forallx-ch5-semantics.tex

%!TEX root = forallx.tex

%FV fordítása kezdet 
\chapter*{Formal semantics}
\label{ch.semantics}
\chapter{Formális szemantika}
\label{ch.semantics}

In this chapter, we describe a \emph{formal semantics} for SL and for QL. The word `semantics' comes from the greek word for `mark' and means `related to meaning.' So a formal semantics will be a mathematical account of meaning in the formal language.

Ebben a fejezetben leírjuk a kijelentéslogika és a predikátumlogika \emph{szimbolikus vagy formális jelentéstanát}. Az angolban használatos „semantics” vagy „szemantika” szó a görög „jel” szóból származik, mai értelmezése „jelentéshez kapcsolódó”. A hivatalos nyelvben a formális szemantika a jelentés matematikai számadása.


A formal, logical language is built from two kinds of elements: logical symbols and non-logical symbols. Connectives (like `\eand') and quantifiers (like `$\forall$') are logical symbols, because their meaning is specified within the formal language. When writing a symbolization key, you are not allowed to change the meaning of the logical symbols. You cannot say, for instance, that the `\enot' symbol will mean `not' in one argument and `perhaps' in another. The `\enot' symbol always means logical negation. It is used to translate the English language word `not', but it is a symbol of a formal language and is defined by its truth conditions.

Egy formális, logikus nyelv kétfajta elemből épül: logikai szimbólumokból és nemlogikai szimbólumokból. Például, az „\eand” és „$\forall$” logikai szimbólumok, mivel a jelentésük meghatározott a szimbolikus logikában. Az „\eand” egy logikai művelet, míg a „$\forall$” egy kvantor. Szimbolizációs kulcsok írása közben nem szabad megváltoztatni a logikai szimbólumok jelentését; például, a „\enot” szimbólum nem jelenthet „nem”-et egy kijelentésben, és „talán”-t a következőben. A „\enot” szimbólum mindig logikai tagadást jelöl. A magyar „nem” szó fordítására használjuk, de a formális nyelv szimbóluma és így annak az igazságállapotai határozzák meg.


The sentence letters in SL are non-logical symbols, because their meaning is not defined by the logical structure of SL. When we translate an argument from English to SL, for example, the sentence letter $M$ does not have its meaning fixed in advance; instead, we provide a symbolization key that says how $M$ should be interpreted in that argument. In QL, the predicates and constants are non-logical symbols.

A kijelentéslogika változói nemlogikai szimbólumok, mivel a jelentésüket nem határozza meg a kijelentéslogika szerkezete. Amikor magyarról kijelentéslogikára „fordítunk” egy kijelentést, például az $A$ változó jelentése nincs előre rögzítve; helyette egy szimbolizációs kulccsal határozzuk meg, hogyan kell az $A$ jelet értelmezni az adott kijelentésben. A predikátumlogikában a predikátumok és konstansok nemlogikai szimbólumok.


In translating from English to a formal language, we provided symbolization keys which were interpretations of all the non-logical symbols we used in the translation. An \define{interpretation} gives a meaning to all the non-logical elements of the language.

Amikor magyarról szimbolikus nyelvre „fordítunk”, azzal meghatározzuk a szimbolizációs kulcsokat is. Ezek az összes, a „fordításban” használt nemlogikai szimbólum értelmezésére használhatóak. Az \define{értelmezés} a nyelv összes nemlogikai elemének jelentést ad.
 

It is possible to provide different interpretations that make no formal difference. In SL, for example, we might say that $D$ means `Today is Tuesday'; we might say instead that $D$ means `Today is the day after Monday.' These are two different interpretations, because they use different English sentences for the meaning of $D$. Yet, formally, there is no difference between them. All that matters once we have symbolized these sentences is whether they are true or false. In order to characterize what makes a difference in the formal language, we need to know what makes sentences true or false. For this, we need a formal characterization of \emph{truth}.

Lehetséges különböző értelmezéseket meghatározni, amik között valós különbség nincs. Például, a kijelentéslogikában mondhatjuk, hogy a $N$ azt jelenti, hogy ma kedd van, vagy azt, hogy a ma a hétfő utáni nap. Ezek különböző értelmezéseknek számítanak, mivel két különböző magyar mondattal adják meg a $N$ jelentését. Azonban a szimbolikus logikában nincs közöttük különbség. Miután a kijelentések szimbólumokká váltak, csak az számít, hogy igazak vagy hamisak. Hogy jellemezzük azt, hogy mi számít különbségnek a szimbolikus nyelvben, tudnunk kell, hogy mi teszi a kijelentéseket igazzá vagy hamissá. Ehhez szükségünk van az /emph{igazság} hivatalos jellemzésére.


When we gave definitions for a sentence of SL and for a sentence of QL, we distinguished between the \define{object language} and the \define{metalanguage}. The object language is the language that we are \emph{talking about}: either SL or QL. The metalanguage is the language that we use to talk about the object language: English, supplemented with some mathematical jargon. It will be important to keep this distinction in mind.

Amikor definíciókat adtunk a kijelentéslogika és a predikátumlogika kijelentéseire, különbséget tettünk a \define{tárgynyelv} és \define{metanyelv} között. A tárgynyelv az a nyelv, \emph{amiről beszélünk} mind a kijelentéslogikában, mint a predikátumlogikában, míg a metanyelv az a nyelv, amit arra használunk, hogy a \emph{tárgynyelvről} beszéljünk, ez a magyar nyelv némi matematikai szaknyelvvel kiegészítve. Fontos lesz, hogy ezt a különbséget észben tartsuk.


%\nix{box about Tarski? The logician Alfred Tarksi introduced this distinction ca.~1940. Tarski argued that the truth conditions for a language could never be expressed in the language itself--- the metalanguage needed to be more powerful than the object language. So it's simply not possible to give a definition of truth for SL that is itself a sentence of SL--- describing the semantics of SL requires a more powerful language.}

%\nix{Alfred Tarski logikával foglalkozó tudós vezette be ezt a különbséget 1940 körül. Tarski szerint egy nyelv igazságállapotait nem lehet kifejezni magán a nyelven belül, és egy, a tárgynyelvnél 'erősebb' metanyelvre van szükség. Ezért a kijelentéslogikában használatos igazság  definícióját lehetetlen magában a kijelentéslogikában meghatározni; a kijelentéslogika jelentéstanának leírásához egy erősebb nyelv szükséges.}

\section*{Semantics for SL}
\section{A KL szemantikája}

This section provides a rigorous, formal characterization of \emph{truth in SL} which builds on what we already know from doing truth tables. We were able to use truth tables to reliably test whether a sentence was a tautology in SL, whether two sentences were equivalent, whether an argument was valid, and so on. For instance: \script{A} is a tautology in SL if it is T on every line of a complete truth table.

Ez a rész szigorú, formális jellemzést ad a \emph{kijelentéslogikai igazságnak}, ami arra épül, amit már tudunk az igazságtáblázatokból. Az igazságtáblázatok használatával megbízhatóan ellenőrizhettük, hogy egy kijelentés tautológia volt-e a kijelentéslogikában, két kijelentés egyenértékű (ekvivalens) volt, egy kijelentés érvényes volt, és így tovább. Például, az \script{A} egy tautológia a kijelentéslogikában, ha minden esetben igaz; ha egy teljes igazságtáblázat minden sorában T értékű.


This worked because each line of a truth table corresponds to a way the world might be. We considered all the possible combinations of 1 and 0 for the sentence letters that made a difference to the sentences we cared about. The truth table allowed us to determine what would happen given these different combinations. 

Ez azért működött, mivel egy igazságtáblázat minden sora megfelel egy állapotnak, amely a világot tükrözheti. Minden olyan H és I kombinációt figyelembe vettünk, ami a kérdéses kijelentésekben bármiféle változást jelentene. Az igazságtáblázat segítségével megállapíthattuk, hogy mi történne ezekben az esetekben.


Once we construct a truth table, the symbols `1' and `0' are divorced from their metalinguistic meaning of `true' and `false'. We interpret `1' as meaning `true', but the formal properties of 1 are defined by the characteristic truth tables for the various connectives. The symbols in a truth table have a formal meaning that we can specific entirely in terms of how the connectives operate. For example, if $A$ is value 1, then $\enot A$ is value 0.

Miután az igazságtáblázat elkészült, az I és H szimbólumok jelentése már nem „igaz” és „hamis”, mint a metanyelvben. Az I jelet „igaz”-nak vesszük, de az I hivatalos tulajdonságait már az igazságtáblázatokban létező logikai műveletek jellemzői definiálják. Az igazságtáblázatban a szimbólumoknak formális jelentése van, amit megszabhatunk kizárólag az logikai műveletek működése szerint. Például, ha $A$ értéke I, akkor $\enot A$ értéke H.


In short: Truth in SL just is the assignment of a 1 or a 0.

Röviden: A kijelentéslogikában, az "igazság" csak az I vagy H hozzárendelése.


To formally define truth in SL, then, we want a function that assigns a 1 or 0 to each of the sentences of SL. We can interpret this function as a definition of truth for SL if it assigns 1 to all of the true sentences of SL and 0 to all of the false sentences of SL. Call this function `$v$' (for `valuation'). We want $v$ to be a function such that for any sentence \script{A}, $v(\script{A})=1$ if \script{A} is true and $v(\script{A})=0$ if \script{A} is false.

Ezért, hogy formálisan definiáljuk az "igazságot" a kijelentéslogikában, egy függvényt kell készítenünk, ami a kijelentéslogika minden kijelentéséhez I-t vagy H-t rendel. Ezt a függvényt akkor értelmezhetjük az "igazság" kijelentéslogikai definíciójának, ha a kijelentéslogika összes igaz kijelentéséhez I-t rendel, és minden hamis kijelentéséhez H-t. Ezt a függvényt hívjuk '$é$'-nek, az "értékelés" után. Az $é$-nek olyan függvénynek kell lennie, ami minden \script{A} kijelentéshez $v(\script{A})=I$-t ír, ha \script{A} igaz, és $v(\script{A})=H$-t, ha \script{A} hamis.


Recall that the recursive definition of a wff for SL had two stages: The first step said that atomic sentences (solitary sentence letters) are wffs. The second stage allowed for wffs to be constructed out of more basic wffs. There were clauses of the definition for all of the sentential connectives. For example, if \script{A} is a wff, then \enot\script{A} is a wff.

Emélkezzünk vissza, hogy a kijelentéslogikában a logikai formulák rekurzív definíciójának két szakasza volt. Az első szerint az atomi kijelentések (kijelentésváltozók) logikai formulák. A második megengedte azokat a logikai formulákat, amik egyszerűbb logikai formulákból tevődnek össze. Minden logikai művelet definíciójához voltak kikötések; például, ha \script{A} egy logikai formula, akkor \enot\script{A} is az.

Our strategy for defining the truth function, $v$, will also be in two steps. The first step will handle truth for atomic sentences; the second step will handle truth for compound sentences.

Az igazságfunkció, $é$ meghatározását szintén két lépésben fogjuk megoldani. Az első lépés a kijelentésváltozók, a második lépés pedig az összetett kijelentések igazságát fogja kezelni.

%FV fordítása vége

%FN fordítása kezdet

\subsection*{Truth in SL}
\subsection{Igazság a kijelentéslogikában}
How can we define truth for an atomic sentence of SL? Consider, for example, the sentence $M$. Without an interpretation, we cannot say whether $M$ is true or false. It might mean anything. If we use $M$ to symbolize `The moon orbits the Earth', then $M$ is true. If we use $M$ to symbolize `The moon is a giant turnip', then $M$ is false.

Hogyan tudjuk definiálni az igazságot egy atomi kijelentés esetén? Tekintsük például az $M$ kijelentést. Értelmezés nélkül nem mondhatjuk, hogy az $M$ igaz vagy hamis. Bármit jelenthet. Ha $M$-mel azt jelöljük, hogy „A Hold a Föld körül kering”, akkor $M$ igaz\footnote{Igazából a Föld és a Hold közös tömegközéppontja közül kering, és ekkor még nem vettük figyelembe a Nap körüli mozgását sem.}. Ha $M$ -mel azt jelöljük, hogy „A Hold egy hatalmas répa”, akkor $M$ hamis.

Moreover, the way you would discover whether or not $M$ is true depends on what $M$ means. If $M$ means `It is Monday,' then you would need to check a calendar. If $M$ means `Jupiter's moon Io has significant volcanic activity,' then you would need to check an astronomy text--- and astronomers know because they sent satellites to observe Io.

