock star'), but they cannot be translated in the same way. It helps to paraphrase the original sentences, replacing pronouns with explicit references.

A \ref{pronoun1}. és a \ref{pronoun2}. mondatnak ugyan az a következtetése („$\ldots$ ő egy rocksztár”), de nem fordíthatjuk ugyanúgy. Segít az eredeti mondat átfogalmazásában, ha a névmásokat kifejezett hivatkozásokra cseréljük.

Sentence \ref{pronoun1} can be paraphrased as, `If Lemmy can play guitar, then \emph{Lemmy} is a rockstar.' This can obviously be translated as $Gl \eif Rl$.

A \ref{pronoun1}. mondat átfogalmazható így, „Ha Lemmy tud gitározni, akkor \emph{Lemmy} egy rocksztár.” Ezt le tudjuk írni így $Gl \eif Rl$.

%Sentence \ref{pronoun2} must be paraphrased differently: `If a person can play guitar, then \emph{that person} is a rock star.' This sentence is not about any particular person, so we need a variable. Translating halfway, we can paraphrase the sentence as, `For any person $x$, if $x$ can play guitar, then $x$ is a rockstar.' Now this can be translated as $\forall x (Gx \eif Rx)$. This is the same as, `Everyone who can play guitar is a rock star.'

%A \ref{pronoun2}. mondatot máshogy kell megfogalmazni: `Ha egy ember tud gitározni, akkor \emph{ez az ember} egy rocksztár.' Ez a mondat nem konkrét személyről szól, tehát változóra van szükségünk. A fordítás felénél, körülírhatjuk a mondatot úgy, hogy `Bárki $x$, ha $x$ tud gitározni, akkor $x$ egy rocksztár.' Most le tudjuk fordítani úgy, hogy $\forall x (Gx \eif Rx)$. Ez ugyanaz mint, `Mindenki aki tud gitározni, egy rocksztár.'

%MBM fordítása vége

%PR fordítása kezdet


Sentence \ref{pronoun2} must be paraphrased differently: `If a person can play guitar, then \emph{that person} is a rock star.' This sentence is not about any particular person, so we need a variable. Translating halfway, we can paraphrase the sentence as, `For any person $x$, if $x$ can play guitar, then $x$ is a rockstar.' Now this can be translated as $\forall x (Gx \eif Rx)$. This is the same as, `Everyone who can play guitar is a rock star.'

\Aref{pronoun2}. mondatot másképpen kell megfogalmazni: „Ha egy ember tud játszani gitáron, akkor az az ember egy rocksztár.” Ez a mondat nem egy speciális emberről szól, ezért szükségünk van egy változóra. Másképpen lefordítva ezt a mondatot újra fogalmazhatjuk így: „Bármely $x$ személy esetén, ha $x$ tud játszani gitáron, akkor $x$ egy rocksztár.” Ebben az esetben ezt lehet úgy fordítani, mint $\forall x (Gx \eif Rx)$. Ez ugyanaz, mint „Mindenki, aki tud játszani gitáron az egy rocksztár.”


Consider these further sentences:

Tekintsük továbbá a következő mondatokat:


\begin{earg}
\item[\ex{anyone1}] If anyone can play guitar, then Lemmy can.
\item[\ex{anyone2}] If anyone can play guitar, then he or she is a rock star.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{anyone1}] Ha bárki tud játszani gitáron, akkor Lemmy tud.
\item[\ex{anyone2}] Ha bárki tud játszani gitáron, akkor ő egy rocksztár.
\end{earg}

These two sentences have the same antecedent (`If anyone can play guitar$\ldots$'), but they have different logical structures.

Ennek a két mondatnak azonos az előzménye („Ha bárki tud játszani gitáron $\ldots$”), de különböző logikai felépítése van.


Sentence \ref{anyone1} can be paraphrased, `If someone can play guitar, then Lemmy can play guitar.' The antecedent and consequent are separate sentences, so it can be symbolized with a conditional as the main logical operator: $\exists x Gx \eif Gl$.

\Aref{anyone1}. mondat megfogalmazható úgy, hogy „Ha valaki tud játszani gitáron, akkor Lemmy tud játszani gitáron.” Az előzmény és a konzekvencia elkülönítik a mondatokat, úgyhogy szimbolizálni lehet egy implikációval, mint fő logikai operátorral: $\exists x Gx \eif Gl$.


Sentence \ref{anyone2} can be paraphrased, `For anyone, if that one can play guitar, then that one is a rock star.' It would be a mistake to symbolize this with an existential quantifier, because it is talking about everybody. The sentence is equivalent to `All guitar players are rock stars.' It is best translated as $\forall x(Gx \eif Rx)$.

\Aref{anyone2}. mondat megfogalmazható úgy, hogy „Bárki, ha tud játszani gitáron, akkor ő egy rocksztár.” Hiba lenne ezt egy egzisztenciális kvantorral szimbolizálni, mert a mondat mindenkiről beszél. A mondat így egyenértékű azzal, hogy „Minden gitáros rocksztár.” A legjobb fordítása a $\forall x(Gx \eif Rx)$. 


The English words `any' and `anyone' should typically be translated using quantifiers. As these two examples show, they sometimes call for an existential quantifier (as in sentence \ref{anyone1}) and sometimes for a universal quantifier (as in sentence \ref{anyone2}). If you have a hard time determining which is required, paraphrase the sentence with an English language sentence that uses words besides `any' or `anyone.'

A magyar „bármi” és „bárki” szavak fordításánál tipikusan a kvantorokat kell használni. Ahogyan ez a két példa mutatja, néha egzisztenciális kvantorokat (ahogyan \aref{anyone1} mondatban) és néha univerzális kvantorokat (ahogyan \aref{anyone2} mondatban). Ha nehéz meghatározni, hogy melyik a megfelelő, újra kell fogalmazni a mondatot magyar nyelven, úgy, hogy használjuk a „bármi” és „bárki” szavakat. 


\subsection*{Quantifiers and scope}
\subsection{Kvantorok és hatásköreik}


In the sentence $\exists x Gx \eif Gl$, the scope of the existential quantifier is the expression $Gx$. Would it matter if the scope of the quantifier were the whole sentence? That is, does the sentence $\exists x (Gx \eif Gl)$ mean something different?

A $\exists x Gx \eif Gl$ mondatban, az egzisztenciális kvantor hatásköre a $Gx$ kifejezés. Számítana az, ha a kvantor hatásköre az egész mondat lenne? Azaz a $\exists x (Gx \eif Gl)$ mondat valami mást jelentene?


With the key given above, $\exists x Gx \eif Gl$ means that if there is some guitarist, then Lemmy is a guitarist. $\exists x (Gx \eif Gl)$ would mean that there is some person such that if that person were a guitarist, then Lemmy would be a guitarist. Recall that the conditional here is a material conditional; the conditional is true if the antecedent is false. Let the constant $p$ denote the author of this book, someone who is certainly not a guitarist. The sentence $Gp \eif Gl$ is true because $Gp$ is false. Since someone (namely $p$) satisfies the sentence, then $\exists x (Gx \eif Gl)$ is true. The sentence is true because there is a non-guitarist, regardless of Lemmy's skill with the guitar.

A fent megadott kulccsal, $\exists x Gx \eif Gl$ azt jelenti, ha van néhány gitáros, akkor Lemmy gitáros. $\exists x (Gx \eif Gl)$ azt jelentené, hogy van valaki, aki ha gitáros lenne, akkor Lemmy gitáros lenne. Emlékezzünk arra, hogy az implikáció, itt anyagi implikáció; az implikáció igaz, ha az előfeltétel hamis. Jelölje az állandó $p$ a könyv szerzőjét, valakit, aki biztosan nem gitáros. A $Gp \eif Gl$ mondat igaz, mert $Gp$ hamis. Mivel valaki ($p$) kielégíti a mondatot, $\exists x (Gx \eif Gl)$ igaz. A mondat igaz, mert van egy nem gitáros, leszámítva Lemmyt, aki tud gitározni.


%PR fordítása vége


%HD fordítása kezdet

Something strange happened when we changed the scope of the quantifier, because the conditional in QL is a material conditional. In order to keep the meaning the same, we would have to change the quantifier: $\exists x Gx \eif Gl$ means the same thing as $\forall x (Gx \eif Gl)$, and $\exists x (Gx \eif Gl)$ means the same thing as $\forall x Gx \eif Gl$.

Valami furcsa dolog történt, amikor megváltoztattuk a kvantor hatókörét, mivel a PL-hez tartozó feltétel egy lényeges implikáció. Ahhoz hogy megmaradjon az eredeti jelentése, érdemes lenne megváltoztatnunk a kvantort: $\exists x Gx \eif Gl$ jelentse azt, mint $\forall x (Gx \eif Gl)$, és $\exists x (Gx \eif Gl)$ jelentse ugyanazt, mint $\forall x Gx \eif Gl$.

This oddity does not arise with other connectives or if the variable is in the consequent of the conditional. For example, $\exists x Gx \eand Gl$ means the same thing as $\exists x (Gx \eand Gl)$, and $Gl \eif \exists x Gx$ means the same things as $\exists x(Gl \eif Gx)$.

Ez a furcsaság nem merül fel másik műveletekkel vagy ha a változó a konzekvenciában is szerepel. Például, $\exists x Gx \eand Gl$ ugyanazt jelenti, mint $\exists x (Gx \eand Gl)$, és $Gl \eif \exists x Gx$ jelentése megegyezik $\exists x(Gl \eif Gx)$ jelentésével. 

\subsection*{Ambiguous predicates}
\subsection{Kétértelmű prédikátumok}

Suppose we just want to translate this sentence:

Tételezzük fel, hogy le szeretnénk fordítani a következő mondatokat:
\begin{earg}
\item[\ex{surgeon1}] Adina is a skilled surgeon.
\end{earg}
\begin{earg}
\item[\ex{surgeon1}] Adina egy szakképzett sebész.
\end{earg}
Let the UD be people, let $Kx$ mean `$x$ is a skilled surgeon', and let $a$ mean Adina. Sentence \ref{surgeon1} is simply $Ka$.

Az Univerzum legyen: emberek, $Kx$ pedig jelentse azt, hogy „$x$ egy tapasztalt sebész”, és $a$-t értelmezzük Adinának. A \ref{surgeon1} mondat egyszerűen csak $Ka$.

Suppose instead that we want to translate this argument:

Tegyük fel, hogy le akarjuk fordítani ezt az érvet:
\begin{quote}
The hospital will only hire a skilled surgeon. All surgeons are greedy. Billy is a surgeon, but is not skilled. Therefore, Billy is greedy, but the hospital will not hire him.
\end{quote}
\begin{quote}
A kórház csak szakképzett sebészeket fog alkalmazni. Az összes sebész kapzsi. Billy sebész, de nem igazán jártas a munkájában. Emiatt Billy kapzsi, de a kórház nem fogja alkalmazni. Billy kapzsi és emiatt a kórház nem fogja alkalmazni. 
\end{quote}
We need to distinguish being a \emph{skilled surgeon} from merely being a \emph{surgeon}. So we define this symbolization key:

Érdemes lenne különbséget tennünk aközött, ha valaki jártas a sebészet világában vagy csupán egy sima sebész.Így ezek segítségével értelmezzük ezt a szimbolizációs kulcsot:
\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Gx:] $x$ is greedy.
\item[Hx:] The hospital will hire $x$.
\item[Rx:] $x$ is a surgeon.
\item[Kx:] $x$ is skilled.
\item[b:] Billy
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[Univerzum:] emberek
\item[Gx:] $x$ kapzsi
\item[Hx:] A kórház alkalmazza $x$-et.
\item[Rx:] $x$ egy sebesz.
\item[Kx:] $x$ tapasztalt.
\item[b:] Billy
\end{ekey}

Now the argument can be translated in this way:

Ezáltal le tudjuk fordítani ezt a érvelést:
\begin{earg}
\label{surgeon2}
\item[] $\forall x\bigl[\enot (Rx \eand Kx) \eif \enot Hx\bigr]$
\item[] $\forall x(Rx \eif Gx)$
\item[] $Rb \eand \enot Kb$
\item[\therefore] $Gb \eand \enot Hb$
\end{earg}


%HD fordítása vége

%TB fordítása kezdet

Next suppose that we want to translate this argument:

Következőnek tegyük fel, hogy le akarjuk fordítani ezt az érvelést:
\begin{quote}
\label{surgeon3}
Carol is a skilled surgeon and a tennis player. Therefore, Carol is a skilled tennis player.
\end{quote}
If we start with the symbolization key we used for the previous argument, we could add a predicate (let $Tx$ mean `$x$ is a tennis player') and a constant (let $c$ mean Carol). Then the argument becomes:
\begin{earg}
\item[] $(Rc \eand Kc) \eand Tc$
\item[\therefore] $Tc \eand Kc$
\end{earg}
This translation is a disaster! It takes what in English is a terrible argument and translates it as a valid argument in QL. The problem is that there is a difference between being \emph{skilled as a surgeon} and \emph{skilled as a tennis player}. Translating this argument correctly requires two separate predicates, one for each type of skill. If we let $K_1x$ mean `$x$ is skilled as a surgeon' and $K_2x$ mean `$x$ is skilled as a tennis player,' then we can symbolize the argument in this way:
\begin{earg}
\label{surgeon3correct}
\item[] $(Rc \eand K_1c) \eand Tc$
\item[\therefore] $Tc \eand K_2c$
\end{earg}

\begin{quote}
\label{surgeon3}
Carol szakképzett sebés és teniszezik. Ennélfogva Carol egy szakképzett teniszező.
\end{quote}
Ha az előző érvelésben használt szimbolizációs kulccsal kezdünk, hozzáadhatjuk a predikátumot (jelentse $Tx$ hogy $x$ teniszezik') és egy konstansot (legyen $c$ Carol). Ekkor az érvelés a következő:
\begin{earg}
\item[] $(Rc \eand Kc) \ eand Tc$
\item\therefore] $ Tx \eand Kc$
\end{earg}
Ez a fordítás katasztrofális! Veszi a magyar nyelven szörnyű érvelést és lefordítja egy PL-ben érvényes érveléssé. A probléma az, hogy különbség van \emph{szakképzett sebésznek lenni} és \emph{szakképzett teniszezőnek lenni} között. Az érvelés helyes fordításához kétfajta predikátum szükséges, mindkét ismerethez egy. Ha $K_1x$ azt jelenti, hogy '$x$ egy képzett sebész' és $K_2x$ azt, hogy '$x$ képzett teniszező', akkor így szimbolizálhatjuk az érvelést:
\begin{earg}
\label{surgeon3correct}
\item[] $(Rc \eand K_1c) \eand Tc$
\item[\therefore] $Tc \eand K_2c$
\end{earg}

Like the English language argument it translates, this is invalid. %\nix{Notice that there is no logical connection between $K_1c$ and $Rc$. As symbols of QL, they might be any one-place predicates. In English there is a connection between being a \emph{surgeon} and being a \emph{skilled surgeon}: Every skilled surgeon is a surgeon. In order to capture this connection, we symbolize `Carol is a skilled surgeon' as $Rc \eand K_1c$. This means: `Carol is a surgeon and is skilled as a surgeon.'}

Pont ahogy a magyar mondat amit lefordít, ez is helytelen %\nix{Vegyük észre, hogy nincs logikai kapcsolat $K_1c$ és $Rx$ között. Mint PL szimbólumok, lehetnek unáris predikátumok. Angol nyelvben van kapcsolat \emph{sebész} és \emph{szakképzett sebész} között: minden szakképzett sebész sebész. Annak érdekében hogy ezt a kapcsolatot megfogalmazzuk, szimbolizáljuk a 'Carol egy szakképzett sebész'-t mint $Rc \eand K_1c$. Ekkor a jelentése: 'Carol egy sebész és szakképzett, mint sebész.'}

The moral of these examples is that you need to be careful of symbolizing predicates in an ambiguous way. Similar problems can arise with predicates like \emph{good}, \emph{bad}, \emph{big}, and \emph{small}. Just as skilled surgeons and skilled tennis players have different skills, big dogs, big mice, and big problems are big in different ways.

Ezen példák tanulsága az, hogy nagyon elővigyázatosan fordítsunk kétértelmű predikátumokat. Hasonló problémákba ütközhetünk a \emph{jó}, \emph{rossz}, \emph{nagy}, és \emph{kicsi} predikátumokkal. Ugyanúgy, ahogy egy képzett sebésznek és egy képzett teniszezőnek más jártasságai vannak, egy nagy kutya, nagy egér és egy nagy probléma is másképpen nagy. 

Is it enough to have a predicate that means `$x$ is a skilled surgeon', rather than two predicates `$x$ is skilled' and `$x$ is a surgeon'? Sometimes. As sentence \ref{surgeon1} shows, sometimes we do not need to distinguish between skilled surgeons and other surgeons.

Vajon elég egy predikátum, ami azt jelenti, hogy '$x$ egy képzett sebész', ahelyett, hogy két predikátumot használnánk, mint '$x$ képzett' és $x$ sebész'? Néha. Ahogy a \ref{surgeon} mondat mutatja, néha nem kell különbséget tenni képzett sebészek és más sebészek között. 

Must we always distinguish between different ways of being skilled, good, bad, or big? No. As the argument about Billy shows, sometimes we only need to talk about one kind of skill. If you are translating an argument that is just about dogs, it is fine to define a predicate that means `$x$ is big.' If the UD includes dogs and mice, however, it is probably best to make the predicate mean `$x$ is big for a dog.'

Vajon mindig meg kell különböztessük a képzett, jó, rossz vagy nagy különböző jelentéseit? Nem. Ahogy az érvelés Billyről mutatja, néha elég egy fajta készségről beszélni. Ha egy érvelés csak kutyákról szól, rendben van definiálni egy predikátumot '$x$ nagy' jelentéssel. Azonban ha az UD kutyákat és egereket is tartalmaz, valószínűleg a legjobb egy olyan predikátumot definiálni, ami '$x$ nagy egy kutyához képest'-et jelent.

%TB fordítása vége

%NASz fordítása kezdet

\subsection*{Multiple quantifiers}
\subsection{Több kvantor}
Consider this following symbolization key and the sentences that follow it:
\begin{ekey}
\item{UD:} People and dogs
\item{Dx:} $x$ is a dog.
\item{Fxy:} $x$ is a friend of $y$.
\item{Oxy:} $x$ owns $y$.
\item{f:} Fifi
\item{g:} Gerald
\end{ekey}

Tekinstük az alábbi kulcsokat és a hozzájuk tartozó mondatokat:
\begin{ekey}
\item{UD:} Emberek és kutyák
\item{Dx:} $x$ egy kutya.
\item{Fxy:} $x$ barátja $y$-nak.
\item{Oxy:} $x$ birtokolja $y$-t.
\item{f:} Fifi
\item{g:} Gerald
\end{ekey}

\begin{earg}
\item[\ex{dog1}] Fifi is a dog.
\item[\ex{dog2}] Gerald is a dog owner.
\item[\ex{dog3}] Someone is a dog owner.
\item[\ex{dog4}] All of Gerald's friends are dog owners.
\item[\ex{dog5}] Every dog owner is the friend of a dog owner.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{dog1}] Fifi egy kutya.
\item[\ex{dog2}] Geraldnak van kutyája.
\item[\ex{dog3}] Valakinek van kutyája.
\item[\ex{dog4}] Gerald összes barátjának van kutyája.
\item[\ex{dog5}] Minden kutyatulajdonos barátja egy kutyatulajdonosnak.
\end{earg}

Sentence \ref{dog1} is easy: $Df$.

A \ref{dog1}. mondat egyszerű: $Df$.

Sentence \ref{dog2}. can be paraphrased as, `There is a dog that Gerald owns.' This can be translated as $\exists x(Dx \eand Ogx)$.

A \ref{dog2}. mondat mefogalmazható úgy is, hogy „Van egy kutya, akinek a gazdája Gerald.” Ez már átalakítható a következőre: $\exists x(Dx \eand Ogx)$.

Sentence \ref{dog3} can be paraphrased as, `There is some $y$ such that $y$ is a dog owner.' The subsentence `$y$ is a dog owner' is just like sentence \ref{dog2}, except that it is about $y$ rather than being about Gerald. So we can translate sentence \ref{dog3} as $\exists y \exists x(Dx \eand Oyx)$. 
%(Although we could swap the $x$s and $y$s, it is important that we use two different variables here.)

A \ref{dog3}. mondat megfogalmazható úgy is, hogy, „Van néhány olyan $y$, ahol $y$ kutyatulajdonos.” Az „$y$ kutyatulajdonos” részmondat hasonlít a \ref{dog2}. mondatra, annyi különbséggel, hogy itt az $y$-on van a hangsúly és nem Geraldon. Tehát a \ref{dog3}. mondat a következőképp alakítható át: $\exists y \exists x(Dx \eand Oyx)$. 
%(Bár felcserélhető lenne az $x$ és $y$, de fontos, hogy itt két külön változót használjunk)

Sentence \ref{dog4} can be paraphrased as, `Every friend of Gerald is a dog owner.' Translating part of this sentence, we get $\forall x(Fxg \eif\mbox{`$x$ is a dog owner'})$. Again, it is important to recognize that `$x$ is a dog owner' is structurally just like sentence \ref{dog2}. Since we already have an x-quantifier, we will need a different variable for the existential quantifier. Any other variable will do. Using $z$, sentence \ref{dog4} can be translated as $\forall x\bigl[Fxg \eif\exists z(Dz \eand Oxz)\bigr]$.

A \ref{dog4}. mondat érthető úgy, hogy „Gerald összes barátja kutyatulajdonos.” Ha a mondatot átalakítjuk, akkor a következőt kapjuk: $\forall x(Fxg \eif\mbox{„$x$ egy kutyatulajdonos”})$. Ismét megfigyelhető, hogy az „$x$ kutyatulajdonos” struktúra szempontjából ugyanaz, mint a \ref{dog2}. mondat. Mivel már van x kvantorunk, ezért szükségünk van egy másik egzisztenciális kvantor változóra. Bármelyik másik változó megfelelő. Amennyiben $z$-t használunk, a \ref{dog4}. mondat a következőképp alakítható át: $\forall x\bigl[Fxg \eif\exists z(Dz \eand Oxz)\bigr]$.

Sentence \ref{dog5} can be paraphrased as `For any $x$ that is a dog owner, there is a dog owner who is $x$'s friend.' Partially translated, this becomes $$\forall x\bigl[\mbox{$x$ is a dog owner}\eif\exists y(\mbox{$y$ is a dog owner}\eand Fxy)\bigr].$$ Completing the translation, sentence \ref{dog5} becomes $$\forall x\bigl[\exists z(Dz \eand Oxz)\eif\exists y\bigl(\exists z(Dz \eand Oyz)\eand Fxy\bigr)\bigr].$$

A \ref{dog5}. mondat megfogalmazható úgy, hogy „Bármelyik $x$ kutyatulajdonos esetében van egy másik kutyatulajdonos, aki $x$ barátja.” Részben átalakítva a következőképp néz ki: $$\forall x\bigl[\mbox{$x$ kutyatulajdonos}\eif\exists y(\mbox{$y$ kutyatulajdonos}\eand Fxy)\bigr].$$ Az átalakítás befejezésével a \ref{dog5}. mondat a következőképp alakul át: $$\forall x\bigl[\exists z(Dz \eand Oxz)\eif\exists y\bigl(\exists z(Dz \eand Oyz)\eand Fxy\bigr)\bigr].$$

Consider this symbolization key and these sentences:
\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Lxy:] $x$ likes $y$.
\item[i:] Imre.
\item[k:] Karl.
\end{ekey}

Tekintsük az alábbi kulcsokat és a hozzájuk tartozó mondatokat:
\begin{ekey}
\item[UD:] emberek
\item[Lxy:] $x$ kedveli $y$-t.
\item[i:] Imre.
\item[k:] Karl.
\end{ekey}

\begin{earg}
\item[\ex{likes1}]Imre likes everyone that Karl likes.
\item[\ex{likes2}]There is someone who likes everyone who likes everyone that he likes.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{likes1}]Imre mindenkit kedvel, akit Karl is kedvel.
\item[\ex{likes2}]Van egy ember, aki kedvel minden olyan embert, aki kedvel mindenkit, akit ő kedvel.
\end{earg}

%NASz fordítása vége

%KM fordítása kezdet

Sentence \ref{likes1} can be partially translated as $\forall x(\mbox{Karl likes $x$}\eif\mbox{Imre likes $x$})$. This becomes $\forall x(Lkx\eif Lix)$.