Ráadásul a mód, ahogy eldöntjük, hogy $M$ igaz-e, függ attól, hogy $M$ mit jelent. Ha azt jelenti, hogy „Hétfő van,” akkor meg kell néznünk a naptárat. Ha azt jelenti, hogy „A Jupiter Io holdjának jelentős vulkáni aktivitása van,” akkor meg kell azt néznünk egy csillagászati tankönyvben -- és a csillagászok azért tudják ezt, mert műholdakat küldtek az Io megfigyelésére.

When we give a symbolization key for SL, we provide an {interpretation} of the sentence letters that we use. The key gives an English language sentence for each sentence letter that we use. In this way, the interpretation specifies what each of the sentence letters \emph{means}. However, this is not enough to determine whether or not that sentence is true. The sentences about the moon, for instance, require that you know some rudimentary astronomy. Imagine a small child who became convinced that the moon is a giant turnip. She could understand what the sentence `The moon is a giant turnip' means, but mistakenly think that it was true.

Amikor megadunk egy szimbolizációs kulcsot, gondoskodunk a kijelentésbetűk \define{értelmezéséről}. A kulcs hozzárendel egy magyar nyelvű mondatot minden betűhöz, amit használunk. Ezen a módon az értelmezés megadja, hogy melyik betű mit \emph{jelent}. Habár ez nem elég ahhoz, hogy megállapítsuk, igaz-e a kijenetés. Például a Holdról szóló kijelentések megkövetelik, hogy legyen valamennyi ismeretünk a csillagászatról. Képzeljünk el egy kisgyermeket, akit meggyőznek arról, hogy a Hold egy hatalmas répa. Ő megérti, hogy mit jelent az az állítás, hogy „A Hold egy hatalmas répa”, de tévesen gondolja azt, hogy ez igaz.

Consider another example: If $M$ means `It is morning now', then whether it is true or not depends on when you are reading this. I know what the sentence means, but--- since I do not know when you will be reading this--- I do not know whether it is true or false.

Tekintsünk egy másik példát: Ha az $M$ azt jelenti, hogy „Most reggel van”, akkor az, hogy igaz-e vagy sem, attól függ, hogy mikor olvassuk. Tudjuk, mit jelent a kijelentés, de -- amíg nem tudjuk, mikor fogják olvasni -- nem tudjuk, hogy igaz-e vagy hamis.

So an interpretation alone does not determine whether a sentence is true or false. Truth or falsity depends also on what the world is like. If $M$ meant `The moon is a giant turnip' and the real moon were a giant turnip, then $M$ would be true. To put the point in a general way, truth or falsity is determined by an interpretation \emph{plus} a way that the world is.

Tehát önmagában egy értelmezés nem határozza meg, hogy a kijelentés igaz vagy hamis. Az „igazság” vagy „hamisság” attól is függ, hogy milyen a világ. Ha $M$ azt jelentette, hogy „A Hold egy hatalmas répa”, és a valódi Hold egy hatalmas répa lenne, akkor $M$ igaz volna. A lényeg általános megfogalmazására: az igazság vagy hamisság az értelmezés, \emph{és} a világ milyensége révén meghatározott.

\begin{center}
INTERPRETATION + STATE OF THE WORLD $\Longrightarrow$ TRUTH/FALSITY
\end{center}

\begin{center}
ÉRTELMEZÉS + A VILÁG ÁLLÁSA $\Longrightarrow$ IGAZSÁG/HAMISSÁG
\end{center}

In providing a logical definition of truth, we will not be able to give an account of how an atomic sentence is made true or false by the world. Instead, we will introduce a \emph{truth value assignment}. Formally, this will be a function that tells us the truth value of all the atomic sentences. Call this function `$a$' (for `assignment'). We define $a$ for all sentence letters \script{P}, such that
\begin{displaymath}
a(\script{P}) =
\left\{
	\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if \script{P} is true},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Az igazság logikai meghatározásának megadásával nem fogjuk tudni, hogy egy atomi kijelentés igaz vagy hamis. Ehelyett bemutatjuk az \emph{igazságérték-hozzárendelést}. Formálisan ez egy függvény lesz, ami megmondja nekünk az igazságértékét minden atomi kijeletésnek. Nevezzük ezt a függvényt `$a$'-nak (az angol assignment = hozzárendelés szó révén). Definiáljuk $a$-t minden \script{P} kijelentésbetűre úgy, mint
\begin{displaymath}
a(\script{P}) =
\left\{
	\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha \script{P} igaz},\\
	0 & \mbox{egyébként.}
	\end{array}
\right.
\end{displaymath}

%FN fordítása vége

%SzGyÁ fordítása kezdet

This means that $a$ takes any sentence of SL and assigns it either a one or a zero; one if the sentence is true, zero if the sentence is false. The details of the function $a$ are determined by the meaning of the sentence letters together with the state of the world. If $D$ means `It is dark outside', then $a(D)=1$ at night or during a heavy storm, while $a(D)=0$ on a clear day.

Ez azt jelenti, hogy $a$ bármilyen mondatot felvesz SL-től és hozzárendel egy egyest vagy egy nullát; egy, ha a mondat igaz és nulla, ha a mondat hamis. Az $a$ függvény részleteinek jelentését a mondat betűi együtt határozzák meg a szavak kijelentéseivel együtt. Ha $D$ jelentése `Sötét van odakint`, akkor $a(D)=1$ este egy heves vihar közben, miközben $a(D)=0$ egy derűs napon.

You can think of $a$ as being like a row of a truth table. Whereas a truth table row assigns a truth value to a few atomic sentences, the truth value assignment assigns a value to every atomic sentence of SL. There are infinitely many sentence letters, and the truth value assignment gives a value to each of them. When constructing a truth table, we only care about sentence letters that affect the truth value of sentences that interest us. As such, we ignore the rest. Strictly speaking, every row of a truth table gives a \emph{partial} truth value assignment.

$a$-ra gondolhatunk úgy is, mintha egy igazságtábla sora lenne. Mivel az igazságtábla sora hozzárendel egy igazságértéket néhány atomi mondathoz, az igazságérték feladata hozzárendelni egy értéket minden atomi SL mondathoz. Végtelenül sok mondat betű van, ahol az igazságérték feladata, hogy mindenhová értéket rendeljen. Amikor egy igazságtáblát szerkesztünk, a mondatnak csak azon betűivel foglalkozunk, amik befolyásolják a mondat igazságértékét. Mint ilyen, a többi részét figyelmen kívül hagyhatjuk. Szigorúan szólva minden sora az igazságtáblának egy \emph{részleges} igazságérték hozzárendelést ad.

It is important to note that the truth value assignment, $a$, is not part of the language SL. Rather, it is part of the mathematical machinery that we are using to describe SL. It encodes which atomic sentences are true and which are false.

Fontos megjegyezni, hogy az $a$ igazságérték hozzárendelés nem része SL nyelvezetének. Ez inkább egy matematikai gépezet része, amit az SL leírásához, jellemzéséhez használunk. Rejtjelezi, hogy az atomi mondatnak mely része igaz vagy hamis.

We now define the truth function, $v$, using the same recursive structure that we used to define a wff of SL.

Most meghatározzuk a $v$ igazságfüggvényt, ugyanazt a rekurzív struktúrát használva, amit a KL jfk meghatározásánál is használtunk.

\begin{enumerate}
\item If \script{A} is a sentence letter, then $v(\script{A})=a(\script{A})$.
\item Ha \script{A} egy mondatbetű, akkor $v(\script{A})=a(\script{A})$.
%\setcounter{Example}{\arabic{enumi}}\end{enumerate}
%...
% Break out of the {enumerate} environment to say something about what is
% going on. Using \setcounter in this way preserves the numbering, so
% that the list can resume after the comments.

%\számláló beállítása{Példa}{\arab{enumi}}\vége{felsorolás}
%...
% Kitörni a {enumerate} a környezetből hogy mondjunk valamit arról, hogy
% mi folyik itt. A \számláló beállításának használata ebben az esetben megőrzi a számozást, így
% aztán a lista folytatódhat a hozzászólások után.

%This is a mathematical equals sign, not the identity predicate we defined for QL.

%Ez egy matematikai egyenlőségjel, nem az egyéni állítmány, amit meghatároztunk a QL-nek.

% Resume the {enumerate} environment and restore the counter.
%...
%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{\arabic{Example}}

% Folytassuk {felsorolás} a környezetet és állítsuk vissza a számlálót.
%...
%\kezdődik{felsorolás}\számláló beállítása{enumi}{\arab{Példa}}

\item If \script{A} is ${\enot}\script{B}$ for some sentence \script{B}, then
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $v(\script{B}) = 0$},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\item Ha \script{A} egyenlő ${\enot}\script{B}$-vel valamilyen \script{B} mondatra, akkor
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $v(\script{B}) = 0$},\\
	0 & \mbox{egyébként.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\item If \script{A} is $(\script{B}\eand\script{C})$ for some sentences \script{B,C}, then
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $v(\script{B}) = 1$ and $v(\script{C}) = 1$,}\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\item Ha \script{A} egyenlő $(\script{B}\eand\script{C})$-vel valamilyen  \script{B,C} mondatokra, akkor
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $v(\script{B}) = 1$ és $v(\script{C}) = 1$,}\\
	0 & \mbox{egyébként.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\setcounter{Example}{\arabic{enumi}}\end{enumerate}
%...

It might seem as if this definition is circular, because it uses the word `and' in trying to define `and.' Notice, however, that this is not a definition of the English word `and'; it is a definition of truth for sentences of SL containing the logical symbol `\eand.' We define truth for object language sentences containing the symbol `\eand' using the metalanguage word `and.' There is nothing circular about that.

Úgy tűnhet, hogy ez a meghatározás körkörös, mivel használja az `és` szót miközben megpróbálja meghatározni azt. Megjegyzendő, hogy ez nem a magyar „és” szó meghatározása; ez az igazságtartalmú mondatok meghatározása, melyek az „\eand.” logikai szimbólumtartalmú KL-hez tartoznak. Az igazságot olyan tárgyi nyelv számára határozzuk meg, amely tartalmazza az „\eand” szimbólumot miközben használjuk a metanyelv „és” szavát. Itt semmilyen körkörös folyamat nincs.

%...
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{\arabic{Example}}
\item If \script{A} is $(\script{B}\eor\script{C})$ for some sentences \script{B,C}, then
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{if $v(\script{B}) = 0$ and $v(\script{C}) = 0$,}\\
	1 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\item Ha \script{A} egyenlő $(\script{B}\eor\script{C})$-vel valamilyen  \script{B,C} mondatokra, akkor
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{ha $v(\script{B}) = 0$ és $v(\script{C}) = 0$,}\\
	1 & \mbox{egyébként.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
%\setcounter{Example}{\arabic{enumi}}\end{enumerate}
%...
%Notice that this defines truth for sentences containing the symbol `\eor' using the word `and.'
%...
%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{\arabic{Example}}

%\számláló beállítása{Példa}{\arab{enumi}}\vége{felsorolás}
%...
%Vegye figyelembe, hogy ez meghatározza az `\eor` szimbólumot tartalmazó mondatok igazságát az `és` szót használva.
%...

\item If \script{A} is $(\script{B}\eif\script{C})$ for some sentences \script{B,C}, then
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{if $v(\script{B}) = 1$ and $v(\script{C}) = 0$,}\\
	1 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\item Ha \script{A} egyenlő $(\script{B}\eif\script{C})$-vel valamilyen  \script{B,C} mondatokra, akkor
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{ha $v(\script{B}) = 1$ és $v(\script{C}) = 0$,}\\
	1 & \mbox{egyébként.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
%SzGyÁ fordítása vége

%KML fordítása kezdet

\item If \script{A} is $(\script{B}\eiff\script{C})$ for some sentences \script{B,C}, then
\begin{displaymath}v(\script{A}) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $v(\script{B}) = v(\script{C})$},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\end{enumerate}

Since the definition of $v$ has the same structure as the definition of a wff, we know that $v$ assigns a value to \emph{every} wff of SL. Since the sentences of SL and the wffs of SL are the same, this means that $v$ returns the truth value of every sentence of SL.

Mivel a $v$ meghatározása megegyezik a jfk meghatározásával, ezért tudjuk, hogy a $v$ értéket rendel a KL \emph{minden} jfk-éhez. Mivel a KL mondatai és a KL jfk-ei ugyanazok, ez azt jelenti, hogy a $v$ a KL mondatok igazságértékét adja vissza.

Truth in SL is always truth \emph{relative to} some truth value assignment, because the definition of truth for SL does not say whether a given sentence is true or false. Rather, it says how the truth of that sentence relates to a truth value assignment.

Az „igaz” a KL-ben mindig „igaz” \emph{viszonyítva} valamilyen igazságérték-hozzárendeléshez, mivel az „igaz” KL-ben lévő definíciója nem mondja, hogy egy adott mondat igaz-e vagy hamis. Helyette inkább azt mondja, hogy a mondat igazsága hogyan kapcsolódik, egy igazságérték-hozzárendeléshez.