A \ref{likes1} mondat részben a következőként fordítható le: $\forall x(\mbox{Karl szereti $x$}\eif\mbox{Imre szereti $x$})$.Ebből $\forall x(Lkx\eif Lix)$ képezhető.


Sentence \ref{likes2} is almost a tongue-twister. There is little hope of writing down the whole translation immediately, but we can proceed by small steps. An initial, partial translation might look like this: $$\exists x\ \mbox{everyone who likes everyone that $x$ likes is liked by $x$}$$
The part that remains in English is a universal sentence, so we translate further: $$\exists x\forall y(\mbox{$y$ likes everyone that $x$ likes}\eif\mbox{$x$ likes $y$}).$$
The antecedent of the conditional is structurally just like sentence \ref{likes1}, with $y$ and $x$ in place of Imre and Karl. So sentence \ref{likes2} can be completely translated in this way $$\exists x\forall y\bigl[\forall z(Lxz \eif Lyz) \eif Lxy\bigr]$$

A \ref{likes2} mondat szinte már egy nyelvtörő. Elég kevés remény fűzhető a fordítás azonnali leírásához, de apró lépésekkel eljuthatunk az eredményhez. Kezdésnek egy részletes fordítás így nézne ki: $$\exists x\ \mbox{mindenkit aki mindenkit szeret,akit szereti $x$ azt szereti $x$ is}$$
A megmaradt rész magyarul egy univerzális mondat, így tovább fordíthatunk: $$\exists x\forall y(\mbox{$y$ szeret mindenkit, akit szeret $x$}\eif\mbox{$x$ szereti $y$-t}).$$
A feltételes állítás első tagja szerkezetileg pont olyan, mint a \ref{likes1} mondat, Imrét és Karlt $y$-nal és $x$-el helyettesítve. Tehát a \ref{likes2} mondatot teljesen a következőképpen lehetne lefordítani: $$\exists x\forall y\bigl[\forall z(Lxz \eif Lyz) \eif Lxy\bigr]$$


When symbolizing sentences with multiple quantifiers, it is best to proceed by small steps. Paraphrase the English sentence so that the logical structure is readily symbolized in QL. Then translate piecemeal, replacing the daunting task of translating a long sentence with the simpler task of translating shorter formulae.

Ha több kvantort tartalmazó mondatokat kell átírnunk szimbólumokra, akkor legjobb, ha kis lépésekben haladunk. Először átfogalmazzuk a mondatot úgy, hogy a logikai struktúra szimbolizálható legyen PL-ben. Majd részletenként fordítunk, így lecserélve egy hosszú, bonyolult mondat fordítását egy sokkal egyszerűbb rész fordítására


\section*{Sentences of QL}
\section{A predikátumlogika mondatai}

In this section, we provide a formal definition for a \emph{well-formed formula} (wff) and \emph{sentence} of QL.

Ebben a fejezetben formálisan definiáljuk a \emph{jól formált kifejezés} (jfk) és a \emph{mondat} fogalmát a predikátumlogikában.

\subsection*{Expressions}
\subsection{Kifejezések}
There are six kinds of symbols in QL:

Hat féle szimbólum van a PL-ben:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
predicates & $A,B,C,\ldots,Z$\\
with subscripts, as needed & $A_1, B_1,Z_1,A_2,A_{25},J_{375},\ldots$\\
\hline
constants & $a,b,c,\ldots,w$\\
with subscripts, as needed & $a_1, w_4, h_7, m_{32},\ldots$\\
\hline
variables & $x,y,z$\\
with subscripts, as needed & $x_1, y_1, z_1, x_2,\ldots$\\
\hline
connectives & \enot,\eand,\eor,\eif,\eiff\\
\hline
parentheses&( , )\\
\hline
quantifiers& $\forall, \exists$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
állítások & $A,B,C,\ldots,Z$\\
alsó indexszel, ha szükséges & $A_1, B_1,Z_1,A_2,A_{25},J_{375},\ldots$\\
\hline
konstansok & $a,b,c,\ldots,w$\\
alsó indexszel, ha szükséges & $a_1, w_4, h_7, m_{32},\ldots$\\
\hline
változók & $x,y,z$\\
alsó indexszel, ha szükséges & $x_1, y_1, z_1, x_2,\ldots$\\
\hline
összekötő műveletek & \enot,\eand,\eor,\eif,\eiff\\
\hline
zárójelek&( , )\\
\hline
mennyiségjelzők& $\forall, \exists$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


%copied from the definition for SL
We define an \define{expression of QL} as any string of symbols of QL. Take any of the symbols of QL and write them down, in any order, and you have an expression.

Bármilyen PL szimbólumokból alkotott karakterláncot KIFEJEZÉS-nek hívunk PL-ben. Bármelyik PL szimbólumot leírva, bármilyen sorrendben egy kifejezést kapunk.

%KM fordítása vége

%BG fordítása kezdet
\subsection{Well-formed formulae}

By definition, a \define{term of QL} is either a constant or a variable.

Definíció szerint egy \define{QL-beli term} vagy állandót, vagy változót jelent.

An \define{atomic formula of QL} is an n-place predicate followed by $n$ terms.

Egy \define{QL-beli atomi formula} egy n-rétű predikátum, amelyet $n$ term követ.

Just as we did for SL, we will give a \emph{recursive} definition for a wff of QL. In fact, most of the definition will look like the definition of for a wff of SL: Every atomic formula is a wff, and you can build new wffs by applying the sentential connectives.

Csakúgy, mint az SL esetében, \emph{rekurzív definíciót} adunk a wff-nek QL-re nézve.
Valójában a definíció nagy része úgy fog kinézni, mint egy SL wff meghatározása: Minden
atomi formula egy wff, és műveletek alkalmazásával új wff-eket építhetünk fel.

We could just add a rule for each of the quantifiers and be done with it. For instance: If \script{A} is a wff, then $\forall x\script{A}$ and $\exists x\script{A}$ are wffs. However, this would allow for bizarre sentences like $\forall x\exists x Dx$ and $\forall x Dw$. What could these possibly mean? We could adopt some interpretation of such sentences, but instead we will write the definition of a wff so that such abominations do not even count as well-formed.

Elég lenne csak hozzáadnunk egy-egy szabályt az egyes kvantorokhoz, és kész lennénk. Például: Ha \script{A} egy wff, akkor $\forall x\script{A}$ és $\exists x\script{A}$ is wff. Ez azonban meg kéne, hogy engedjen olyan furcsa mondatokat, mint  $\forall x\exists x Dx$ és $\forall x Dw$. Mit is jelenthet ez? Megadhatnánk az ilyen mondatoknak is valamiféle értelmezését, ám ehelyett mi a wff definícióját írjuk úgy, hogy az ilyen furcsa dolgok még nem is jól formáltak

In order for $\forall x\script{A}$ to be a wff, \script{A} must contain the variable $x$ and must not already contain an x-quantifier. $\forall x Dw$ will not count as a wff because `$x$' does not occur in $Dw$, and $\forall x \exists x Dx$ will not count as a wff because $\exists x Dx$ contains an x-quantifier

Annak érdekében, hogy $\forall x\script{A}$ wff legyen, az \script{A}-nak tartalmaznia kell az $x$ változót, és nem tartalmazhat már x-kvantort. Az $\forall x Dw$ nem számít wff-ként, mivel az `$x$' nem fordul elő $Dw$-ben, és $\forall x \exists x Dx$ nem számít wff-ként, mivel az $\exists x Dx$ tartalmaz x-kvantort.

\begin{enumerate}
\item Every atomic formula is a wff.
\item Minden atomi formula wff.

\item If \script{A} is a wff, then $\enot\script{A}$ is a wff.
\item Ha \script{A} egy wff, akkor $\enot\script{A}$ egy wff.

\item If \script{A} and \script{B} are wffs, then $(\script{A}\eand\script{B})$, is a wff.
\item  Ha \script{A} és \script{B} wff, akkor $(\script{A}\eand\script{B})$ egy wff.

\item If \script{A} and \script{B} are wffs, $(\script{A}\eor\script{B})$ is a wff.
\item Ha \script{A} és \script{B} wff,$(\script{A}\eor\script{B})$ wff.

\item If \script{A} and \script{B} are wffs, then $(\script{A}\eif\script{B})$ is a wff.
\item Ha \script{A} és  \script{B} wff, akkor $(\script{A}\eif\script{B})$ wff.

\item If \script{A} and \script{B} are wffs, then $(\script{A}\eiff\script{B})$ is a wff.
\item Ha \script{A} és \script{B} wff, akkor $(\script{A}\eiff\script{B})$ is wff.

\item If \script{A} is a wff, \script{x} is a variable, \script{A} contains at least one occurrence of \script{x}, and \script{A} contains no \script{x}-quantifiers, then $\forall\script{x}\script{A}$ is a wff.
\item Ha \script{A} egy wff, \script{x} egy változó, \script{A} legalább egy \script{x} előfordulását tartalmazza, és az \script{A} nem tartalmaz \script{x}-kvantort, akkor az $\forall\script{x}\script{A}$ egy wff.

\item If \script{A} is a wff, \script{x} is a variable, \script{A} contains at least one occurrence of \script{x}, and \script{A} contains no \script{x}-quantifiers, then $\exists\script{x}\script{A}$ is a wff.
\item Ha \script{A} egy wff, \script{x} egy változó, \script{A} legalább egy \script{x} előfordulását tartalmazza, és az \script{A} nem tartalmaz \script{x}-kvantort, akkor az $\exists\script{x}\script{A}$ egy wff.

\item All and only wffs of QL can be generated by applications of these rules.
\item A QL minden és csak a wf-je generálható ezen szabályok alkalmazásával.
\end {enumerate}

Notice that the `\script{x}' that appears in the definition above is not the variable $x$. It is a \emph{meta-variable} that stands in for any variable of QL. So $\forall xAx$ is a wff, but so are $\forall yAy$, $\forall zAz$, $\forall x_4Ax_4$, and $\forall z_9Az_9$.

Vegyük figyelembe, hogy a fenti definícióban megjelenő '\script{x}' nem az $x$ változó. A \emph{metaváltozó} jelenti a QL bármely változóját. Tehát az $\forall xAx$ egy wff, de ugyanúgy, mint a $\forall yAy$, $\forall zAz$, $\forall x_4Ax_4$, and $\forall z_9Az_9$.

We can now give a formal definition for scope: The \define{scope} of a quantifier is the subformula for which the quantifier is the main logical operator. 

Most megadhatjuk a hatókör hivatalos meghatározását: A kvantor hatóköre az al-képlet, amelynek a kvantor a fő logikai operátora.

%BG fordítása vége

%\nix{
%Consider the expression $\forall x(\exists y(Dy \eif Ex) \eand \exists y Ey)$. Is it a wff?

%The main logical operator of this expression is the universal quantifier $\forall x$. The scope of the universal quantifier is the subformula $(\exists y(Dy \eif Ex) \eand \enot\exists y Ey)$. It contains one occurrence of $x$ and no x-quantifier, so by rule 7 the entire thing is a wff if this subformula is.

%The main logical operator of the subformula is conjunction. By rule 3, it is a wff if both $\exists y(Dy \eif Ex)$ and $\exists y Ey$ are wffs.

%Consider just $\exists y Ey$. The main logical operator is the existential quantifier $\exists y$, and its scope is $Ey$. Since $Ey$ contains at least one occurrence of $y$ and no y-quantifier, $\exists y Ey$ is a wff by rule 8 if $Ey$ is a wff. Assuming that E is a one-place predicate, $Ey$ is a wff by rule 1.

%We have shown that $\exists y Ey$ is a wff. By similarly reasoning, we can show that $\exists y(Dy \eif Ex)$ is a wff. So, the whole expression is a wff. 
%}

%PG fordítása kezdet

\subsection*{Sentences}
\subsection{Mondatok}

A {sentence} is something that can be either true or false. In SL, every wff was a sentence. This will not be the case in QL. Consider the following symbolization key:

Egy mondat igaz vagy hamis lehet. KL-ben minden jfk egy mondat volt. Ez nem így lesz PL esetén. Vegyük a következő szimbolizációs kulcsot:

\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Lxy:] $x$ loves $y$
\item[b:] Boris
\end{ekey}

\begin{ekey}
\item[UD:] emberek
\item[Lxy:] $x$ szereti $y$-t
\item[b:] Borisz
\end{ekey}

Consider the expression $Lzz$. It is an atomic forumula: a two-place predicate followed by two terms. All atomic formula are wffs, so $Lzz$ is a wff. Does it mean anything? You might think that it means that $z$ loves himself, in the same way that $Lbb$ means that Boris loves himself. Yet $z$ is a variable; it does not name some person the way a constant would. The wff $Lzz$ does not tell us how to interpret $z$. Does it mean everyone? anyone? someone? If we had a z-quantifier, it would tell us how to interpret $z$. For instance, $\exists zLzz$ would mean that someone loves themselves.

Vegyük szemügyre az $Lzz$ kifejezést. Ez egy atomi formula: egy kétrétű predikátum, amelyet két változó követ. Mivel minden atomi formula jfk, ezért $Lzz$ is egy jfk. Jelent ez bármit is? Talán azt véled, hogy ez azt jelenti, hogy $z$ önmagát szereti ugyanúgy, ahogyan $Lbb$ azt jelenti, hogy Borisz szereti önmagát. Bárhogy is, $z$ egy változó; ez nem jelöl úgy egy személyt, mint ahogy egy konstans tenné. A jfk nem árulja el nekünk, hogyan értelmezzük $z$-t. Ez mindenkit jelöl? Bárkit? Valakit? Ha lenne egy z-kvantorunk, akkor tudnánk, hogyan kellene értelmeznünk $z$-t. Például $\exists zLzz$ azt jelentené, van valaki, aki szereti magát.

Some formal languages treat a wff like $Lzz$ as implicitly having a universal quantifier in front. We will not do this for QL. If you mean to say that everyone loves themself, then you need to write the quantifier: $\forall zLzz$

Néhány formális nyelv úgy kezel egy $Lzz$-hez hasonló jfk-t, mintha az egy univerzális kvantorral rendelkezne elől. Mi ezt nem alkalmazzuk PL-ben. Ha azt szándékoznád állítani, hogy mindenki szereti magát, akkor muszáj lenne kvantort használnod: $\forall zLzz$.

In order to make sense of a variable, we need a quantifier to tell us how to interpret that variable. The scope of an x-quantifier, for instance, is the part of the formula where the quantifier tells how to interpret $x$.

Annak érdekében, hogy legyen értelme a változónak, szükségünk van egy olyan kvantorra, ami elárulja nekünk, hogyan értelmezzük az adott változót. Például az x-kvator hatásköre az a része a képletnek, ahol az megadja, hogyan értelmezzük $x$-et.

In order to be precise about this, we define a \define{bound variable} to be an occurrence of a variable \script{x} that is within the scope of an \script{x}-quantifier. A \define{free variable} is an occurance of a variable that is not bound.

Hogy ebben precízek legyünk, definiáljuk a \define{kötött változót} úgy, mint az \script{x} változónak egy olyan előfordulása, ami az x-kvator hatáskörén belül van. Egy \define{szabad változó} a változónak egy olyan előfordulása, ami nem kötött.

For example, consider the wff $\forall x(Ex \eor Dy) \eif \exists z(Ex \eif Lzx)$. The scope of the universal quantifier $\forall x$ is $(Ex \eor Dy)$, so the first $x$ is bound by the universal quantifier but the second and third $x$s are free. There is not y-quantifier, so the $y$ is free. The scope of the existential quantifier $\exists z$ is $(Ex \eif Lzx)$, so both occurrences of $z$ are bound by it.

Vegyük például a $\forall x(Ex \eor Dy) \eif \exists z(Ex \eif Lzx)$ jfk-t . A $\forall x$ univerzális  kvantor hatásköre $(Ex \eor Dy)$, vagyis az első $x$ kötött az univerzális kvantor miatt, míg a második és harmadi $x$ szabad. Mivel nincsen y-kvantor, $y$ szabad. A $\exists z$ egzisztenciális kvantor hatásköre $(Ex \eif Lzx)$, tehát $z$ előfordulásai kötöttek.

We define a \define{sentence} of QL as a wff of QL that contains no free variables.

Egy PL-béli mondatot úgy definiálunk, mint egy PL-béli jfk-t, ami nem tartalmaz szabad változókat.

\subsection*{Notational conventions}
\subsection{Konvenciók a jelölésben}	

We will adopt the same notational conventions that we did for SL (p.~\pageref{SLconventions}.) First, we may leave off the outermost parentheses of a formula. Second, we will use square brackets `[' and `]' in place of parentheses to increase the readability of formulae. Third, we will leave out parentheses between each pair of conjuncts when writing long series of conjunctions. Fourth, we will leave out parentheses between each pair of disjuncts when writing long series of disjunctions.

Ugyanazokat a jelöléseket fogjuk alkalmazni, mint amiket KL-ben (\pageref{SLconventions}. oldal). Először is kihagyhatjuk a képlet legkülsőbb zárójelét. Másod sorban kerek zárójel helyett szögletes zárójelet fogunk használni, ezzel is növelve a képletek olvashatóságát. Harmadszor, amikor konjunkciók hosszú sorát írjuk, minden egyes konjunkció között ki fogjuk hagyni a zárójeleket. Végül pedig ugyanezt fogjuk tenni, amikor diszjunkciók hosszú sorával találjuk szemben magunkat.

%PG fordítása vége

%NM fordítása kezdet 

\section{Identity}
\label{sec.identity}

\section{Azonosság}
\label{sec.azonosság}

Consider this sentence:
\begin{earg}
\item[\ex{else1}] Pavel owes money to everyone else.
\end{earg}
Let the UD be people; this will allow us to translate `everyone' as a universal quantifier. Let $Oxy$ mean `$x$ owes money to $y$', and let $p$ mean Pavel. Now we can symbolize sentence \ref{else1} as $\forall x Opx$. Unfortunately, this translation has some odd consequences. It says that Pavel owes money to every member of the UD, including Pavel; it entails that Pavel owes money to himself. However, sentence \ref{else1} does not say that Pavel owes money to himself; he owes money to everyone \emph{else}. This is a problem, because $\forall x Opx$ is the best translation we can give of this sentence into QL.

Nézzük meg ezt a kijelentést:
\begin{earg}
\item[\ex{else1}] Pavel mindenki másnak tartozik pénzzel.
\end{earg}
Legyen a Meghatározott Univerzum itt az emberek; így értelmezhetjük a „mindenki” kifejezést univerzális kvantorként. $Oxy$ jelentse azt, hogy „$x$ tartozik $y$-nak pénzzel”, és $p$ jelölje Pavelt. Így ábrázolhatjuk a \ref{else1} kijelentést úgy, hogy $\forall x Opx$. Sajnos ez a megoldás így problémás következményekkel jár. Ez a formula ugyanis azt mondja ki, hogy Pavel a Meghatározott Univerzum összes tagjának tartozik, amibe így maga Pavel is beletartozik, ezek szerint pedig Pavelnek saját magának is tartoznia kellene pénzzel. Azonban a kijelentés nem mondja, hogy Pavel tartozna saját magának pénzzel, hanem azt, hogy \emph{mindenki másnak} tartozik. Ez nagy gond, ugyanis a $\forall x Opx$ a lehető legjobb formula jelenleg amit megadhatunk mint a mondat Predikátum Logikai (vagy Számszerűsített Logikai) reprezentálása.

The solution is to add another symbol to QL. The symbol `$=$' is a two-place predicate. Since it has a special logical meaning, we write it a bit differently: For two terms $t_1$ and $t_2$, $t_1=t_2$ is an atomic formula.

A megoldás az, hogy még egy szimbólumot hozzáadunk a Predikátum Logikához. A szimbólum „$=$” egy kétértékű predikátum. Mivel ennek különleges logikai jelentése van, ezért kicsit másképpen használjuk: Két kifejezésre, $t_1$-re és $t_2$-re $t_1=t_2$ egy atomos formula.

The predicate $x=y$ means `$x$ is identical to $y$.' This does not mean merely that $x$ and $y$ are indistinguishable or that all of the same predicates are true of them. Rather, it means that $x$ and $y$ are the very same thing.

Az $x=y$ predikátum azt jelenti, hogy „$x$ azonos $y$-nal.” Ez azonban egyáltalán nem azt jelenti, hogy $x$ és $y$ megkülönböztethetetlenek lennének, vagy hogy ugyanazok a predikátumok igazak rájuk. Inkább úgy fogalmazható meg, hogy $x$ és $y$ ugyanaz a dolog.

When we write $x \neq y$, we mean that $x$ and $y$ are not identical. There is no reason to introduce this as an additional predicate. Instead, $x \neq y$ is an abbreviation of $\enot(x = y)$.

Mikor azt írjuk, hogy $x \neq y$, azt értjük alatta, hogy $x$ és $y$ nem azonosak. Nincs szükség rá, hogy ezt külön predikátumként értelmezzük. Ehelyett vegyük úgy, hogy $x \neq y$ az $\enot(x = y)$ rövidítése.

Now suppose we want to symbolize this sentence:
\begin{earg}
\item[\ex{else2}] Pavel is Mister Checkov.
\end{earg}
Let the constant $c$ mean Mister Checkov. Sentence \ref{else2} can be symbolized as $p=c$. This means that the constants $p$ and $c$ both refer to the same guy.

Így a következőképpen ábrázolhatjuk ezt a kifejezést:
\begin{earg}
\item[\ex{else2}] Pavel másnéven Checkov úr.
\end{earg}
A $c$ konstans jelentse Checkov urat. Így a \ref{else2} kifejezés leírható úgy, hogy $p=c$. Ez azt jelenti, hogy $p$ és $c$ konstansok ugyanarra az emberre utalnak.

This is all well and good, but how does it help with sentence \ref{else1}? That sentence can be paraphrased as, `Everyone who is not Pavel is owed money by Pavel.' This is a sentence structure we already know how to symbolize: `For all $x$, if $x$ is not Pavel, then $x$ is owed money by Pavel.' In QL with identity, this becomes $\forall x (x\neq p \eif Opx)$.

Ez mind nagyszerű, de hogyan segít ez nekünk a \ref{else1} kijelentésben? A kijelentés más szavakkal úgy is leírható, hogy „Pavel tartozik pénzzel mindenkinek aki nem Pavel maga.” Ezt a kijelentés-struktúrát pedig most már tudjuk, hogyan kell ábrázolnunk: „Minden $x$-re, ha $x$ nem Pavel, akkor $x$-nek tartozik Pavel.” A Predikátum Logikában azonossággal ez a következőképp néz ki: $\forall x (x\neq p \eif Opx)$.

In addition to sentences that use the word `else', identity will be helpful when symbolizing some sentences that contain the words `besides' and `only.' Consider these examples:

Továbbá olyan kijelentésekben, amik használják a „különben” szót, az azonosság nagy segítség lesz, mikor a kijelentések tartalmaznak olyan kifejezéseket mint „kivéve” és „csak”. Vegyük ezeket a példákat:

\begin{earg}
\item[\ex{else3}] No one besides Pavel owes money to Hikaru.
\item[\ex{else4}] Only Pavel owes Hikaru money.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{else3}] Senki más nem tartozik Hikarunak pénzzel, kivéve Pavelt.
\item[\ex{else4}] Csak Pavel tartozik pénzzel Hikarunak.
\end{earg}

%NM fordítása vége

%MA fordítása kezdet

We add the constant $h$, which means Hikaru.

Hozzáadunk egy $h$ állandót, ami Hikarut jelent.

Sentence \ref{else3} can be paraphrased as, `No one who is not Pavel owes money to Hikaru.' This can be translated as $\enot\exists x(x\neq p \eand Oxh)$.