\subsection*{Other concepts in SL}
\subsection{Egyéb fogalmak a KL-ben}
Working with SL so far, we have done without a precise definition of `tautology', `contradiction', and so on. Truth tables provided a way to \emph{check if} a sentence was a tautology in SL, but they did not \emph{define} what it means to be a tautology in SL. We will give definitions of these concepts for SL in terms of entailment.

Ahogy idáig a KL-el dolgoztunk, azt a „tautológia”, az „ellentmondás” és a többbi pontos meghatározása nélkül tettük. Az igazságtábla útmutatást nyújtott ahhoz hogy \emph{ellenőrizzük} azt, hogy a mondat tautológia volt-e a KL-ben, de nem \emph{definiálta} hogy mit jelent tautológiának lenni KL-ben. E fogalmak meghatározásait fogjuk a KL szempontjából megadni.

The relation of semantic entailment, `\script{A} entails \script{B}', means that there is no truth value assignment for which \script{A} is true and \script{B} is false. Put differently, it means that \script{B} is true for any and all truth value assignments for which \script{A} is true.

A szemantikai öröklés relációja, miszerint „\script{A}-t örökli \script{B}”, azt jelenti, hogy nincs igazérték-hozzárendelés amiben \script{A} 'igaz' és \script{B} 'hamis'. Másképp fogalmazva ez azt jelenti, hogy \script{B} igaz bármely és az összes igazságérték-hozzárendelésre amelyben \script{A} igaz.

We abbreviate this with a symbol called the \emph{double turnstile}:

Ezt egy jelöléssel rövidítjük amit úgy nevezünk, hogy \emph{dupla sorompó
}:
$\script{A}\models\script{B}$ means `\script{A} semantically entails \script{B}.'

$\script{A}\models\script{B}$ azt jelenti, hogy „\script{B} szemantikailag örököse \script{A}-nak.”

We can talk about entailment between more than two sentences: $$\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}\models\script{B}$$ means that there is no truth value assignment for which all of the sentences in the set $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ are true and \script{B} is false.

Öröklésről több mint két mondat között is beszélhetünk: $$\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}\models\script{B}$$ ami azt jelenti, hogy nincs igazságérték-hozzárendelés amelyekre fennáll hogy, az összes mondat a $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ halmazban „igaz” és \script{B} 'hamis'.

We can also use the symbol with just one sentence: $\models\script{C}$ means that \script{C} is true for all truth value assignments. This is equivalent to saying that the sentence is entailed by anything.

Csak simán egy mondattal is használhatjuk a jelölést: $\models\script{C}$ ami azt jelenti, hogy \script{C} minden igazérték-hozzárendelésre „igaz”. Ez megegyezik azzal az állítással, hogy a mondat bármi örököse.

The double turnstile symbol allows us to give concise definitions for various concepts of SL:

A dupla sorompó jelölés lehetővé teszi, hogy tömör meghatározásokat adjunk az SL különféle fogalmaira:
%KML fordítása vége

%DG fordítása kezdet

\begin{quote}
A \define{tautology in SL} is a sentence \script{A}  such that $\models\script{A}$.

Egy \define{tautológia a kijelentéslogikában} egy olyan \script{A} kijelentés, melyre igaz, hogy $\models\script{A}$.

A \define{contradiction in SL} is a sentence \script{A} such that $\models\enot\script{A}$.

Egy  \define{ellentmondás a kijelentéslogikában} egy olyan \script{A} kijelentés, melyre igaz, hogy $\models\enot\script{A}$.

A sentence is \define{contingent in SL} if and only if it is neither a tautology nor a contradiction.

Egy kijelentés \define{kontingens a kijelentéslogikában} akkor és csakis akkor, ha nem tautológia és nem is ellentmondás.

An argument `` $\script{P}_1, \script{P}_2, \cdots$, \therefore\ \script{C} '' is \define{valid in SL} if and only if $\{\script{P}_1,\script{P}_2,\cdots\}\models\script{C}$.

A „$\script{P}_1, \script{P}_2, \cdots$, \therefore\ \script{C}” kijelentés akkor és csakis akkor \define{érvényes a kijelentéslogikában}, ha $\{\script{P}_1,\script{P}_2,\cdots\}\models\script{C}$.

Two sentences \script{A} and \script{B} are \define{logically equivalent in SL} if and only if both $\script{A}\models\script{B}$ and $\script{B}\models\script{A}$.

Két kijelentés \script{A} és \script{B} akkor és csakis akkor \define{egyenértékűek a kijelentéslogikában}, ha $\script{A}\models\script{B}$ és $\script{B}\models\script{A}$.
\end{quote}

Logical consistency is somewhat harder to define in terms of semantic entailment. Instead, we will define it in this way:

A logikai konzisztencia valamivel nehezebben megfogalmazható a szemantikus következetesség keretein belül. Ehelyett mi a következőképp fogjuk definiálni:

\begin{quote}
\label{def.consistencySL}
The set $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ is \define{consistent in SL} if and only if there is at least one truth value assignment for which all of the sentences are true. The set is \define{inconsistent in SL} if and if only there is no such assignment.
\end{quote}

\begin{quote}
\label{def.consistencySL}
Az $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ halmaz akkor és csakis akkor \define{konzisztens a kijelentéslogikában} , ha létezik legalább egy igazság érték hozzárendelés amelyre az összes kijelentés igaz. A halmaz akkor és csakis akkor \define{inkonzisztens a kijelentéslogikában} , ha nem létezik ilyen hozzárendelés.
\end{quote}

\section*{Interpretations and models in QL}
\section{Interpretációk és modellek a Predikátumlogikában}

In SL, an interpretation or symbolization key specifies what each of the sentence letters means. The interpretation of a sentence letter along with the state of the world determines whether the sentence letter is true or false.
Since the basic units are sentence letters, an interpretation only matters insofar as it makes sentence letters true or false. Formally, the semantics for SL is strictly in terms of truth value assignments. Two interpretations are the same, formally, if they make for the same truth value assignment.

A kijelentéslogikában, egy interpretáció vagy szimbolikai kulcs adja meg, hogy mit jelentenek a kijelentésekben található változók. A kijelentés egy változójának interpretációja, és a világ állapota dönti el, hogy az adott változó igaz, vagy hamis lesz-e. Mivel az alapvető mértékegységek kijelentésváltozók, egy interpretáció csak azért számít, mert meghatározza a változó igaz vagy hamis létét. Hivatalosan, a kijelentéslogika jelentéstana csakis az érvényességi értékátadásokból áll. Két interpretáció egyező formálisan, ha ugyanazt az érvényességi értékátadást jelentik.

What is an interpretation in QL? Like a symbolization key for QL, an interpretation requires a UD, a schematic meaning for each of the predicates, and an object that is picked out by each constant. For example:
\begin{ekey}
\item[UD:] comic book characters
\item[Fx:] $x$ fights crime.
\item[b:] the Batman
\item[w:] Bruce Wayne
\end{ekey}
Consider the sentence $Fb$. The sentence is true on this interpretation, but--- just as in SL--- the sentence is not true \emph{just because} of the interpretation. Most people in our culture know that Batman fights crime, but this requires a modicum of knowledge about comic books. The sentence $Fb$ is true because of the interpretation \emph{plus} some facts about comic books. This is especially obvious when we consider $Fw$. Bruce Wayne is the secret identity of the Batman in the comic books--- the identity claim $b=w$ is true--- so $Fw$ is true. Since it is a \emph{secret} identity, however, other characters do not know that $Fw$ is true even though they know that $Fb$ is true.

Mi egy interpretáció a predikátumlogikában? Mint egy szimbolikus kulcs a predikátumlogikának, egy interpretációhoz szükséges egy alap halmaz (UD), egy sematikus jelentés minden egyes predikátumnak, és egy objektum amelyet minden konstans felhasznál. Például:
\begin{ekey}
\item[UD:] képregények karakterei
\item[Fx:] $x$ a bűnözés ellen küzd.
\item[b:] Batman
\item[w:] Bruce Wayne
\end{ekey}
Vegyük példának az $Fb$ kijelentést. A kijelentés ezen interpretációval igaz, de --pont mint a kijelentéslogikában-- a kijelentés nem \emph{csak} az interpretáció miatt igaz. Szinte mindenki tudja, hogy Batman a bűnözés ellen küzd, de ehhez szükséges egy minimális tudás a képregények világáról. A $Fb$ kijelentés az interpretáció \emph{és} a képregényekről szerzett tudásunk miatt igaz. Ez abban az esetben különösen egyértelmű, ha $Fw$-t vesszük figyelembe. Bruce Wayne Batman titkos identitása a képregényekben -- az identitásokról tehát kijelenthetjük, hogy $b=w$-- szóval $Fw$ is igaz. Mivel ez egy \emph{titkos} identitás, a többi karakter nem tudja, hogy $Fw$ igaz, pedig az tudtukban áll, hogy a $Fb$ kijelentés igaz.


%DG fordítása vége

%VL fordítása kezdet

We could try to characterize this as a truth value assignment, as we did for SL. The truth value assignment would assign 0 or 1 to each atomic wff: $Fb$, $Fw$, and so on. If we were to do that, however, we might just as well translate the sentences from QL to SL by replacing $Fb$ and $Fw$ with sentence letters. We could then rely on the definition of truth for SL, but at the cost of ignoring all the logical structure of predicates and terms. In writing a symbolization key for QL, we do not give separate definitions for $Fb$ and $Fw$. Instead, we give meanings to $F$, $b$, and $w$. This is essential because we want to be able to use quantifiers. There is no adequate way to translate $\forall x Fx$ into SL.

Megpróbálhatjuk igazságérték-hozzárendelésként jellemezni ezt, mint a kijelentéslogikában. Az igazságérték-hozzárendelés, hozzárendelne 0-át vagy 1-est minden elemi jfk-hez: $Fb$, $Fw$, és így tovább. Ha viszont ezt megtennénk, akkor jobban járnánk predikátum logikából kijelentéslogikába fordítani az $Fb$ és $Fw$ értékek mondat betűkre való cserélésével. Ezután tudnánk az igazság definíciójára hagyatkozni a kijelentéslogikában, de a predikációk és kifejezések logikai szerkezetének figyelmen kívül hagyása mellett. A szimbolizációs kulcs írásában a predikátum logikában nem adunk különböző definíciót $F$, $b$, és $w$. Ez lényeges mivel szeretnénk használni kvantorokat. Nincs megfelelő módja a $\forall x Fx$ a kijelentéslogikába való fordítására.

So we want a formal counterpart to an interpretation for predicates and constants, not just for sentences. We cannot use a truth value assignment for this, because a predicate is neither true nor false. In the interpretation given above, $F$ is true \emph{of} the Batman (i.e., $Fb$ is true), but it makes no sense at all to ask whether $F$ on its own is true. It would be like asking whether the English language fragment `$\ldots$fights crime' is true.

Szeretnénk egy formális párokat a predikátumok és konstansok értelmezésére, nem csak a mondatokra. Nem használhatunk egy igazságérték-hozzárendelést ehhez, mert a predikátum sem igaz sem hamis. Az előbbi értelmezésben, $F$ iga Batmanre (például, $Fb$ igaz), de nincs értelme megkérdezni, hogy $F$ önmagában igaz-e. Ez olyan lenne, mintha megkérdeznénk, hogy a magyar nyelv részlet `$\ldots$bűn ellen küzd' igaz-e.

What does an interpretation do for a predicate, if it does not make it true or false? An interpretation helps to pick out the objects to which the predicate applies. Interpreting $Fx$ to mean `$x$ fights crime' picks out Batman, Superman, Spiderman, and other heroes as the things that are $F$s. Formally, this is a set of members of the UD to which the predicate applies; this set is called the \define{extension} of the predicate.

Mit tesz egy értelmezés az állítmányra, ha nem teszi igazzá vagy hamissá? Az értelmezés segít kiválasztani azokat az objektumokat, amelyekre a predikátum vonatkozik. $Fx$-et úgy értelmezni, hogy „$x$ küzd a bűn ellen”-t jelenti, kiválasztja Batman-t, Superman-t, Pókembert, és más hősöket, mint „dolgokat”, amik $F$-ek. Formálisan, ez egy tagok halmaza az alaphalmazban, amelyre a predikátum érvényes; ezt a halmazt a predikátum \define{kiterjedésének} hívjuk.

Many predicates have indefinitely large extensions. It would be impractical to try and write down all of the comic book crime fighters individually, so instead we use an English language expression to interpret the predicate. This is somewhat imprecise, because the interpretation alone does not tell you which members of the UD are in the extension of the predicate. In order to figure out whether a particular member of the UD is in the extension of the predicate (to figure out whether Black Lightning fights crime, for instance), you need to know about comic books. In general, the extension of a predicate is the result of an interpretation \emph{along with} some facts.