A \ref{else3}. mondatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 'Senki aki nem Pavel tartozik Hikarunak.' Ezt lefordíthatjuk úgy hogy $\enot\exists x(x\neq p \eand Oxh)$.

Sentence \ref{else4} can be paraphrased as, `Pavel owes Hikaru \emph{and} no one besides Pavel owes Hikaru money.' We have already translated one of the conjuncts, and the other is straightforward. Sentence \ref{else4} becomes $Oph \eand \enot\exists x(x\neq p \eand Oxh)$.

A \ref{else4}. mondatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy 'Pavel tartozik Hikarunak \emph{és} Pavelen kívül senki más nem tartozik Hikarunak.' Már előzőleg lefordítottuk az egyik kapcsolatot, a másik már magától értetődő. A \ref{else4}. mondat így fog kinézni $Oph \eand \enot\exists x(x\neq p \eand Oxh)$.


\subsection*{Expressions of quantity}
\subsection{A mennyiség kifejezései}
We can also use identity to say how many things there are of a particular kind. For example, consider these sentences:
\begin{earg}
\item[\ex{atleast1}] There is at least one apple on the table.
\item[\ex{atleast2}] There are at least two apples on the table.
\item[\ex{atleast3}] There are at least three apples on the table.
\end{earg}

Az egyenlőséget is használhatjunk arra, hogy megmondjuk, hány darab van egy dologból. Például, vizsgáld meg ezeket a mondatokat:
\begin{earg}
\item[\ex{atleast1}] Legalább egy alma van az asztalon.
\item[\ex{atleast2}] Legalább kettő alma van az asztalon.
\item[\ex{atleast3}] Legalább három alma van az asztalon.
\end{earg}
Let the UD be \emph{things on the table}, and let $Ax$ mean `$x$ is an apple.'

Nevezzük UD-nak az \emph{asztalon lévő dolgokat,} és $Ax$ jelentse azt hogy „$x$ egy alma.”

Sentence \ref{atleast1} does not require identity. It can be translated adequately as $\exists x Ax$: There is some apple on the table--- perhaps many, but at least one.

A \ref{atleast1}. mondatnak nincs szüksége egyenlőségre. Megfelelően le lehet fordítani így $\exists x Ax$: Ott van pár alma az asztalon -- lehet hogy több, de legalább egy.

It might be tempting to also translate sentence \ref{atleast2} without identity. Yet consider the sentence $\exists x \exists y(Ax \eand Ay)$. It means that there is some apple $x$ in the UD and some apple $y$ in the UD. Since nothing precludes $x$ and $y$ from picking out the same member of the UD, this would be true even if there were only one apple. In order to make sure that there are two \emph{different} apples, we need an identity predicate. Sentence \ref{atleast2} needs to say that the two apples that exist are not identical, so it can be translated as $\exists x \exists y(Ax \eand Ay \eand x\neq y)$.

Csábítónak tűnik a \ref{atleast2}. mondat lefordítása is egyenlőség nélkül. Mégis gondoljuk át a következő mondatot: $\exists x \exists y(Ax \eand Ay)$. Azt jelenti, hogy van pár alma $x$ az UD-ban és pár alma $y$ szintén az UD-ban. Mivel semmi nem gátolja meg $x$-et és $y$-t abban, hogy az UD ugyan azt az elemét válasszák ki, ez akkor is igaz lenne, ha csak egy alma lenne. Ahhoz, hogy biztosak legyünk abban, hogy van kettő \emph{különböző} alma, kell egy eggyenlőség predikátum. A \ref{atleast2}. mondatnak azt kell mondania, hogy van két nem megegyező alma, ezt lefordíthatjuk erre: $\exists x \exists y(Ax \eand Ay \eand x\neq y)$.

Sentence \ref{atleast3} requires talking about three different apples. It can be translated as $\exists x \exists y\exists z(Ax \eand Ay \eand Az \eand x\neq y \eand y\neq z \eand x \neq z)$.

A \ref{atleast3}. mondatnak arról kell szólnia, hogy van három különböző alma. Lefordítható így: $\exists x \exists y\exists z(Ax \eand Ay \eand Az \eand x\neq y \eand y\neq z \eand x \neq z)$.

Continuing in this way, we could translate `There are at least $n$ apples on the table.' There is a summary of how to symbolize sentences like these on p.~\pageref{summary.atleast}.

Ezen az úton haladva lefordíthatnánk a „Legalább $n$ alma van az asztalon” mondatot. Van egy összefoglaló arról, hogy hogyan tudjuk szimbolizálni az ehhez hasonló mondatokat a ~\pageref{summary.atleast}. oldalon.


Now consider these sentences:
\begin{earg}
\item[\ex{atmost1}] There is at most one apple on the table.
\item[\ex{atmost2}] There are at most two apples on the table.
\end{earg}


Most vizsgáljuk meg ezeket a mondatokat:
\begin{earg}
\item[\ex{atmost1}] Maximum egy alma van az asztalon.
\item[\ex{atmost2}] Maximum kettő alma van az asztalon.
\end{earg}

Sentence \ref{atmost1} can be paraphrased as, `It is not the case that there are at least \emph{two} apples on the table.' This is just the negation of sentence \ref{atleast2}: $$\enot \exists x \exists y(Ax \eand Ay \eand x\neq y)$$

A \ref{atmost1}. mondatot megfogalmazhatjuk úgy, hogy „Nem igaz, hogy legalább \emph{kettő} alma van az asztalon.” Ez csak egy tagadása a \ref{atleast2}. mondatnak: $$\enot \exists x \exists y(Ax \eand Ay \eand x\neq y)$$

%MA fordítása vége 

%BD fodítása kezdet

Sentence \ref{atmost1} can also be approached in another way. It means that any apples that there are on the table must be the selfsame apple, so it can be translated as $\forall x\forall y\bigl[(Ax \eand Ay) \eif x=y\bigr]$. The two translations are logically equivalent, so both are correct.

A \ref{atmost1}. mondat másfelől is megközelíthető. Azt jelenti, hogy bármely alma, ami az asztalon van, annak ugyanannak az almának kell lennie, tehát eképpen fordítható: $\forall x\forall y\bigl[(Ax \eand Ay) \eif x=y\bigr]$. A két fordítás logikailag megegyező, tehát mindkettő helyes.

In a similar way, sentence \ref{atmost2} can be translated in two equivalent ways. It can be paraphrased as, `It is not the case that there are \emph{three} or more distinct apples', so it can be translated as the negation of sentence \ref{atleast3}. Using universal quantifiers, it can also be translated as
$$\forall x\forall y\forall z\bigl[(Ax \eand Ay \eand Az) \eif (x=y \eor x=z \eor y=z)\bigr].$$

Hasonlóan a \ref{atmost2}-as mondat is lefordítható két egyenértékű módon. A következőképpen lehet megfogalmazni: „Nem arról van szó, hogy \emph{három} vagy több különböző alma van”, tehát a \ref{atleast3}-es mondat tagadásaként lehet fordítani. Univerzális kvantorokat használva, így is fordítható:
$$\forall x\forall y\forall z\bigl[(Ax \eand Ay \eand Az) \eif (x=y \eor x=z \eor y=z)\bigr].$$

See p.~\pageref{summary.atmost} for the general case.

Lásd a \pageref{summary.atmost}. oldalon az általános esetet.

The examples above are sentences about apples, but the logical structure of the sentences translates mathematical inequalities like $a\geq 3$, $a \leq 2$, and so on. We also want to be able to translate statements of equality which say exactly how many things there are. For example:
\begin{earg}
\item[\ex{exactly1}] There is exactly one apple on the table.
\item[\ex{exactly2}] There are exactly two apples on the table.
\end{earg}

A fenti példák almákról szólnak, de a mondatok logikai sturktúrái matematikai egyenlőtlenségekké fordíthatóak, mint $a\geqslant 3$, $a \leqslant 2$, és így tovább. Képesek szeretnénk lenni lefordítani az egyenlőségi állításokat is, melyek megmondják, hogy pontosan miből mennyi van. Például:
\begin{earg}
\item[\ex{exactly1}] Pontosan egy alma van az asztalon.
\item[\ex{exactly2}] Pontosan két alma van az asztalon.
\end{earg}

Sentence \ref{exactly1} can be paraphrased as, `There is \emph{at least} one apple on the table, and there is \emph{at most} one apple on the table.' This is just the conjunction of sentence \ref{atleast1} and sentence \ref{atmost1}: $\exists x Ax \eand \forall x\forall y\bigl[(Ax \eand Ay) \eif x=y\bigr]$. This is a somewhat complicated way of going about it. It is perhaps more straightforward to paraphrase sentence \ref{exactly1} as, `There is a thing which is the only apple on the table.' Thought of in this way, the sentence can be translated $\exists x\bigl[Ax \eand \enot\exists y(Ay \eand x\neq y)\bigr]$.

A \ref{exactly1}. mondat megfogalmazható úgy, hogy: „\emph{Legalább} egy alma van az asztalon és \emph{legfeljebb} egy alma van az asztalon.” Ez a \ref{atleast1}-es és \ref{atmost1}-es mondat konjunkciója: $\exists x Ax \eand \forall x\forall y\bigl[(Ax \eand Ay) \eif x=y\bigr]$. Ez egy kicsit komplikáltabb megoldás. Talán egyértelműbb a következő megfogalmazása a \ref{exactly1}. mondatnak: „Van valami az asztalon, ami az egyetlen alma az asztalon.” Ezen gondolatmenet alapján, a mondat így fordítható: $\exists x\bigl[Ax \eand \enot\exists y(Ay \eand x\neq y)\bigr]$.

Similarly, sentence \ref{exactly2} may be paraphrased as, `There are two different apples on the table, and these are the only apples on the table.' This can be translated as $\exists x\exists y\bigl[Ax \eand Ay \eand x\neq y \eand \enot\exists z(Az \eand x\neq z \eand y\neq z)\bigr]$.

Hasonlóan a \ref{exactly2}. mondat megfogalmazható így: „Két különböző alma van az asztalon és csak almák vannak az asztalon.” Ez így fordítható: $\exists x\exists y\bigl[Ax \eand Ay \eand x\neq y \eand \enot\exists z(Az \eand x\neq z \eand y\neq z)\bigr]$.

Finally, consider this sentence:
\begin{earg}
\item[\ex{atmost2inUD}] There are at most two things on the table.
\end{earg}
It might be tempting to add a predicate so that $Tx$ would mean `$x$ is a thing on the table.' However, this is unnecessary. Since the UD is the set of things on the table, all members of the UD are on the table. If we want to talk about a \emph{thing on the table}, we need only use a quantifier. Sentence \ref{atmost2inUD} can be symbolized like sentence \ref{atmost2} (which said that there were at most two apples), but leaving out the predicate entirely. That is, sentence \ref{atmost2inUD} can be translated as $\forall x \forall y \forall z(x=y \eor x=z \eor y=z)$.

Végül tekintsük ezt a mondatot:
\begin{earg}
\item[\ex{atmost2inUD}] Legfeljebb két dolog van az asztalon.
\end{earg}
Csábító lehet, hogy predikátumot adjunk hozzá, miszerint $Tx$ azt jelentené, hogy „$x$ egy dolog az asztalon.” Azonban szükségtelen. Mivel az UD az asztalon lévő dolgok halmaza, ezért az összes tagja az UD-nak az asztalon van. Ha egy \emph{dologról az asztalon} szeretnénk beszélni, akkor csak egy kvantifikátort kell használnunk. A \ref{atmost2inUD}. mondat szimbolizálható, mint a \ref{atmost2}. (ami azt állította, hogy legfeljebb két alma van), de elhagyva teljesen a predikátumot. Azaz a \ref{atmost2inUD}. mondat így fordítható: $\forall x \forall y \forall z(x=y \eor x=z \eor y=z)$.

Techniques for symbolizing expressions of quantity (`at most', `at least', and `exactly') are summarized on p.~\pageref{summary.atleast}.

Mennyiségek kifejezésének szimbolizálására való technikák („legfeljebb”, „legalább”, és „pontosan”) összefoglalása a ~\pageref{summary.atleast}. oldalon található.

%BD fodítása vége

%MB fordítása kezdete

\subsection*{Definite descriptions}
\subsection{Határozott leírások}

\label{subsec.defdesc}
Recall that a constant of QL must refer to some member of the UD. This constraint allows us to avoid the problem of non-referring terms. Given a UD that included only actually existing creatures but a constant $c$ that meant `chimera' (a mythical creature), sentences containing $c$ would become impossible to evaluate.

Emlékezzünk, hogy a PL egy konstansának az Univerzum egy tagjára kell hivatkoznia. Ez a megszorítás lehetővé teszi, hogy elkerüljük a nem hivatkozó kifejezéseket. Abban az esetben, ha egy csak létező teremtményeket tartalmazó Univerzumban lenne egy $c$ konstans, mely „chimera”-t (egy mítikus lényt) jelent, a $c$-t tartalmazó mondatokat lehetetlen lenne kiértékelni.

The most widely influential solution to this problem was introduced by Bertrand Russell in 1905. Russell asked how we should understand this sentence:

A legnagyobb befolyással bíró megoldást erre a problémára Bertrand Russel mutatta be 1905-ben. Russel feltette a kérdést, hogyan értelmezzük a következő mondatot:
\begin{earg}
\item[\ex{defdesc1}] The present king of France is bald.
\end{earg}
\begin{earg}
\item[\ex{defdesc1}] Franciaország jelenlegi királya kopasz.
\end{earg}
The phrase `the present king of France' is supposed to pick out an individual by means of a definite description. However, there was no king of France in 1905 and there is none now. Since the description is a non-referring term, we cannot just define a constant to mean `the present king of France' and translate the sentence as $Kf$.

A „jelenlegi királya” kifejezés egy egyént választ ki a határozott leírás szerint. Azonban, Franciaországban nem volt király 1905-ben, illetve ma sincsen. Mivel a leírás egy nem hivatkozó kifejezés, nem tudunk csak úgy definiálni egy konstanst a „jelenlegi király” jelentéssel és $Kf$-ként értelmezni a mondatot.

Russell's idea was that sentences that contain definite descriptions have a different logical structure than sentences that contain proper names, even though they share the same grammatical form. What do we mean when we use an unproblematic, referring description, like `the highest peak in Washington state'? We mean that there is such a peak, because we could not talk about it otherwise. We also mean that it is the only such peak. If there was another peak in Washington state of exactly the same height as Mount Rainier, then Mount Rainier would not be \emph{the} highest peak.

Russel ötlete az volt, hogy a határozott leírásokat tartalmazó mondatok logikai struktúrája különbözik az olyanoktól, melyekben tulajdonnevek szerepelnek, még ha ugyanolyan nyelvtani formát is öltenek. Mit értünk az alatt, amikor egy problémamentes, hivatkozó leírást használunk, mint „Washington állam legmagasabb pontja?” Úgy értjük, hogy létezik ilyen pont, különben nem tudnánk beszélni róla. Úgy is értjük, hogy csak egyetlen ilyen pont van. Ha lenne egy másik pont is Washingtonban, pontosan a Rainier-hegy magasságával, akkor a Rainer-hegy már nem lenne a  \emph{leg}-magasabb pont.

According to this analysis, sentence \ref{defdesc1} is saying three things. First, it makes an \emph{existence} claim: There is some present king of France. Second, it makes a \emph{uniqueness} claim: This guy is the only present king of France. Third, it makes a claim of \emph{predication}: This guy is bald.

Ezen elemzés szerint, \aref{defdesc1}. számú mondat három dolgot állít. Elsősorban, egy \emph{létezést}-t jelent ki: Jelenleg van Franciaországnak egy királya. Másodszor, \emph{egyediség}-et is megállapít: Ez az ember az egyetlen király Franciaországban. A harmadik a mondat \emph{állítmánya}: Ez az ember kopasz.

In order to symbolize definite descriptions in this way, we need the identity predicate. Without it, we could not translate the uniqueness claim which (according to Russell) is implicit in the definite description.

Ahhoz, hogy ilyen módon szimbolizáljuk a határozott leírásokat, szükségünk van az identitás predikátumra. Enélkül nem tudnánk értelmezni az egyediség állítását, ami (Russel szerint) magától értetődő a határozott leírásban.

Let the UD be \emph{people actually living}, let $Fx$ mean `$x$ is the present king of France', and let $Bx$ mean `$x$ is bald.' Sentence \ref{defdesc1} can then be translated as $\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand Bx\bigr]$. This says that there is some guy who is the present king of France, he is the only present king of France, and he is bald.

Legyen az Univerzum az \emph{élő emberek}, $Fx$ jelentse, hogy $x$ jelenleg francia király, valamint $Bx$ jelentse, hogy $x$ kopasz. \Aref{defdesc1}. számú mondat most így értelmezhető: $\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand Bx\bigr]$. Ezzel azt állítjuk, hogy van egy ember, aki most Franciaország királya, ő az egyetlen király, és ő kopasz.

Understood in this way, sentence \ref{defdesc1} is meaningful but false. It says that this guy exists, but he does not.

Így értelmezve a mondatnak van jelentése, de hamis. Azt mondja, hogy ez az ember létezik, de mégsem.

The problem of non-referring terms is most vexing when we try to translate negations. So consider this sentence:

A nem hivatkozó kifejezés problémája akkor a legbosszantóbb, amikor negációt próbálunk értelmezni. Vegyük a következő mondatot:

%MB fordítása vége

%KM fordítása kezdet

\begin{earg}
\item[\ex{defdesc2}] The present king of France is not bald.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ex{defdesc2}] Franciaország jelenlegi királya nem kopasz.
\end{earg}

According to Russell, this sentence is ambiguous in English. It could mean either of two things:

Russell szerint ez a mondat kétértelmű angolul. Két dolgot is jelenthet:

\begin{earg}
\item[\ref{defdesc2}a.] It is not the case that the present king of France is bald.
\item[\ref{defdesc2}b.] The present king of France is non-bald.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[\ref{defdesc2}a.] Nem igaz, hogy Franciaország jelenlegi királya kopasz.
\item[\ref{defdesc2}b.] Franciaország jelenlegi királya kopasztalan.
\end{earg}

Both possible meanings negate sentence \ref{defdesc1}, but they put the negation in different places.

Minkét lehetséges jelentés a \ref{defdesc1}-es mondatot tagaja, de a negációt különböző helyekre rakják.

Sentence \ref{defdesc2}a is called a \define{wide-scope negation}, because it negates the entire sentence. It can be translated as $\enot\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand Bx\bigr]$. This does not say anything about the present king of France, but rather says that some sentence about the present king of France is false. Since sentence \ref{defdesc1} if false, sentence \ref{defdesc2}a is true.

A \ref{defdesc2}a mondatot \define{széles körű negációnak} nevezzük, mert az egész mondatot tagadja. A következőképpen fordíthatjuk: $\enot\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand Bx\bigr]$. Ez nem állít semmit Franciaország jelenlegi királyáról, inkább azt állítja, hogy valamilyen mondat Franciaország jelenlegi királyáról hamis. Mivel a \ref{defdesc1}-es mondat hamis, ezért a \ref{defdesc2}a mondat igaz.

Sentence \ref{defdesc2}b says something about the present king of France. It says that he lacks the property of baldness. Like sentence \ref{defdesc1}, it makes an existence claim and a uniqueness claim; it just denies the claim of predication. This is called \define{narrow-scope negation}. It can be translated as $\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand \enot Bx\bigr]$. Since there is no present king of France, this sentence is false.

A \ref{defdesc2}b mondat Franciaország jelenlegi királyáról állít valamit. Azt mondja, hogy nem birtokolja a kopaszság tulajdonságát. Mint a \ref{defdesc1}-es mondat, állítja a létezését és az egyediségét, csak ez tagadja a predikátum állítását. Ezt \define{szűk körű negációnak} nevezzük. A következőképpen fordíthatjuk: $\exists x\bigl[Fx \eand \enot\exists y(Fy \eand x\neq y) \eand \enot Bx\bigr]$. Mivel Franciaországnak jelenleg nincs királya, ezért ez a mondat hamis.

Russell's theory of definite descriptions resolves the problem of non-referring terms and also explains why it seemed so paradoxical. Before we distinguished between the wide-scope and narrow-scope negations, it seemed that sentences like \ref{defdesc2} should be both true and false. By showing that such sentences are ambiguous, Russell showed that they are true understood one way but false understood another way.

Russell határozott leírásokról szóló elmélete feloldja a nem hivatkozó változók problémáját és azt is megmagyarázza, hogy miért tűnt ennyire paradoxikusnak. Mielőtt különbséget tettünk a széles körű és a szűk körű negáció között, úgy tűnt, hogy a \ref{defdesc2}-eshez hasonló mondatoknak egyszerre igaznak és hamisnak is kellene lenniük. Azzal, hogy megmutattuk, hogy az ilyen mondatok kétértelműek, Russell megmutatta, hogy egyik féleképpen értelmezve igazak, de hamisak a másik módon értelmezve.

For a more detailed discussion of Russell's theory of definite descriptions, including objections to it, see Peter Ludlow's entry `descriptions' in \emph{The Stanford Encyclopedia of Philosophy}: Summer 2005 edition, edited by Edward N. Zalta, \url{http://plato.stanford.edu/archives/sum2005/entries/descriptions/}

Russell határozott leírásokról szóló elméletének részletesebb kifejtéséért, beleértve az ellene irányuló kifogásokat, tekintse meg Peter Ludlow `descriptions' című bejegyzését a \emph{The Stanford Encyclopedia of Philosophy}: 2005 nyári kiadásában, Edward N. Zalta szerkesztésével, \url{http://plato.stanford.edu/archives/sum2005/entries/descriptions/}

%\fix{glossary?}
%free variable
%bound variable
%scope

%KM fordítása vége


%DR fordítása kezdet

\practiceproblems

%\solutions
%\problempart
%\label{pr.wiffQL}
%For each of the following: (a) Is it a wff of QL, allowing for notational conventions? (b) Is it a sentence of QL?
%\begin{earg}
%\item $\forall x\forall y[(Rxy \eand Ryx) \eif \exists zRzz]$
%\end{earg}
%\problempart
%\begin{earg}
%\item Are there any wffs of QL that contain more than one x-quantifier? If your answer is yes, give an example.
%\end{earg}
\solutions
\problempart
\label{pr.QLalligators}
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL.

A megadott szimbolizációs kulccsal fordítsa le a magyar nyelvű mondatokat PL-ra.
\begin{ekey}
\item[UD:] all animals
\item[Ax:] $x$ is an alligator.
\item[Mx:] $x$ is a monkey.
\item[Rx:] $x$ is a reptile.
\item[Zx:] $x$ lives at the zoo.
\item[Lxy:] $x$ loves $y$.
\item[a:] Amos
\item[b:] Bouncer
\item[c:] Cleo
\end{ekey}
\begin{ekey}
\item[Unuverzum:] minden állat
\item[Ax:] $x$ egy aligátor.
\item[Mx:] $x$ egy majom.
\item[Rx:] $x$ egy hüllő
\item[Zx:] $x$ az állatkertben él.
\item[Lxy:] $x$ kedveli $y$-t.
\item[a:] Amos
\item[b:] Bouncer
\item[c:] Cleo
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Amos, Bouncer, and Cleo all live at the zoo. 
\item Bouncer is a reptile, but not an alligator. 
\item If Cleo loves Bouncer, then Bouncer is a monkey. 
\item If both Bouncer and Cleo are alligators, then Amos loves them both.
\item Some reptile lives at the zoo. 
\item Every alligator is a reptile. 
\item Any animal that lives at the zoo is either a monkey or an alligator. 
\item There are reptiles which are not alligators.
\item Cleo loves a reptile.
\item Bouncer loves all the monkeys that live at the zoo.
\item All the monkeys that Amos loves love him back.
\item If any animal is a reptile, then Amos is.
\item If any animal is an alligator, then it is a reptile.
\item Every monkey that Cleo loves is also loved by Amos.
\item There is a monkey that loves Bouncer, but sadly Bouncer does not reciprocate this love.
\end{earg}
\begin{earg}
\item Amos, Bouncer, és Cleo mind az állatkertben élnek. 
\item Bouncer hüllő, de nem egy aligátor. 
\item Ha Cleo kedveli Bouncer, akkor Bouncer majom. 
\item Ha Bouncer és Cleo aligátorok, akkor Amos mindkettejüket kedveli.
\item Néhány hüllő állatkertben él. 
\item Minden aligátor hüllő. 
\item Valamennyi állat, aki az állatkertben él vagy majom, vagy aligátor. 
\item Vannak hüllők, amik nem aligátorok.
\item Cleo kedveli a hüllőket.
\item Bouncer kedvel minden majmot, aki az állatkertben él.
\item Minden majom, akit Amos kedvel, viszontkedveli őt.
\item Ha bármelyik állat hüllő, akkor Amos is az
\item Ha bármelyik állat aligátor, akkor az hüllő.
\item Minden majmot, akit Cleo kedvel, azt Amos is kedveli.
\item Van majom, aki kedveli Bouncert, de sajnos Bouncer nem viszonozza.
\end{earg}



\problempart
\label{pr.BarbaraEtc}
These are syllogistic figures identified by Aristotle and his successors, along with their medieval names. Translate each argument into QL.