Rengeteg predikátumnak van végtelen nagy kiterjedése. Nem lenne praktikus megpróbálni leírni az összes képregény bűnüldözőt egyenként, ehelyett egy magyar nyelvű kifejezést használunk a predikátum értelmezésére. Ez nem a legpontosabb, mert az értelmezés önmagában nem fejezi ki melyik tagok az alaphalmazban (UD) a kiterjedése a predikátumnak. Ahhoz, hogy kitaláljuk éppen melyik tag az alaphalmazban (UD) van a predikátum kiterjedésében (Például, hogy kitaláljuk „Black Lightning” bűnüldöző-e), tudnunk kell a képregényekről. Általánosan, a predikátum kiterjedése egy interpretáció eredménye tényekkel \emph{együtt}.

%\begin{center}
%\small INTERPRETATION OF A PREDICATE \script{P} + STATE OF THE WORLD $\Longrightarrow$ EXTENSION OF \script{P}
%\end{center}

%\begin{közép}
%\small PREDIKÁTUM ÉRTELMEZÉSE \script{P} + VILÁG HELYZETE $\Longrightarrow$ KITERJESZTÉSE A(Z) \script{P}
%\end{közép}

Sometimes it is possible to list all of the things that are in the extension of a predicate. Instead of writing a schematic English sentence, we can write down the extension as a set of things. Suppose we wanted to add a one-place predicate $M$ to the key above. We want $Mx$ to mean `$x$ lives in Wayne Manor', so we write the extension as a set of characters:

Néha lehetséges, hogy felsoroljuk az összes dolgot ami a predikátum kiterjedésében van. Ahelyett, hogy vázlatos magyar mondatot írnánk, leírhatjuk a kiterjedést, mint dolgok halmazát. Tegyük fel, hogy egy hely predátumot akartunk hozzáadni az előbbi $M$ kulcshoz. Azt akarjuk, hogy $Mx$ azt jelentse, hogy „$x$ a Wayne Villában él”, ezért a kiterjedést egy karakterek halmazaként írjuk le:

\begin{partialmodel}
	\extension{M} & \{Bruce Wayne, Alfred the butler, Dick Grayson\}
\end{partialmodel}
\begin{partialmodel}
	\extension{M} & \{Bruce Wayne, Alfred az inas, Dick Grayson\}
\end{partialmodel}

You do not need to know anything about comic books to be able to determine that, on this interpretation, $Mw$ is true: Bruce Wayne is just specified to be one of the things that is $M$. Similarly, $\exists x Mx$ is obviously true on this interpretation: There is at least one member of the UD that is an $M$--- in fact, there are three of them.

Nem kell tudnod semmit a képregényekről, hogy meghatározd, hogy ezen értelmezésben $Mw$ igaz: Bruce Wayne úgy van specifikálva, hogy ő az egyik valami ami $M$ része. Hasonlóan, $\exists x Mx$ is egyértelműen igaz ezen értelmezésen: Van legalább egy tag az alaphalmazban (UD) ami $M$ -- ráadásul, három is van belőle.

%VL fordítása vége

%HM fordítása kezdet

What about the sentence $\forall x  Mx$? The sentence is false, because it is not true that all members of the UD are $M$. It requires the barest minimum of knowledge about comic books to know that there are other characters besides just these three. Although we specified the extension of $M$ in a formally precise way, we still specified the UD with an English language description. Formally speaking, a UD is just a set of members.

Mi a helyzet a $\forall x  Mx$ állítással? Az állítás hamis, mert nem igaz, hogy az UD minden tagja $M$. A lehető legkevesebb képregényes ismeret is elég ahhoz, hogy tudjuk, hogy ezen a három karakteren kívül több is létezik. Annak ellenére, hogy formálisan pontosan megadtuk $M$ kiterjedését, az UD-T magyar nyelvű leírással határoztuk meg. Hivatalosan, az UD csak a tagok halmaza.

The formal significance of a predicate is determined by its extension, but what should we say about constants like $b$ and $w$? The meaning of a constant determines which member of the UD is picked out by the constant. The individual that the constant picks out is called the \define{referent} of the constant. Both $b$ and $w$ have the same referent, since they both refer to the same comic book character. You can think of a constant letter as a name and the referent as the thing named. In English, we can use the different names `Batman' and `Bruce Wayne' to refer to the same comic book character. In this interpretation, we can use the different constants `$b$' and `$w$' to refer to the same member of the UD.

A formális jelentését egy predikátumnak a kiterjedés határozza meg, de mit mondhatunk el a konstansokról, mint például a $b$-ről és $w$-ről? A konstans jelentése determinálja, hogy a konstans melyik UD tagot emeli ki. Ezt az egyedet, amit a konstans kiválaszt a konstans \define{referensének} nevezzük. Mind $b$-nek és $w$-nek azonos a referense, mivel mindkettő ugyanarra a képregényhősre utal. Gondolhatunk egy konstans betűre, mint név, és a referensre, mint a név tulajdonosára. Magyarul, használhatunk különböző neveket, mint például "Batman" és "Bruce Wayne”, hogy ugyanarra a képregényhősre utaljunk. Ebben az interpretációban, használhatunk különböző konstansokat, mint például `$b$' és `$w$' hogy utaljunk az UD ugyanazon tagjára.

\subsection*{Sets}
\subsection{Halmazok}

We use curly brackets `\{' and `\}' to denote sets. The members of the set can be listed in any order, separated by commas. The fact that sets can be in any order is important, because it means that \{foo, bar\} and \{bar, foo\} are the same set.

Kapcsos zárójeleket használunk `\{' és `\}' , hogy jelöljük a halmazokat. A halmazok tagjait bármilyen sorrendben listázhatjuk, vesszővel elválasztva. Az a tény, hogy a halmazokat bármilyen sorrendben felsorolhatjuk fontos, mivel ez azt jelenti, hogy \{foo, bar\} és \{bar, foo\} ugyanaz a halmaz.

It is possible to have a set with no members in it. This is called the \define{empty set}. The empty set is sometimes written as \{\}, but usually it is written as the single symbol $\emptyset$.

Az is lehetséges, hogy egy halmaznak nincsenek tagjai. Ezek az \define{üres halmazok}. Az üres halmazokat általában \{\} -vel jelöljük, de néha egy szimbólumként $\emptyset$ -ként is látthatjuk.

\subsection*{Models}
\subsection{Modellek}

As we have seen, an interpretation in QL is only formally significant insofar as it determines a UD, an extension for each predicate, and a referent for each constant. We call this formal structure a \define{model} for QL.

Ahogy már látthatuk, egy interpretáció PL-ben formálisan csak annyit jelent, hogy meghatározza az UD-t, egy kiterjedést minden predikátumhoz, és egy referenst minden konstanshoz.  Ezt a formális struktúrát nevezzük a PL egy \define{modelljének}.

To see how this works, consider this symbolization key:
\begin{ekey}
\item[UD:]People who played as part of the Three Stooges
\item[Hx:]$x$ had head hair.
\item[f:] Mister Fine
\end{ekey}

Hogy lássuk hogyan is működik, nézzük meg ezt a szimbolizációs kulcsot:
\begin{ekey}
\item[UD:]Emberek, akik részt vettek a Three Stooges-ban
\item[Hx:]$x$-nek van haja.
\item[f:] Mister Fine
\end{ekey}

If you do not know anything about the Three Stooges, you will not be able to say which sentences of QL are true on this interpretation. Perhaps you just remember Larry, Curly, and Moe. Is the sentence $Hf$ true or false? It depends on which of the stooges is Mister Fine.

Ha nem tudunk semmit a Three Stooges-ről (Három Besúgó), akkor nem fogjuk tudni megállapítani, hogy melyik mondat igaz a PL-ből, ebben az értelmezésben. Lehet, hogy csak Larryre, Curlyre és Moera emlékszik az ember. Vajon a $Hf$ igaz vagy hamis? Attól függ, hogy melyik besúgó volt Mister Fine.

%HM fordítása vége

%TKK fordítása kezdet

What is the model that corresponds to this interpretation? There were six people who played as part of the Three Stooges over the years, so the UD will have six members: Larry Fine, Moe Howard, Curly Howard, Shemp Howard, Joe Besser, and Curly Joe DeRita. Curly, Joe, and Curly Joe were the only completely bald stooges. The result is this model:

Mi az a modell, amely megfelel ennek az interpretációnak? Hat ember volt, akik az évek során A Három Besúgó komikus társulat tagjaként játszottak, így legyen az Unió hat elemű: Larry Fine, Moe Howard, Curly Howard, Shemp Howard, Joe Besser és Curly DeRita. Curly és Joe voltak teljesen kopasz `besúgók'. Az eredmény a következő modell:

\begin{partialmodel}
	UD & \{Larry, Curly, Moe, Shemp, Joe, Curly Joe\}\\
	\extension{H} & \{Larry, Moe, Shemp\}\\
	\referent{f} & Larry
\end{partialmodel}

\begin{partialmodel}
	UD & \{Larry, Curly, Moe, Shemp, Joe, Curly Joe\}\\
	\extension{H} & \{Larry, Moe, Shemp\}\\
	\referent{f} & Larry
\end{partialmodel}

You do not need to know anything about the Three Stooges in order to evaluate whether sentences are true or false in this \emph{model}. $Hf$ is true, since the referent of $f$ (Larry) is in the extension of $H$. Both $\exists x Hx$ and $\exists x \enot Hx$ are true, since there is at least one member of the UD that is in the extension of $H$ and at least one member that is not in the extension of $H$. In this way, the model captures all of the formal significance of the interpretation.

Semmilyen információval nem kell rendelkeznünk A Három Besúgóról, hogy megállapíthassuk, melyik állítás igaz és melyik hamis a modellben. $Hf$ igaz, mivel $f$ referense (Larry) $H$ kiterjedésben is megtalálható. A $\exists x Hx$ és $\exists x \enot Hx$ kifejezések is igazak, hiszen van legalább egy olyan eleme az Univerzumnak, amely megtalálható $H$ kiterjedésében, és van legalább egy olyan, amely nincs benne $H$ kiterjedésében. Így a modell minden formális szignifikanciáját tartalmazza az interpretációnak.

Now consider this interpretation:

Most vegyük ezt az interpretációt:

\begin{ekey}
\item{UD:} whole numbers less than 10
\item{Ex:} $x$ is even.
\item{Nx:} $x$ is negative.
\item{Lxy:} $x$ is less than $y$.
\item{Txyz:} $x$ times $y$ equals $z$.
\end{ekey}
What is the model that goes with this interpretation?
The UD is the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

\begin{ekey}
\item{UD:} a 10-nél kisebb egész számok.
\item{Ex:} $x$ páros.
\item{Nx:} $x$ negatív.
\item{Lxy:} $x$ kisebb, mint $y$.
\item{Txyz:} $x$-et szorozva $y$-al, $z$-t kapunk.
\end{ekey}
Mi az a modell, amelyet ez alapján készíthetünk?
Az Univerzum az $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ halmaz.

The extension of a one-place predicate like $E$ or $N$ is just the subset of the UD of which the predicate is true. Roughly speaking, the extension of the predicate $E$ is the set of $E$s in the UD.
The extension of $E$ is the subset $\{2,4,6,8\}$. There are many even numbers besides these four, but these are the only members of the UD that are even. There are no negative numbers in the UD, so $N$ has an empty extension; i.e. $\extension{N}=\emptyset$.

Az olyan kiterjedések, melyek egy-változós predikátumokhoz tartoznak, mint például az $E$ vagy az $N$, csak részhalmazai az Univerzumnak. Az ilyen kiterjedésekbe azok az elemek tartoznak, melyekre adott predikátum igaz. Durván mondva az $E$ predikátum kiterjedése az $E$-k halmaza az Univerzumban. Az $E$ kiterjedése $\{2,4,6,8\}$. Rengeteg páros van ezen a négy számon kívül, azonban csak ezek az adott Univerzum páros elemei. Nincsenek negatív számok ebben az Univerzumban, tehát $N$ üres kiterjedésű; $\extension{N}=\emptyset$.

The extension of a two-place predicate like $L$ is somewhat vexing. It seems as if the extension of $L$ ought to contain 1, since 1 is less than all the other numbers; it ought to contain 2, since 2 is less than all of the other numbers besides 1; and so on. Every member of the UD besides 9 is less than some member of the UD. What would happen if we just wrote $\extension{L}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$?