Ezek szillogisztikus minták, amelyeket Arisztotelész és utódai azonosítottak, középkori neveikkel együtt. Fordítson le minden argumentumot QL-re.
\begin{description}
\item[Barbara] All $B$s are $C$s. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  All $A$s are $C$s.
\item[Baroco] All $C$s are $B$s. Some $A$ is not $B$.
	\therefore\  Some $A$ is not $C$.
\item[Bocardo] Some $B$ is not $C$. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  Some $A$ is not $C$.
\item[Celantes] No $B$s are $C$s. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  No $C$s are $A$s.
\item[Celarent] No $B$s are $C$s. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  No $A$s are $C$s.
\item[Cemestres] No $C$s are $B$s. No $A$s are $B$s.
	\therefore\  No $A$s are $C$s.
\item[Cesare] No $C$s are $B$s. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  No $A$s are $C$s.
\item[Dabitis] All $B$s are $C$s. Some $A$ is $B$.
	\therefore\  Some $C$ is $A$.
\item[Darii] All $B$s are $C$s. Some $A$ is $B$.
	\therefore\  Some $A$ is $C$.
\item[Datisi] All $B$s are $C$s. All $A$ is $C$.
	\therefore\  Some $A$ is $C$.
\item[Disamis] Some $A$ is $B$. All $A$s are $C$s.
	\therefore\  Some $B$ is $C$.
\item[Ferison] No $B$s are $C$s. Some $A$ is $B$.
	\therefore\  Some $A$ is not $C$.
\item[Ferio] No $B$s are $C$s. Some $A$ is $B$.
	\therefore\  Some $A$ is not $C$.
\item[Festino] No $C$s are $B$s. Some $A$ is $B$.
	\therefore\  Some $A$ is not $C$.
\item[Baralipton] All $B$s are $C$s. All $A$s are $B$s.
	\therefore\  Some $C$ is $A$.
\item[Frisesomorum] Some $B$ is $C$. No $A$s are $B$s.
	\therefore\  Some $C$ is not $A$.
\end{description}
\begin{description}
\item[Barbara] Minden $B$ $C$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Minden $A$ $C$.
\item[Baroco] Minden $C$ $B$. Néhány $A$ nem $B$.
	\therefore\  Néhány $A$ nem $C$.
\item[Bocardo] Néhány $B$ nem $C$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $A$ nem $C$.
\item[Celantes] Egyik $B$ sem $C$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Egyik $C$ sem $A$.
\item[Celarent] Egyik $B$ sem $C$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Egyik $A$ sem $C$.
\item[Cemestres] Eygik $C$ sem $B$. Egyik $A$ sem $B$.
	\therefore\  Egyik $A$ sem $C$.
\item[Cesare] Egyik $C$ sem $B$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Egyik $A$ sem $C$.
\item[Dabitis] Minden $B$ $C$. Néhány $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $C$ $A$.
\item[Darii] Minden $B$ $C$. Néhány $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $A$ $C$.
\item[Datisi] Minden $B$ $C$. Minden $A$ $C$.
	\therefore\  Néhány $A$ $C$.
\item[Disamis] Néhány $A$ $B$. Minden $A$ $C$.
	\therefore\  Néhány $B$ $C$.
\item[Ferison] Egyik $B$ sem $C$. Néhány $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $A$ nem $C$.
\item[Ferio] Egyik $B$ sem $C$. Néhány $A$ $B$.
	\therefore\  Héhány $A$ nem $C$.
\item[Festino] Egyik $C$ sem $B$. Héhány $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $A$ nem $C$.
\item[Baralipton] Minden $B$ $C$. Minden $A$ $B$.
	\therefore\  Néhány $C$ $A$.
\item[Frisesomorum] Néhány $B$ $C$. Egyik $A$ sem $B$.
	\therefore\  Néhány $C$ nem $A$.
\end{description}

%DR fordításas vége

\problempart Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL.
\begin{ekey}
\item[UD:] all animals
\item[Dx:] $x$ is a dog.
\item[Sx:] $x$ likes samurai movies.
\item[Lxy:] $x$ is larger than $y$.
\item[b:] Bertie
\item[e:] Emerson
\item[f:] Fergis
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Bertie is a dog who likes samurai movies.
\item Bertie, Emerson, and Fergis are all dogs.
\item Emerson is larger than Bertie, and Fergis is larger than Emerson.
\item All dogs like samurai movies.
\item Only dogs like samurai movies.
\item There is a dog that is larger than Emerson.
\item If there is a dog larger than Fergis, then there is a dog larger than Emerson.
\item No animal that likes samurai movies is larger than Emerson.
\item No dog is larger than Fergis.
\item Any animal that dislikes samurai movies is larger than Bertie.
\item There is an animal that is between Bertie and Emerson in size.
\item There is no dog that is between Bertie and Emerson in size.
\item No dog is larger than itself.
\item For every dog, there is some dog larger than it.
\item There is an animal that is smaller than every dog.
\item If there is an animal that is larger than any dog, then that animal does not like samurai movies.
\end{earg}

\problempart Az adott szimbolizációs kulcsot használva fordítsd le az alábbi mondatokat PL-re.
\begin{ekey}
\item[UD:] minden állat
\item[Dx:] $x$ egy kutya.
\item[Sx:] $x$ szereti a szamuráj filmeket.
\item[Lxy:] $x$ nagyobb, mint $y$.
\item[b:] Bertie
\item[e:] Emerson
\item[f:] Fergis
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Bertie egy kutya, aki szereti a szamuráj filmeket.
\item Bertie, Emerson és Fergis mind kutyák.
\item Emerson nagyobb Bertie-nél, és Fergis nagyobb Emersonnál.
\item Minden kutya szereti a szamuráj filmeket.
\item Csak a kutyák szeretik a szamuráj filmeket.
\item Van egy kutya, ami nagyobb Emersonnál.
\item Ha van olyan kutya, ami nagyobb Fergisnél, akkor olyan kutya is van, ami Emersonnál nagyobb.
\item Nincs olyan szamuráj filmeket kedvelő kutya, amely nagyobb Emersonnál.
\item Egy kutya sem nagyobb Fergisnél.
\item Bármely állat, ami nem szereti a szamuráj filmeket, nagyobb Bertie-nél.
\item Van olyan állat, amely méretben Bertie és Emerson között van.
\item Nincs olyan kutya, amely méretben Bertie és Emerson között van.
\item Egy kutya sem nagyobb önmagánál.
\item Miden kutya esetében van egy olyan kutya, amely nagyobb nála. 
\item Van olyan állat, amely minden kutyánál kisebb.
\item Ha van egy olyan állat, amely nagyobb bármely kutyánál, akkor az az állat nem szereti a szamuráj filmeket.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.QLarguments}
For each argument, write a symbolization key and translate the argument into QL.
\begin{earg}
\item Nothing on my desk escapes my attention. There is a computer on my desk. As such, there is a computer that does not escape my attention.
\item All my dreams are black and white. Old TV shows are in black and white. Therefore, some of my dreams are old TV shows.
\item Neither Holmes nor Watson has been to Australia. A person could see a kangaroo only if they had been to Australia or to a zoo. Although Watson has not seen a kangaroo, Holmes has. Therefore, Holmes has been to a zoo.
\item No one expects the Spanish Inquisition. No one knows the troubles I've seen. Therefore, anyone who expects the Spanish Inquisition knows the troubles I've seen.
\item An antelope is bigger than a bread box. I am thinking of something that is no bigger than a bread box, and it is either an antelope or a cantaloupe. As such, I am thinking of a cantaloupe.
\item All babies are illogical. Nobody who is illogical can manage a crocodile. Berthold is a baby. Therefore, Berthold is unable to manage a crocodile.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.QLarguments}
Írj minden argumentumhoz egy szimbolizációs kulcsot, majd fordítsd le azokat PL-re.
\begin{earg}
\item 1. Az asztalon semmi sem kerüli el a figyelmem. Egy számítógép van az asztalomon. Tehát van egy számítógép, ami nem kerüli el a figyelmem.
\item 2. Minden álmom fekete-fehér. A régi TV-műsorok fekete-fehérek. Következtetésképpen néhány álmom egy régi TV-műsor.
\item 3. Sem Holmes, sem Watson nem járt még Ausztráliában. Egy ember csak akkor láthatott kengurut, ha volt már Ausztráliában vagy egy állatkertben. Habár Watson nem látott kengurut, Holmes már igen. Következtetésképpen Holmes volt már állatkertben.
\item Senki sem számít a spanyol inkvizícióra. Senki sem tudja, miken mentem keresztül. Vagyis, bárki, aki számít a spanyol inkvizícióra, az tudja, hogy miken mentem keresztül.
\item Az antilop nagyobb, mint a kenyértartó. Valami olyan dologra gondolok, ami nagyobb, mint egy kenyértartó, és ez vagy antilop, vagy sárgadinnye. Vagyis egy sárgadinnyére gondolok.
\item A babák nem tudnak logikusan gondolkozni. Aki nem tud logikusan gondolkozni, az nem tud bánni a krokodilokkal. Berthold egy baba. Ezért Berthold nem tud bánni a krokodilokkal.
\end{earg}

%NN fordítása kezdet

\solutions
\problempart
\label{pr.QLcandies}
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL.
\begin{ekey}
\item[UD:] candies
\item[Cx:] $x$ has chocolate in it.
\item[Mx:] $x$ has marzipan in it.
\item[Sx:] $x$ has sugar in it.
\item[Tx:] Boris has tried $x$.
\item[Bxy:] $x$ is better than $y$.
\end{ekey}

\solutions
\problempart
\label{pr.QLcandies}
Az adott szimbolizációs kulcsot felhasználva fordítsunk le minden egyes (magyar-nyelvű) mondatot Predikátumlogikára.
\begin{ekey}
\item[UD:] cukorkák
\item[Cx:] $x$ -nek csokoládé van a belsejében.
\item[Mx:] $x$ -nek marcipán van a belsejében.
\item[Sx:] $x$ -nek cukor van a belsejében.
\item[Tx:] Boris megkóstolta $x$-et.
\item[Bxy:] $x$ jobb, mint $y$.
\end{ekey}

\begin{earg}
\item Boris has never tried any candy.
\item Marzipan is always made with sugar.
\item Some candy is sugar-free.
\item The very best candy is chocolate.
\item No candy is better than itself.
\item Boris has never tried sugar-free chocolate.
\item Boris has tried marzipan and chocolate, but never together.
%\item Boris has tried nothing that is better than sugar-free marzipan.
\item Any candy with chocolate is better than any candy without it.
\item Any candy with chocolate and marzipan is better than any candy that lacks both.
\end{earg}


\begin{earg}
\item Boris egyetlen cukorkát sem kóstolt.
\item A marcipános mindig cukrosan készül.
\item Egyes cukorkák cukormentesek.
\item A legeslegjobb cukorka a csokoládés.
\item Nincs cukor, ami önmagánál jobb.
\item Boris sosem kóstolt cukormentes csokoládét.
\item Boris már kóstolta a marcipánost és a csokist, de sosem együtt.
%\item Boris has tried nothing that is better than sugar-free marzipan.
\item Bármely cukorka jobb csokisan, mint bármelyik csoki nélkül.
\item Bármely cukorka jobb csokival és marcipánnal, mint bármely cukorka, amelyikben egyik sincs.
\end{earg}

\problempart
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL.
\begin{ekey}
\item[UD:] people and dishes at a potluck
\item[Rx:] $x$ has run out.
\item[Tx:] $x$ is on the table.
\item[Fx:] $x$ is food.
\item[Px:] $x$ is a person.
\item[Lxy:] $x$ likes $y$.
\item[e:] Eli
\item[f:] Francesca
\item[g:] the guacamole
\end{ekey}

\problempart
Az adott szimbolizációs kulcsot felhasználva fordítsunk le minden egyes (magyar-nyelvű) mondatot Predikátumlogikára.
\begin{ekey}
\item[UD:] emberek és fogások egy pikniken
\item[Rx:] $x$ elfogyott.
\item[Tx:] $x$ az asztalon van.
\item[Fx:] $x$ x egy étel.
\item[Px:] $x$ egy ember.
\item[Lxy:] $x$ kedveli $y$ -t.
\item[e:] Eli
\item[f:] Francesca
\item[g:] a guacamole
\end{ekey}

\begin{earg}
\item All the food is on the table.
\item If the guacamole has not run out, then it is on the table.
\item Everyone likes the guacamole.
\item If anyone likes the guacamole, then Eli does.
\item Francesca only likes the dishes that have run out.
\item Francesca likes no one, and no one likes Francesca.
\item Eli likes anyone who likes the guacamole.
\item Eli likes anyone who likes the people that he likes.
\item If there is a person on the table already, then all of the food must have run out.
\end{earg}

\begin{earg}
\item Az összes étel az asztalon van.
\item Ha a guacamole nem fogyott el, akkor az asztalon van.
\item Mindenki szereti a guacamolét.
\item Ha mindenki szereti a guacamolét, akkor Eli is.
\item Francesca csak azokat a fogásokat szereti, amik már elfogytak.
\item Francesca nem kedvel senkit, és Francescat nem kedveli senki.
\item Eli kedvel bárkit, aki szereti a guacamolét.
\item Eli kedvel bárkit, aki kedveli azokat az embereket, akiket Eli kedvel.
\item Ha már ember van az asztalon, akkor az összes étel el kellett, hogy fogyjon.
\end{earg}

%NN fordítása vége

%SD fordítása kezdet

\solutions
\problempart
\label{pr.QLballet}
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL.
\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Dx:] $x$ dances ballet.
\item[Fx:] $x$ is female.
\item[Mx:] $x$ is male.
\item[Cxy:] $x$ is a child of $y$.
\item[Sxy:] $x$ is a sibling of $y$.
\item[e:] Elmer
\item[j:] Jane
\item[p:] Patrick
\end{ekey}
\begin{earg}
\item All of Patrick's children are ballet dancers.
\item Jane is Patrick's daughter.
\item Patrick has a daughter.
\item Jane is an only child.
\item All of Patrick's daughters dance ballet.
\item Patrick has no sons.
\item Jane is Elmer's niece.
\item Patrick is Elmer's brother.
\item Patrick's brothers have no children.
\item Jane is an aunt.
\item Everyone who dances ballet has a sister who also dances ballet.
\item Every man who dances ballet is the child of someone who dances ballet.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.QLballet}
Szimbólumkulcsokat használva fordítsuk le a magyar nyelvű mondatokat PL-re.
\begin{ekey}
\item[UD:] emberek
\item[Dx:] $x$ balettozik.
\item[Fx:] $x$ nő.
\item[Mx:] $x$ férfi.
\item[Cxy:] $x$ $y$ gyermeke.
\item[Sxy:] $x$ $y$ testvére.
\item[e:] Elmer
\item[j:] Jane
\item[p:] Patrick
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Patrick minden gyermeke balettozik.
\item Jane Patrick lánya.
\item Patricknak van egy lánya.
\item Jane egyedüli gyermek.
\item Patrik minden lánya balettozik.
\item Patricknak nincsenek fiai.
\item Jane Elmer unokahúga.
\item Patrik Elmer fiútestvére.
\item Patrik fiútestvérének nincs gyermeke.
\item Jane nagynéni.
\item Mindenkinek, aki balettozik, van egy lánytestvére, aki balettozik.
\item Minden férfi, aki balettozik, valakinek a gyermeke, aki balettozik.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.freeQL}
Identify which variables are bound and which are free.
\begin{earg}
\item $\exists x Lxy \eand \forall y Lyx$
\item $\forall x Ax \eand Bx$
\item $\forall x (Ax \eand Bx) \eand \forall y(Cx \eand Dy)$
\item $\forall x\exists y[Rxy \eif (Jz \eand Kx)] \eor Ryx$
\item $\forall x_1(Mx_2 \eiff Lx_2x_1) \eand \exists x_2 Lx_3x_2$
\end{earg}

\problempart
\label{pr.freeQL}
Válasszuk ki a kötött és szabad változókat.
\begin{earg}
\item $\exists x Lxy \eand \forall y Lyx$
\item $\forall x Ax \eand Bx$
\item $\forall x (Ax \eand Bx) \eand \forall y(Cx \eand Dy)$
\item $\forall x\exists y[Rxy \eif (Jz \eand Kx)] \eor Ryx$
\item $\forall x_1(Mx_2 \eiff Lx_2x_1) \eand \exists x_2 Lx_3x_2$
\end{earg}

\problempart
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL with identity. The last sentence is ambiguous and can be translated two ways; you should provide both translations. (Hint: Identity is only required for the last four sentences.)
\begin{ekey}
\item[UD:] people
\item[Kx:] $x$ knows the combination to the safe.
\item[Sx:] $x$ is a spy.
\item[Vx:] $x$ is a vegetarian.
\item[Txy:] $x$ trusts $y$.
\item[h:] Hofthor
\item[i:] Ingmar
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Hofthor is a spy, but no vegetarian is a spy.
\item No one knows the combination to the safe unless Ingmar does.
\item No spy knows the combination to the safe.
\item Neither Hofthor nor Ingmar is a vegetarian.
\item Hofthor trusts a vegetarian.
\item Everyone who trusts Ingmar trusts a vegetarian.
\item Everyone who trusts Ingmar trusts someone who trusts a vegetarian.
\item Only Ingmar knows the combination to the safe.
\item Ingmar trusts Hofthor, but no one else.
\item The person who knows the combination to the safe is a vegetarian.
\item The person who knows the combination to the safe is not a spy.
\end{earg}

\problempart
Szimbólumkulcsokat használva fordítsuk le a magyar nyelvű mondatokat PL-re identitással. Az utolsó mondat nem egyértelmű, fordítsa le mindkét módon. (Tipp: Identitás csak az utolsó négy mondathoz szükséges.)
\begin{ekey}
\item[UD:] emberek
\item[Kx:] $x$ imseri a kombinációt a széfhez.
\item[Sx:] $x$ egy kém.
\item[Vx:] $x$ egy vegetáriánus.
\item[Txy:] $x$ $y$-ban bízik.
\item[h:] Hofthor
\item[i:] Ingmar
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Hofthor egy kém, de nem vegetáriánus kém.
\item Senki sem ismeri a széfkombinációt, kivéve, ha Ingmar ismeri.
\item Egyik kém sem tudja a széf kombinációt.
\item Hofthor és Ingmar sem vegetáriánus.
\item Hofthor bízik egy vegetáriánusban.
\item Mindenki, aki bízik Ingmarban, bízik egy vegetáriánusban.
\item Mindenki, aki bízik Ingmarban, bízik valakiben, aki bízik egy vegetáriánusban.
\item Csak Ingmar tudja a széf kombinációt.
\item Ingmar bízik Hofthorban, de senki másban nem.
\item A személy, aki tudja a széf kombinációját, az egy vegetáriánus.
\item A személy, aki tudja a kombinációt a széfhez, nem egy kém.
\end{earg}

%SD fordítása vége

%FL fordítása kezdet

\solutions
\problempart
\label{pr.QLcards}
Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL with identity. The last two sentences are ambiguous and can be translated two ways; you should provide both translations for each.
\begin{ekey}
\item[UD:] cards in a standard deck
\item[Bx:] $x$ is black.
\item[Cx:] $x$ is a club.
\item[Dx:] $x$ is a deuce.
\item[Jx:] $x$ is a jack.
\item[Mx:] $x$ is a man with an axe.
\item[Ox:] $x$ is one-eyed.
\item[Wx:] $x$ is wild.
\end{ekey}
\begin{earg}
\item All clubs are black cards.
\item There are no wild cards.
\item There are at least two clubs.
\item There is more than one one-eyed jack.
\item There are at most two one-eyed jacks.
\item There are two black jacks.
\item There are four deuces.
\item The deuce of clubs is a black card.
\item One-eyed jacks and the man with the axe are wild.
\item If the deuce of clubs is wild, then there is exactly one wild card.
\item The man with the axe is not a jack.
\item The deuce of clubs is not the man with the axe.
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.QLcards}
A megadott szimbólizációs kulcsot használva fordítsuk le a magyar nyelvű mondatokat PL-re identitással. Az utolsó két mondat nem egyértelmű, fordítsa le őket mindkét módon.
\begin{ekey}
\item[UD:] kártyák egy pakliban
\item[Bx:] $x$ egy fekete.
\item[Cx:] $x$ egy treff
\item[Dx:] $x$ egy kettes.
\item[Jx:] $x$ egy bubi.
\item[Mx:] $x$ egy káró király.
\item[Ox:] $x$ egy pikk bubi.
\item[Wx:] $x$ egy joker.
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Az összes treff fekete.
\item Nincsenek jokerek.
\item Legelább két treff van.
\item Több, mint egy pikk bubi van.
\item Maximum két pikk bubi van
\item Két fekete bubi van.
\item Négy kettes van.
\item A treff kettes fekete.
\item A kőr bubi, a pikk bubi és a káró király joker.
\item Ha a treff kettes joker, akkor csak egy joker van.
\item A káró király nem bubi.
\item A treff kettes nem káró király.
\end{earg}

\problempart Using the symbolization key given, translate each English-language sentence into QL with identity. The last two sentences are ambiguous and can be translated two ways; you should provide both translations for each.
\begin{ekey}
\item[UD:] animals in the world
\item[Bx:] $x$ is in Farmer Brown's field.
\item[Hx:] $x$ is a horse.
\item[Px:] $x$ is a Pegasus.
\item[Wx:] $x$ has wings.
\end{ekey}
\begin{earg}
\item There are at least three horses in the world.
\item There are at least three animals in the world.
\item There is more than one horse in Farmer Brown's field.
\item There are three horses in Farmer Brown's field.
\item There is a single winged creature in Farmer Brown's field; any other creatures in the field must be wingless.
\item The Pegasus is a winged horse.
\item The animal in Farmer Brown's field is not a horse.
\item The horse in Farmer Brown's field does not have wings.
\end{earg}

\problempart 
A megadott szimbólizációs kulcsot használva fordítsuk le a magyar nyelvű mondatokat PL-re identitással. Az utolsó két mondat nem egyértelmű, fordítsa le őket mindkét módon.
\begin{ekey}
\item[UD:] a világ állatai
\item[Bx:] $x$ Bálint gazda földjén van.
\item[Hx:] $x$ egy ló.
\item[Px:] $x$ egy pegazus.
\item[Wx:] $x$ szárnyakkal rendelkezik.
\end{ekey}
\begin{earg}
\item Legalább 3 ló van a világon.
\item Legalább 3 állat van a világon.
\item Több, mint egy ló van Farmer Bálint földjén.
\item 3 ló van Bálint gazda földjén.
\item Egy szárnyas teremtmény van Bálint gazda földjén; minden más teremtmény szárny nélküli.
\item A pegazus egy szárnyas ló.
\item Az állat Bálint gazda földjén nem egy ló.
\item A lónak Bálint gazda földjén nincsenek szárnyai.
\end{earg}

%FL fordítása vége