Egy két-változós predikátum, mint például $L$, némileg bosszantó. Azt gondolhatnánk, hogy $L$ kiterjedésének tartalmaznia kéne az 1-et, hiszen 1 az összes többi számnál kisebb; ugyanígy tartalmaznia kéne 2-t, mivel 2 kisebb minden másik számnál 1-et kivéve; és így tovább. Az Univerzum összes eleme kisebb egy másik elemnél, 9-et kivéve. Mi lenne, ha csak ennyit írnánk: $\extension{L}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$?

The problem is that sets can be written in any order, so this would be the same as writing $\extension{L}=\{8,7,6,5,4,3,2,1\}$. This does not tell us which of the members of the set are less than which other members.

A probléma, hogy a halmazok elemeinek sorrendje felcserélhető, így az előbbi kiterjedés megegyezne a következővel: $\extension{L}=\{8,7,6,5,4,3,2,1\}$. Ebből sajnos nem tudjuk megállapítani, hogy a halmaz melyik eleme kisebb melyik másik elemnél.

We need some way of showing that 1 is less than 8 but that 8 is not less than 1. The solution is to have the extension of $L$ consist of pairs of numbers. An \define{ordered pair} is like a set with two members, except that the order \emph{does} matter. We write ordered pairs with angle brackets `$\openntuple$' and `$\closentuple$'. The ordered pair \mbox{\ntuple{foo, bar}} is different than the ordered pair \mbox{\ntuple{bar, foo}}. The extension of $L$ is a collection of ordered pairs, all of the pairs of numbers in the UD such that the first number is less than the second. Writing this out completely:

Valahogy jelölnünk kell, hogy 1 kisebb, mint 8, de 8 nem kisebb, mint 1. A megoldás, hogy $L$ kiterjedése számpárokból áll. Egy \define{rendezett Ppár}  olyan, mint egy kételemű halmaz, kivéve, hogy a számok sorrendje itt igenis számít. Rendezett párokat „kacsacsőrök” („$\openntuple$” és „$\closentuple$”) közé írjuk.  A rendezett pár \mbox{\ntuple{foo, bar}} nem egyenlő a \mbox{\ntuple{bar, foo}} párossal. Az $L$ kiterjedése több ilyen rendezett számpárból áll, mely párok elemei az Univerzumban megtalálhatóak, és az első elem kisebb, mint a második. Írjuk fel a teljes kiterjedést:

%TKK fordítása vége

%MD fordítás kezdete
\begin{quote}
$\extension{L}=$ \{\ntuple{1,2}, \ntuple{1,3}, \ntuple{1,4}, \ntuple{1,5}, \ntuple{1,6}, \ntuple{1,7}, \ntuple{1,8}, \ntuple{1,9},
\ntuple{2,3}, \ntuple{2,4}, \ntuple{2,5}, \ntuple{2,6}, \ntuple{2,7}, \ntuple{2,8}, \ntuple{2,9},
\ntuple{3,4}, \ntuple{3,5}, \ntuple{3,6}, \ntuple{3,7}, \ntuple{3,8}, \ntuple{3,9},
\ntuple{4,5}, \ntuple{4,6}, \ntuple{4,7}, \ntuple{4,8}, \ntuple{4,9},
\ntuple{5,6}, \ntuple{5,7}, \ntuple{5,8}, \ntuple{5,9},
\ntuple{6,7}, \ntuple{6,8}, \ntuple{6,9},
\ntuple{7,8}, \ntuple{7,9},
\ntuple{8,9}%
\}
\end{quote}

Three-place predicates will work similarly; the extension of a three-place predicate is a set of ordered triples where the predicate is true of those three things \emph{in that order}. So the extension of $T$ in this model will contain ordered triples like \ntuple{2,4,8}, because $2\times 4 = 8$.

A három tagú predikátumok hasonlóan fognak működni; a három tagú predikátum kiterjedése olyan rendezett hármasok halmaza ahol a predikátum a rendezett hármas elemeire igaz. \emph{ebben a sorrendben}. Tehát a $T$ kiterjedése ebben a modellben olyan rendezett hármasokat fog tartalamzni mint a \ntuple{2,4,8},mert $2\times 4 = 8$.

Generally, the extension of an n-place predicate is a set of all ordered n-tuples ${\langle}a_1, a_2,\ldots, a_n{\rangle}$ such that $a_1$--$a_n$ are members of the UD and the predicate is true of $a_1$--$a_n$ in that order.

Általánosan, egy n-tagú predikátum kiterjedése  n-tagú rendezett halmazok halmaza ${\langle}a_1, a_2,\ldots, a_n{\rangle}$ úgy, hogy $a_1$--$a_n$ elemei az UD-nak és a predikátum igaz az  $a_1$--$a_n$ elemekre ebben a sorrendben.


%\fix{An an interpretation (along with facts about the world) pick out a particular model.But note that the reverse is not true. A model does not pick out a specific interpretation, since different predicates can have the same extension.}

%\fix {Egy értelmezés (a világgal kapcsolatos tényekkel együtt) válogat egy adott modellt. De vegye figyelembe, hogy az ellenkezője nem igaz. A modell nem választ ki konkrét értelmezést, mivel a különböző predikátumok ugyanazzal a kiterjesztéssel rendelkezhetnek.}


\section*{Semantics for identity}
\section{Szemantika az azonossághoz}
Identity is a special predicate of QL. We write it a bit differently than other two-place predicates: $x=y$ instead of $Ixy$. We also do not need to include it in a symbolization key. The sentence $x=y$ always means `$x$ is identical to $y$,'  and it cannot be interpreted to mean anything else. In the same way, when you construct a model, you do not get to pick and choose which ordered pairs go into the extension of the identity predicate. It always contains just the ordered pair of each object in the UD with itself.

Az azonosság a PL egy speciális predikátuma. Kicsit másképp írjuk, mint a többi két-tagú predikátumot: $ x = y $, az $ Ixy $ helyett. Nem kell beillesztenünk a szimbolizációs kulcsba. Az $ x = y $ mondat mindig azt jelenti, hogy „$ x $ azonos  $ y $ -nal”, és nem értelmezhető másként. Ugyanígy, amikor modellt állít fel, akkor nem kell kiválasztania, hogy melyik rendezett párok kerülnek az azonosság predikátum kiterjedésébe. Mindig csak az UD eleminek önmgaukkal vett rendezett párjait tartalmazza.

The sentence $\forall x Ixx$, which contains an ordinary two-place predicate, is contingent. Whether it is true for an interpretation depends on how you interpret $I$, and whether it is true in a model depends on the extension of $I$.

A $ \forall x Ixx$ kijelentés, amely egy közönséges két tagú predikátumot tartalmaz, kontingens. Hogy igaz-e egy értelmezésre az attól függ, hogy miként értelmezi az $I$-t, és hogy igaz-e egy modellben az pedig $I$ kiterjedésétől függ.

The sentence $\forall x\ x=x$ is a tautology. The extension of identity will always make it true.

A $\forall x\ x=x$ kijelentés egy tautológia. Az azonosság kiterjedése mindig igazzá fogja tenni.

Notice that although identity always has the same interpretation, it does not always have the same extension. The extension of identity depends on the UD. If the UD in a model is the set \{Doug\}, then $\extension{=}$ in that model is \{\ntuple{Doug, Doug}\}. If the UD is the set \{Doug, Omar\}, then $\extension{=}$ in that model is \{\ntuple{Doug, Doug}, \ntuple{Omar, Omar}\}. And so on.

Vegye figyelembe, hogy bár az azonosság mindig azonos módon van értelmezve, nem mindig azonos kiterjedésű. Az identitás kiterjedése az UD-től függ. Ha a modell UD-je a \{Doug\}, akkor a $\extension{=}$ ebben a modellben \{\ntuple {Doug, Doug}\}. Ha az UD a \{Doug, Omar\}, akkor a $ \extension{=}$ ebben a modellben\{\ntuple {Doug, Doug}, \ntuple {Omar, Omar} \}. Stb.

If the referent of two constants is the same, then anything which is true of one is true of the other. For example, if $\referent{a}=\referent{b}$, then $Aa\eiff Ab$, $Ba\eiff Bb$, $Ca\eiff Cb$, $Rca\eiff Rcb$, $\forall x Rxa\eiff \forall x Rxb$, and so on for any two sentences containing $a$ and $b$. However, the reverse is not true.

Ha a két konstans jelölése azonos, akkor bármi, ami az egyikre igaz, a másikra is igaz. Például ha $\referent{a}=\referent{b}$, akkor $Aa\eiff Ab$, $Ba\eiff Bb$, $Ca\eiff Cb$, $Rca\eiff Rcb$, $\forall x Rxa\eiff \forall x Rxb$, és így tovább bármely két kijelentésre amely tartalmazza $a$-t és $b$-t. Habár a megfordítása nem igaz.
%MD fordítás vége

%NV fordítása kezdet

%NV fordítása kezdet

\label{model.nonidentity}
It is possible that anything which is true of $a$ is also true of $b$, yet for $a$ and $b$ still to have different referents. This may seem puzzling, but it is easy to construct a model that shows this. Consider this model:

Lehetséges, hogy bármi, ami igaz az $a$-ra, igaz a $b$-re is és ennek ellenére $a$ és $b$ továbbra is eltérő jelöléssel rendelkezik. Ez rejtélyesnek tűnhet, de könnyen felépíthető egy modell, amely ezt mutatja. Vegyük figyelembe ezt a modellt:
\begin{partialmodel}
UD & \{Rosencrantz, Guildenstern\}\\
\referent{a} & Rosencrantz\\
\referent{b} & Guildenstern\\
for all predicates \script{P}, \extension{\script{P}} & $\emptyset$\\
minden predikátumra \script{P}, \extension{\script{P}} & $\emptyset$\\
\extension{=} & \{\ntuple{Rosencrantz, Rosencrantz},\\
\multicolumn{2}{r}{\ntuple{Guildenstern, Guildenstern}\}}
\end{partialmodel}
This specifies an extension for every predicate of QL: All the infinitely-many predicates are empty. This means that both $Aa$ and $Ab$ are false, and they are equivalent; both $Ba$ and $Bb$ are false; and so on for any two sentences that contain $a$ and $b$. Yet $a$ and $b$ refer to different things. We have written out the extension of identity to make this clear: The ordered pair $\langle\referent{a},\referent{b}\rangle$ is not in it. In this model, $a=b$ is false and $a\neq b$ is true.

Ez megadja a kiterjedést PL minden predikátumára: Az összes végtelen sok predikátum üres. Ez azt jelenti, hogy mind $Aa$, mind $Ab$ hamisak és egyenértékűek; mind $Ba$, mind $Bb$ hamis; és így tovább minden olyan két mondatra, amelyek tartalmazzák az $a$-t és a $b$-t. Az $a$ és $b$ azonban különféle dolgokra vonatkoznak. Az identitás kiterjedését azért fogalmaztuk meg, hogy ez világossá váljon: Az $\langle\referent{a},\referent{b}\rangle$ rendezett pár nincs benne. Ebben a modellben $a=b$ hamis és az $a\neq b$ igaz. 





\section*{Working with models}
\section{Modellekkel való munka}
\label{sec.UsingModels}


We will use the double turnstile symbol for QL much as we did for SL. `$\script{A}\models\script{B}$' means that `\script{A} entails \script{B}': When \script{A} and \script{B} are two sentences of QL, $\script{A}\models\script{B}$ means that there is no model in which \script{A} is true and \script{B} is false. $\models\script{A}$ means that \script{A} is true in every model.

A kettős forgóajtó szimbólumot fogjuk használni a PL-hez, ugyanúgy, mint a KL-hez. „$\script{A}\models\script{B}$” azt jelenti, hogy „\script{A} ha \script{B}”: Amikor \script{A} és \script{B} PL két kijelentése, $\script{A}\models\script{B}$  azt jelenti, hogy nincs olyan modell, amelyben \script{A} igaz, \script{B} pedig hamis. $\models\script{A}$ azt jelenti, hogy  \script{A} igaz minden modellben.

This allows us to give definitions for various concepts in QL. Because we are using the same symbol, these definitions will look similar to the definitions in SL. Remember, however, that the definitions in QL are in terms of \emph{models} rather than in terms of truth value assignments.

Ez lehetővé teszi számunkra, hogy meghatározásokat adjunk a PL különböző fogalmaira. Mivel ugyanazt a szimbólumot használjuk, ezek a meghatározások hasonlóak lesznek a KL meghatározásaihoz. Ne feledje azonban, hogy a PL definíciói inkább \emph{modellek} szempontjából, mintsem igazság érték szempontjából léteznek. 

\begin{quote}
A \define{tautology in QL} is a sentence \script{A} that is true in every model; i.e.,  $\models\script{A}$.

A \define{PL-ben található tautológia } egy \script{A} kijelentés, amely igaz minden modellben; vagyis:  $\models\script{A}$.

A \define{contradiction in QL} is a sentence \script{A} that is false in every model; i.e., $\models\enot\script{A}$.
A \define{PL egy ellentmondása} egy \script{A} kijelentés, amely hamis minden modellben; azaz, $\models\enot\script{A}$.

A sentence is \define{contingent in QL} if and only if it is neither a tautology nor a contradiction.

Egy kijelentés akkor és csak akkor \define{kontingens QL-ben}, ha nem tautológia és nem ellentmondás.

An argument `` $\script{P}_1, \script{P}_2, \cdots$, \therefore\ \script{C} '' is \define{valid in QL} if and only if there is no model in which all of the premises are true and the conclusion is false; i.e., $\{\script{P}_1,\script{P}_2,\cdots\}\models\script{C}$. It is \define{invalid in QL} otherwise.

Egy „$\script{P}_1, \script{P}_2, \cdots$, \therefore\ \script{C}” argumentum, akkor és csak akkor \define{érvényes PL-ben } ha nincs olyan modell, amelyben az összes premissza igaz, és a következtetés hamis; vagyis,  $\{\script{P}_1,\script{P}_2,\cdots\}\models\script{C}$. Máskülönben \define{érvénytelen a PL-ben.}

Two sentences \script{A} and \script{B} are \define{logically equivalent in QL} if and only if both $\script{A}\models\script{B}$ and $\script{B}\models\script{A}$.

Két kijelentés  \script{A} és \script{B} akkor és csak akkor \define{logikailag ekvivalens PL-ben}, ha mind  $\script{A}\models\script{B}$ és $\script{B}\models\script{A}$.

%NV fordítása vége

%SPH fordítása kezdet

The set $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ is \define{consistent in QL} if and only if there is at least one model in which all of the sentences are true. The set is \define{inconsistent in QL} if and if only there is no such model.

Az $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ halamaz akkor és csak akkor \define{konzisztens} a PL-ban ha létezik egy modell ahol minden mondat igaz. A halmaz akkor és csak akkor \define{inkonzisztens} a PL-ban ha nincs ilyen modell.

\end{quote}


\subsection*{Constructing models}
\subsection{Modell építés}

Suppose we want to show that $\forall xAxx \eif Bd$ is \emph{not} a tautology. This requires showing that the sentence is not true in every model; i.e., that it is false in some model. If we can provide just one model in which the sentence is false, then we will have shown that the sentence is not a tautology.

Tegyük fel, hogy be akarjuk bizonyítani hogy $\forall xAxx \eif Bd$ \emph{nem} tautológia. Ehhez be kell bizonyítani hogy a mondat \emph{nem} igaz az összes modellben; tehát hamis valamely modellben. Ha legalább egy modellt találunk ahol a mondat hamis, akkor már nem lehet tautológia.

What would such a model look like? In order for $\forall xAxx \eif Bd$ to be false, the antecedent ($\forall x Axx$) must be true, and the consequent ($Bd$) must be false.

Hogy néz ki egy ilyen modell? Ahhoz hogy $\forall xAxx \eif Bd$ hamis legyen, a hipotézisnek ($\forall x Axx$) igaznak kell lennie, a konklúziónak ($Bd$) pedig hamisnak.

To construct such a model, we start with a UD. It will be easier to specify extensions for predicates if we have a small UD, so start with a UD that has just one member. Formally, this single member might be anything. Let's say it is the city of Paris.

Hogy egy ilyen modellt építsünk, szükség lesz egy univerzumra. Könnyebb lesz a predikátum paramétereit meghatározni, ha kis méretű univerzummal dolgozunk, szóval kezdjünk egy egy-tagú univerzummal. Ez az egyedül álló tag alakilag bármi lehet, szóval most legyen Franciaország fővárosa, Párizs.

We want $\forall x Axx$ to be true, so we want all members of the UD to be paired with themself in the extension of $A$; this means that the extension of $A$ must be \{\ntuple{Paris,Paris}\}.

Azt akarjuk, hogy $\forall x Axx$ igaz legyen, tehát hogy az univerzum összes tagja saját magával legyen párosítva az $A$ kiterjedésében; eszerint a mi esetünkben az $A$ kiterjedése \{\ntuple{Párizs,Párizs}\} lesz.

We want $Bd$ to be false, so the referent of $d$ must not be in the extension of $B$. We give $B$ an empty extension.

A $Bd$ hamis kell hogy legyen, szóval a $d$ változó nem lehet a $B$ kiterjedésében. Ennek megfelelően $B$ üres kiterjedést kap.

Since Paris is the only member of the UD, it must be the referent of $d$. The model we have constructed looks like this:
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Paris\}\\
	\extension{A} 	& \{\ntuple{Paris,Paris}\}\\
	\extension{B}	& $\emptyset$\\
	\referent{d}	& Paris
\end{partialmodel}

Mivel Párizs az univerzum egyetlen eleme, ezért ez kell hogy legyen a $d$ változó értéke. Az ezáltal felépített modell pedig így néz ki:
\begin{partialmodel}
	Univerzum			& \{Párizs\}\\
	\extension{A} 	& \{\ntuple{Párizs,Párizs}\}\\
	\extension{B}	& $\emptyset$\\
	\referent{d}	& Párizs
\end{partialmodel}

Strictly speaking, a model specifies an extension for \emph{every} predicate of QL and a referent for \emph{every} constant. As such, it is generally impossible to write down a complete model. That would require writing down infinitely many extensions and infinitely many referents. However, we do not need to consider every predicate in order to show that there are models in which $\forall xAxx \eif Bd$ is false. Predicates like $H$ and constants like $f_{13}$ make no difference to the truth or falsity of this sentence. It is enough to specify extensions for $A$ and $B$ and a referent for $d$, as we have done. This provides a \emph{partial model} in which the sentence is false.

Az igazat megvallva, egy modell meghatároz egy-egy kiterjedést a univerzum \emph{minden} predikátumához, és egy-egy értéket \emph{minden} konstanshoz. Ennek megfelelően általában lehetetlen teljes modelleket ábrázolni. Ehhez végtelen sok paramétert és változót kéne leírni. Ahhoz viszont hogy bebízonyítsuk hogy létezik modell, ahol $\forall xAxx \eif Bd$ hamis, nem kell az összes létező paramétert vizsgálnunk. Az olyan paraméterek mint a $H$, vagy az olyan konstansok mint az $f_{13}$ nem befolyásolják a mondatunk igazság értékét. Elég az $A$ és a $B$ kiterjedését, és a $d$-hez egy értéket felírni, ahogy azt eredetileg is tettük. Ez egy \emph{részleges modellt} biztosít, amiben a mondat hamis.

Perhaps you are wondering: What does the predicate $A$ mean in English? The partial model could correspond to an interpretation like this one:
\begin{ekey}
\item[UD:] Paris
\item[$Axy$:] $x$ is in the same country as $y$.
\item[$Bx$:] $x$ was founded in the 20th century.
\item[$d$:] the City of Lights
\end{ekey}

Felmerülhet a kérdés: Mit jelent az $A$ predikátum magyarul? A részleges modellünk egy ehhez hasonló értemezést ábrázolhat:
\begin{ekey}
\item[U:] Párizs
\item[$Axy$:] $x$ ugyan abban az országban van mint $y$.
\item[$Bx$:] $x$-et a 20. században alapították.
\item[$d$:] a Fények Városa.
\end{ekey}

%SPH fordítása vége

%HAI fordítása kezdet

However, all that the partial model tells us is that $A$ is a predicate which is true of Paris and Paris. There are indefinitely many predicates in English that have this extension. $Axy$ might instead translate `$x$ is the same size as $y$' or `$x$ and $y$ are both cities.' Similarly, $Bx$ is some predicate that does not apply to Paris; it might instead translate `$x$ is on an island' or `$x$ is a subcompact car.' When we specify the extensions of $A$ and $B$, we do not specify what English predicates $A$ and $B$ should be used to translate. We are concerned with whether the $\forall xAxx \eif Bd$ comes out true or false, and all that matters for truth and falsity in QL is the information in the model: the UD, the extensions of predicates, and the referents of constants.

A részleges modell azonban csak azt mondja nekünk, hogy $A$ az egy predikátum, ami igaz Párizsra és Párizsra. Határtalanul sok olyan predikátum van magyarul, amelyek rendelkeznek ezzel a kiterjedéssel. Az $Axy$ ehelyett fordíthatja, hogy az „$x$ azonos méretű, mint az $y$”, vagy „$x$ és $y$ egyaránt város.” Hasonlóképpen, a $Bx$ olyan predikátum, amely nem vonatkozik Párizsra; ehelyett fordíthatja: „$x$ egy szigeten van” vagy „$x$ egy subcompact auto.” Amikor megadjuk az $A$ és $B$ kiterjedéseit, akkor nem határozzuk meg, hogy magyar nyelvre $A$-t és $B$-t hogyan kell fordítani. Csak az érdekel minket, hogy $\forall xAxx \eif Bd$ igaz vagy hamis lesz a végén, és a PL-ben az igazság és a hamisság szempontjából csak a modellben szereplő információ fontos: az UD, a predikátumok kiterjedései és a konstansok referensei.


We can just as easily show that $\forall xAxx \eif Bd$ is not a contradiction. We need only specify a model in which $\forall xAxx \eif Bd$ is true; i.e., a model in which either $\forall x Axx$ is false or $Bd$ is true. Here is one such partial model:

Ugyanolyan könnyen meg tudjuk mutatni, hogy a $\forall xAxx \eif Bd$ nem ellentmondás. Csak azt a modellt kell megadnunk, amelyben a $\forall xAxx \eif Bd$ igaz; vagyis egy olyan modellt, amelyben a $\forall x Axx$ hamis, vagy $Bd$  igaz. Itt van egy ilyen részleges modell:
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Paris\}\\
	\extension{A} 	& \{\ntuple{Paris,Paris}\}\\
	\extension{B}	& \{Paris\}\\
	\referent{d}	& Paris
\end{partialmodel}

\begin{partialmodel}
	UD			& \{Párizs\}\\
	\extension{A} 	& \{\ntuple{Párizs,Párizs}\}\\
	\extension{B}	& \{Párizs\}\\
	\referent{d}	& Párizs
\end{partialmodel}

We have now shown that $\forall xAxx \eif Bd$ is neither a tautology nor a contradiction. By the definition of `contingent in QL,' this means that 
$\forall xAxx \eif Bd$ is contingent. In general, showing that a sentence is contingent will require two models: one in which the sentence is true and another in which the sentence is false.

Megmutattuk, hogy a $\forall xAxx \eif Bd$ sem nem tautológia, sem nem ellentmondás. A „kontingens PL-ben” meghatározása azt jelenti $\forall xAxx \eif Bd$ függő. Általában annak megállapításához, hogy egy mondat függő, két modellre van szükség: az egyikben a mondat igaz, a másikban pedig hamis.

Suppose we want to show that $\forall x Sx$ and $\exists x Sx$ are not logically equivalent. We need to construct a model in which the two sentences have different truth values; we want one of them to be true and the other to be false. We start by specifying a UD. Again, we make the UD small so that we can specify extensions easily. We will need at least two members. Let the UD be \{Duke, Miles\}. (If we chose a UD with only one member, the two sentences would end up with the same truth value. In order to see why, try constructing some partial models with one-member UDs.)

Tegyük fel, hogy meg akarjuk mutatni, hogy a $\forall x Sx$ és $\exists x Sx$ logikailag nem ekvivalensek. Olyan modellt kell létrehoznunk, amelyben a két mondat eltérő igazságértékekkel rendelkezik; azt akarjuk, hogy egyikük igaz legyen, a másik hamis. Kezdjük az UD megadásával. Újra kicsinyítjük az UD-t, hogy könnyedén meghatározhassuk a kiterjedéseket. Legalább két tagra lesz szükségünk. Legyen az UD \{Duke, Miles\}. (Ha csak egy taggal rendelkező UD-t választunk, akkor a két mondat ugyanazzal az igazságértékkel jár. Annak érdekében, hogy megtudja, miért, próbáljon meg felépíteni néhány részleges modellt egytagú UD-kkel.)

We can make $\exists x Sx$ true by including something in the extension of $S$, and we can make $\forall x Sx$ false by leaving something out of the extension of $S$. It does not matter which one we include and which one we leave out. Making Duke the only $S$, we get a partial model that looks like this:

Biztosíthatjuk, hogy a $\exists x Sx$ igaz legyen, ha valamit belefoglalunk az $S$ kiterjedésébe, és $\forall x Sx$ -et hamissé tesszük, ha valamit kihagyunk az $S$ kiterjedéséből. Nem számít, melyiket foglaljuk bele, és melyiket hagyjuk ki. Ha Duke az egyetlen $S$, akkor egy részleges modellt kapunk, amely így néz ki:
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Duke, Miles\}\\
	\extension{S}	& \{Duke\}
\end{partialmodel}
This partial model shows that the two sentences are \emph{not} logically equivalent.

Ez a részleges modell azt mutatja, hogy a két mondat logikailag \emph{nem} ekvivalens.

Back on p.~\pageref{surgeon3correct}, we said that this argument would be invalid in QL:

Visszatérve a \pageref{surgeon3correct}. oldalra, azt mondtuk, hogy ez az érv érvénytelen lenne a PL-ben:
\begin{earg}
\item[] $(Rc \eand K_1c) \eand Tc$
\item[\therefore] $Tc \eand K_2c$
\end{earg}

%HAI fordítása vége

%GR fordítása kezdet

In order to show that it is invalid, we need to show that there is some model in which the premises are true and the conclusion is false. We can construct such a model deliberately. Here is one way to do it:
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{T}	& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{K_1}	& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{K_2}	& $\emptyset$\\
	\extension{R}	& \{Bj\"ork\}\\
	\referent{c}	& Bj\"ork
\end{partialmodel}

Annak érdekében, hogy bizonyítsuk, az érvelés helytelen, találnunk kell olyan modellt, amelynél a felvetések igazak, a következtetés pedig hamis. Építhetünk egy ilyen modellt szándékosan. Itt van egy módja ennek:
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{T}	& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{K_1}	& \{Bj\"ork\}\\
	\extension{K_2}	& $\emptyset$\\
	\extension{R}	& \{Bj\"ork\}\\
	\referent{c}	& Bj\"ork
\end{partialmodel}

Similarly, we can show that a set of sentences is consistent by constructing a model in which all of the sentences are true.

Hasonlóan, azt is megmutathatjuk, hogy adott állítások halmaza konzisztens, azáltal, hogy olyan modellt készítünk amelyben minden állítás igaz.

\subsection*{Reasoning about all models}
\subsection{Gondolkodás a modellekről}
We can show that a sentence is \emph{not} a tautology just by providing one carefully specified model: a model in which the sentence is false. To show that something is a tautology, on the other hand, it would not be enough to construct ten, one hundred, or even a thousand models in which the sentence is true. It is only a tautology if it is true in \emph{every} model, and there are infinitely many models. This cannot be avoided just by constructing partial models, because there are infinitely many partial models.

Megmutathatjuk, hogy egy állítás \emph{nem} tautológia, mindössze egyetlen körültekintően meghatározott modellel: egy olyan modellel, amelyben az állítás hamis. Ugyanakkor, hogy bizonyítsuk, hogy valami tautológia, nem lenne elegendő készítenünk tíz, száz vagy akár ezer olyan modellt, amelyben az állítás igaz. Csak akkor tautológia, hogyha igaz \emph{minden} modellre, és végtelenszámú modell van. Ezt nem lehet elkerülni részleges modellek készítésével, mert végtelenül sok részleges modell van.

Consider, for example, the sentence $Raa\eiff Raa$. There are two logically distinct partial models of this sentence that have a 1-member UD. There are 32 distinct partial models that have a 2-member UD. There are 1526 distinct partial models that have a 3-member UD. There are 262,144 distinct partial models that have a 4-member UD. And so on to infinity. In order to show that this sentence is a tautology, we need to show something about all of these models. There is no hope of doing so by dealing with them one at a time.

Vegyük például, az $Raa\eiff Raa$ állítást. Két olyan logikailag eltérő részleges modell létezik erre az állításra amelynek 1 tagú UD-je van. 32 olyan különböző részleges modell amelynek 2 tagú UD-je van. 1526 olyan különböző részleges modell amelynek 3 tagú UD-je van. 262 144 olyan különböző részleges modell amelynek 4 tagú UD-je van. És így tovább, a végtelenségig. Annak érdekében, hogy megmutassuk, hogy ez az állítás tautológia, az összes ilyen modellen bizonyítanunk kell. Reménytelen, hogy mindezt megtegyük, minden modellre, egyesével.

Nevertheless, $Raa\eiff Raa$ is obviously a tautology. We can prove it with a simple argument:
\begin{quote}
\label{allmodels1}
There are two kinds of models: those in which ${\langle}\referent{a},\referent{a}{\rangle}$ is in the extension of $R$ and those in which it is not. In the first kind of model, $Raa$ is true; by the truth table for the biconditional, $Raa\eiff Raa$ is also true. In the second kind of model, $Raa$ is false; this makes $Raa\eiff Raa$ true. Since the sentence is true in both kinds of model, and since every model is one of the two kinds, $Raa\eiff Raa$ is true in every model. Therefore, it is a tautology.
\end{quote}
This argument is valid, of course, and its conclusion is true. However, it is not an argument in QL. Rather, it is an argument in English \emph{about} QL; it is an argument in the metalanguage. There is no formal procedure for evaluating or constructing natural language arguments like this one. The imprecision of natural language is the very reason we began thinking about formal languages.

Ettől függetlenül, a $Raa\eiff Raa$ nyilvánvalóan tautológia. Ezt egy egyszerű állítással igazolhatjuk:
\begin{quote}
\label{allmodels1}
Két fajta modell létezik: azok amelyekben ${\langle}\referent{a},\referent{a}{\rangle}$ benne van $R$ kiterjedésében és azok amelyekben nem. Az első típusú modellben $Raa$ igaz; az ekvivalencia táblázat alapján pedig $Raa\eiff Raa$ szintén igaz. A második fajta modellben $Raa$ hamis, ebből következően $Raa\eiff Raa$ igaz. Mivel az állítás mindkét modell szerint igaz, és mivel minden modell besorolható a fentebb említett két kategóriába, $Raa\eiff Raa$ minden modell esetén igaz. Ebből adódóan pedig tautológia.
\end{quote}
Ez az érvelés természetesen hiteles, a következtetése pedig igaz. Azonban ez nem egy érv PL-ben. Sokkal inkább, ez egy magyar nyelvű érvelés a PL-\emph{ről}, egy metanyelvbeli állítás. Nincs hivatalos eljárásmód az olyan természetes nyelveken írt érvek kiértékelésére vagy felépítésére, mint ez. A természetes nyelvek pontatlansága az oka annak, hogy elkezdtünk gondolkodni egy formális nyelv használatáról.
%GR fordítása vége

%RA fordítása kezdet

There are further difficulties with this approach.

További nehézségek is vannak ezzel a megközelítéssel. 

Consider the sentence $\forall x(Rxx\eif Rxx)$, another obvious tautology. It might be tempting to reason in this way: `$Rxx\eif Rxx$ is true in every model, so $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ must be true.' The problem is that $Rxx\eif Rxx$ is \emph{not} true in every model. It is not a sentence, and so it is \emph{neither} true \emph{nor} false. We do not yet have the vocabulary to say what we want to say about $Rxx\eif Rxx$. In the next section, we introduce the concept of \emph{satisfaction}; after doing so, we will be better able to provide an argument that $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ is a tautology.

Fontoljuk meg a következő állítást $\forall x(Rxx\eif Rxx)$, egy nyilvánvaló tautológia. Csábító lehet így érvelni: „$Rxx\eif Rxx$ igaz minden modellben, így $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ állításnaknak igaznak kell lennie.” A probléma az, hogy  $Rxx\eif Rxx$ \emph{nem} igaz minden modellben. Ez nem egy állítás, így ez \emph{sem nem} igaz \emph{sem nem} hamis. Még nincs meg a szókincsünk, hogy elmondhassuk amit akarunk $Rxx\eif Rxx$-ről. A következő részben bemutatjuk a \emph{kielégítés} fogalmát; ezután jobban alá tudjuk majd támasztani, hogy $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ egy tautológia.

It is necessary to reason about an infinity of models to show that a sentence is a tautology. Similarly, it is necessary to reason about an infinity of models to show that a sentence is a contradition, that two sentences are equivalent, that a set of sentences is inconsistent, or that an argument is valid. There are other things we can show by carefully constructing a model or two. Table \ref{table.ModelOrArgument} summarizes which things are which.

Végtelen sok modellt kel vizsgálni ahhoz, hogy bizonyítani tudjuk, hogy az állítás egy tautológia. Hasonlóképpen, végtelen sok modellt kel vizsgálni ahhoz,, hogy be tudjuk mutatni azt, hogy az állítás egy ellentmondás, hogy két állítás ekvivalens, hogy állítások egy halmaza inkonzisztens, vagy, hogy egy érvelés helyes. Más dolgokat viszont képesek vagyunk megmutatni modellek gondos felépítésével. Az \ref{table.ModelOrArgument} tábla összefoglalja, mely dolog melyik. 


\begin{table}[h!]
\caption{It is relatively easy to answer a question if you can do it by constructing a model or two. It is much harder if you need to reason about all possible models. This table shows when constructing models is enough.}
\label{table.ModelOrArgument}
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}[t]{p{10em}p{10em}p{10em}}
& {\centerline{YES}} & {\centerline{NO}}\\
\cline{3-3}

Is \script{A} a tautology? & {show that \script{A} must be true in any model} & \tablefbox{\emph{construct a model} in which \script{A} is false}\\
\cline{3-3}

Is \script{A} a contradiction? &  {show that \script{A} must be false in any model} & \tablefbox{\emph{construct a model} in which \script{A} is true}\\
\cline{2-3}

Is \script{A} contingent? & \tablefbox{\emph{construct two models}, one in which \script{A} is true and another in which \script{A} is false}\vline & {either show that \script{A} is a tautology or show that \script{A} is a contradiction}\\
\cline{2-3}

Are \script{A} and \script{B} equivalent? & {show that \script{A} and \script{B} must have the same truth value in any model} & \tablefbox{\emph{construct a model} in which \script{A} and \script{B} have different truth values}\\
\cline{2-3}

Is the set \model{A} consistent? & \tablefbox{\emph{construct a model} in which all the sentences in \model{A} are true} & {show that the sentences could not all be true in any model}\\
\cline{2-3}

Is the argument \mbox{`\script{P}, \therefore\ \script{C}'} valid? & {show that any model in which \script{P} is true must be a model in which \script{C} is true} & \tablefbox{\emph{construct a model} in which \script{P} is true and \script{C} is false}\\
\cline{3-3}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[h!]
\caption{Viszonylag egyszerű megválaszolni a kérdést, ha modellek létrehozása elég hozzá. Sokkal nehezebb, ha minden lehetséges modellre érvelést kell hozni. Ez a tábla bemutatja azokat a lehetőségeket mikor egy modell létrehozása elég.}
\label{table.ModelOrArgument}
\begin{center}
\begin{tabular*}{\textwidth}[t]{p{10em}p{10em}p{10em}}
& {\centerline{IGEN}} & {\centerline{NEM}}\\
\cline{3-3}

\script{A} egy tautológia? & {megmutatja, hogy \script{A}-nak igaznak kell lennie akármely modellben} & \tablefbox{\emph{létrehoz egy modellt} ahol \script{A} hamis}\\
\cline{3-3}

\script{A} egy ellentmondás? &  {megmutatja \script{A}-nak hamisnak kell lennie akármely modellben} & \tablefbox{\emph{létrehoz egy modellt} ahol \script{A} igaz}\\
\cline{2-3}

\script{A} kontingens? & \tablefbox{\emph{két modell létrehozása}, egy, amelyben \script{A} igaz és egy másik amelyben \script{A} hamis}\vline & {vagy azt mutatja, hogy \script{A} egy tautológia vagy, hogy \script{A} egy ellentmondás}\\
\cline{2-3}

\script{A} és \script{B} ekvivalens? & {megmutatja, hogy \script{A}-nak és \script{B}-nek ugyanolyan igazságértékűnek kell lennie minden modellben } & \tablefbox{\emph{egy modell létrehozása} amelyben \script{A} és \script{B} különböző igazságértékkel rendelkezik}\\
\cline{2-3}

 \model{A} halmaza konzisztens?? & \tablefbox{\emph{létrehoz egy modellt} amelyben minden állítás \model{A} igaz} & {megmutatja hogy az állítások mindegyike nem lehet igaz minden modellben}\\
\cline{2-3}

A \mbox{`\script{P}, \therefore\ \script{C}'} érvelés igaz? & {megmutatja, hogy akármely modellben ahol \script{P} igaz, egy olyan modellnek kell lennie ahol \script{C} is igaz} & \tablefbox{\emph{létrehoz egy modellt} amelyben \script{P} igaz és \script{C} hamis}\\
\cline{3-3}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{table}

%RA fordítása vége

%KM fordítása kezdet


\section*{Truth in QL}
\section{Igazság a PL-ben}
\label{sec.TruthInQL}

For SL, we split the definition of truth into two parts: a truth value assignment ($a$) for sentence letters and a truth function ($v$) for all sentences. The truth function covered the way that complex sentences could be built out of sentence letters and connectives.

Az KL esetében az igazság meghatározását két részre osztottuk: az igazságérték-hozzárendelést ($a$) a mondat betűire és az igazságfüggvényt ($v$) az összes mondatra. Az igazságfüggvény lefedte azt a módot, amellyel az összetett mondatokat betűkből és logikai műveletekből lehet felépíteni.

In the same way that truth for SL is always \emph{truth given a truth value assignment}, truth for QL is \emph{truth in a model}. The simplest atomic sentence of QL consists of a one-place predicate followed by a constant, like $Pj$. It is true in a model \model{M} if and only if the referent of $j$ is in the extension of $P$ in \model{M}.

Ugyanúgy, a KL \emph{az igazság igazságértéket adott meg} igazsága a PL \emph{az igazság egy modellben}  esetében is mindig igazság. A PL legegyszerűbb atom-mondata egy helyről származó állításból áll, amelyet egy állandó, például $Pj$ követ. Egy modellben \model{M} ez akkor és csak is akkor igaz, ha a $j$ referens a \model{M}-ben lévő $P$ kiterjedésében található.

We could go on in this way to define truth for all atomic sentences that contain only predicates and constants: Consider any sentence of the form $\script{R}\script{c}_1\ldots\script{c}_n$ where \script{R} is an n-place predicate and the \script{c}s are constants. It is true in \model{M} if and only if ${\langle}\referent{\script{c}_1},\ldots,\referent{\script{c}_n}{\rangle}$ is in \extension{\script{R}} in \model{M}.

Folytathatnánk így az igazság meghatározását minden olyan atom-mondat esetében, amelyek csak állításokat és állandókat tartalmaznak: Vegye figyelembe az űrlap bármelyik mondatát $\script{R}\script{c}_1\ldots\script{c}_n$, ahol \script{R} egy n-helyű állítás és a \script{c}-k állandók. A \model{M} esetében akkor és csak is akkor igaz, ha ${\langle}\referent{\script{c}_1},\ldots,\referent{\script{c}_n}{\rangle}$ a \model{M} \extension{\script{R}}-ben van.

We could then define truth for sentences built up with sentential connectives in the same way we did for SL. For example, the sentence $(Pj \eif Mda)$ is true in \model{M} if either $Pj$ is false in \model{M} or $Mda$ is true in \model{M}.

Ezután meghatározhatjuk az igazságot, melyek a mondathoz tartozó logikai műveletekkel épültek fel, ugyanúgy, mint a KL esetében. Például, a mondat $(Pj \eif Mda)$ igaz \model{M}-ben, ha $Pj$ hamis \model{M}-ben vagy $Mda$ igaz \model{M}-ben.

Unfortunately, this approach will fail when we consider sentences containing quantifiers. Consider $\forall x Px$. When is it true in a model \model{M}? The answer cannot depend on whether $Px$ is true or false in \model{M}, because the $x$ in $Px$ is a free variable. $Px$ is not a sentence. It is neither true nor false.

Sajnálatos módon, ez a megközelítés kudarcot vall, ha figyelembe vesszük a kvantorokat tartalmazó mondatokat. Figyelembe veszi a $\forall x Px$. Mikor igaz ez egy modellben \model{M}. A válasz nem függ attól, hogy $Px$ igaz vagy hamis a \model{M}-ben, mert az $x$ az $Px$-ben egy szabad változó, $Px$ pedig nem egy mondat. Ez se nem igaz, se nem hamis.

We were able to give a recursive definition of truth for SL because every well-formed formula of SL has a truth value. This is not true in QL, so we cannot define truth by starting with the truth of atomic sentences and building up. We also need to consider the atomic formulae which are not sentences. In order to do this we will define \emph{satisfaction}; every well-formed formula of QL will be satisfied or not satisfied, even if it does not have a truth value. We will then be able to define \emph{truth} for sentences of QL in terms of satisfaction.

Azért tudtuk megadni az igazság rekurzív meghatározását a KL számára, mert a KL minden jól formált kifejezésének van igazságértéke. Ez a PL esetében nem igaz, ezért nem tudtuk meghatározni az igazságot, kezdve és felépítve az atom-mondatok igazságával. Figyelembe kell vennünk azokat az atomképleteket is, amelyek nem mondatok. Ennek érdekében definiáljuk a \emph{kielégítettséget}; a PL minden jól formált kifejezése kielégített lesz vagy nem lesz kielégített, akkor is, ha nincs igazságértéke. Ezután meg tudjuk határozni az \emph{igazságot} a PL mondataira az kielégítettség szempontjából.




\subsection{Satisfaction}
\subsection{Kielégítettség}

The formula $Px$ says, roughly, that $x$ is one of the $P$s. This cannot be quite right, however, because $x$ is a variable and not a constant. It does not name any particular member of the UD. Instead, its meaning in a sentence is determined by the quantifier that binds it. The variable $x$ must stand-in for every member of the UD in the sentence $\forall xPx$, but it only needs to stand-in for one member in $\exists xPx$. Since we want the definition of satisfaction to cover $Px$ without any quantifier whatsoever, we will start by saying how to interpret a free variable like the $x$ in $Px$.

A $Px$ képlet azt mutatja tömören, hogy $x$ az egyike az $P$-nek. Ez azonban nem teljesen igaz, mert a $x$ változó, és nem állandó. Az UD egyetlen tagját sem nevezi meg. Ehelyett a mondatban szereplő jelentését a kvantor határozza meg, amely azt megköti. A $x$ változónak be kell állnia az UD minden tagjára a $\forall xPx$ mondatban, de elegendő egy tagjának megegyeznie $\exists xPx$-ben. Mivel azt akarjuk, hogy a kielégítettség meghatározása a $Px$-ra kiterjedjen, bármiféle kvantor nélkül, akkor azzal kezdjük, hogy hogyan kell értelmezni egy olyan szabad változót, mint a $x$ $Px$-ben.

%KM fordítása vége

%KKZ fordítása kezdet

We do this by introducing a \emph{variable assignment}. Formally, this is a function that matches up each variable with a member of the UD. Call this function `a.' (The `a' is for `assignment', but this is not the same as the truth value assignment that we used in defining truth for SL.)


Ezt egy változó hozzárendelés \emph bevezetésével hajtjuk végre. Formálisan ez egy olyan funkció, amely megfelel
minden változó az UD tagjával. Hívja ezt a funkciót "a" -nak (az "a" hozzárendelés", de
ez nem ugyanaz, mint az igazságérték-hozzárendelés, amelyet az SL igazságának meghatározásához használtunk.)


The formula $Px$ is satisfied in a model \model{M} by a variable assignment $a$ if and only if $a(x)$, the object that $a$ assigns to $x$, is in the the extension of P in \model{M}.

Az \model{M} modellben a $Px$ képletet egy változó hozzárendelés teljesíti, ha és csak akkor, ha $a(x)$ -- az objektum, amelyet $a$ egy $x$-hez rendel -- a P kiterjesztésében van \model{M} -ben.



When is $\forall x Px$ satisfied? It is not enough if $Px$ is satisfied in \model{M} by $a$, because that just means that $a(x)$ is in \extension{P}. $\forall x Px$ requires that every other member of the UD be in \extension{P} as well.

Mikor kielégített $\forall x Px$ ? Nem elég, ha $Px$ kielégített az \model{M}-ben $a$ által, mert ez csak azt jelenti
hogy a $a(x)$ \extension{P}-ben van. $\forall x Px$  megköveteli, hogy az UD minden tagja \extension{P}-ben is legyen.



So we need another bit of technical notation: For any member $\Omega$ of the UD and any variable \script{x}, let $a[\Omega|\script{x}]$ be the variable assignment that assigns $\Omega$ to \script{x} but agrees with $a$ in all other respects. We have used $\Omega$, the Greek letter Omega, to underscore the fact that it is some member of the UD and not some symbol of QL. Suppose, for example, that the UD is presidents of the United States. The function $a[\mbox{Grover Cleveland}|x]$ assigns Grover Cleveland to the variable $x$, regardless of what $a$ assigns to $x$; for any other variable, $a[\mbox{Grover Cleveland}|x]$ agrees with $a$.

Szükség van tehát egy újabb műszaki jelölésre: Az UD bármely tagjának és bármely változónak
\script{x}, hagyjuk, hogy a $a[\Omega|\script{x}]$ legyen a változó-hozzárendelés, amely $\Omega$-t \script{x}-hez rendelt, de minden más szempontból megegyezik az $a$-val.
Akkor használunk $\Omega$ -t, a görög Omega betűt arra használtuk, hogy aláhúzzuk azt a tényt, hogy ő az
UD, nem pedig a QL szimbóluma. Tegyük fel például, hogy az UD az Egyesült Államok elnökei
Államok. Az a$a[\mbox{Grover Cleveland}|x]$ funkció a Grover Cleveland-t az $x$ változóhoz rendeli, függetlenül attól $a$
amit $x$ hozzárendel; bármely más változó esetében az $a[\mbox{Grover Cleveland}|x]$ egyetért $a$.


We can now say concisely that $\forall x Px$ is satisfied in a model \model{M} by a variable assignment $a$ if and only if, for every object $\Omega$ in the UD of \model{M}, $Px$ is satisfied in \model{M} by $a[\Omega|x]$.

Most röviden elmondhatjuk, hogy az $\forall x Px$ az \model{M} modellben egy változó hozzárendeléssel van kielégítve, ha és csak akkor, ha az \model{M} UD minden $\Omega$ objektumára $Px$ teljesül \model{M}-ben egy $a[\Omega|x]$ értékkel.

You may worry that this is circular, because it gives the satisfaction conditions for the sentence $\forall x Px$ using the phrase `for every object.' However, it is important to remember the difference between a logical symbol like `$\forall$' and an English language word like `every.' The word is part of the metalanguage that we use in defining satisfaction conditions for object language sentences that contain the symbol.

Félhet, hogy ez kör alakú, mert megadja a mondat elégedettségének feltételeit
$\forall x Px$ az „minden objektumra” kifejezést használva. Fontos azonban, hogy emlékezzen a különbségre
egy olyan logikai szimbólum, mint például a „$\forall$” és az angol nyelvű szó, mint például „minden”. A szó része
a metanyelv, amelyet az objektumnyelvű mondatok elégedettségének meghatározására használunk, hogy
tartalmazzák a szimbólumot.

We can now give a general definition of satisfaction, extending from the cases we have already discussed. We define a function $s$ (for `satisfaction') in a model \model{M} such that for any wff \script{A} and variable assignment $a$, $s(\script{A}, a)=1$ if \script{A} is satisfied in \model{M} by $a$; otherwise $s(\script{A}, a)=0$.

Most már megadhatjuk az elégedettség általános meghatározását, kiterjesztve a már meglévő eseteket
tárgyalt. Az M modellben definiáljuk az $s$ függvényt („elégedettség”) úgy, hogy minden \script{A} és Wff wf-hez
$a$,  $s(\script{A} , a) = 1$ változó hozzárendelése, ha \script{A}-val \model{M} teljesül $a$; egyébként $s(\script{A}, a)=0$





\begin{enumerate}
\item If \script{A} is an atomic wff of the form $\script{P}\script{t}_1\ldots\script{t}_n$ and $\Omega_i$ is the object picked out by $t_i$, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if ${\langle}\Omega_1\ldots\Omega_n{\rangle}$ is in \extension{\script{P}} in \model{M}},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

For each term $t_i$: If $t_i$ is a constant, then $\Omega_i = \referent{t_i}$. If $t_i$ is a variable, then $\Omega_i = a(t_i)$.

\item Ha \script{A} jelentése egy atomi wff $\script{P}\script{t}_1\ldots\script{t}_n$ és $\Omega_i$ kiválasztott $t_i$ által, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha ${\langle}\Omega_1\ldots\Omega_n{\rangle}$ \extension{\script{P}} - ben \model{M}}-ben,\\
	0 & \mbox{másképp.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Minden kifejezésre $t_i$: Ha $t_i$ egy állandó, akkor $\Omega_i = \referent{t_i}$. Ha $t_i$ egy változó, akkor $\Omega_i = a(t_i)$.


\item If \script{A} is ${\enot}\script{B}$ for some wff \script{B}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $s(\script{B}, a) = 0$},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}


\item Ha \script{A}  ${\enot}\script{B}$ bizonyos wff esetén \script{B}, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $s(\script{B}, a) = 0$},\\
	0 & \mbox{másképp.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

%KKZ fordítása vége

%PG fordítása kezdet

\item If \script{A} is $(\script{B}\eand\script{C})$ for some wffs \script{B,C}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $s(\script{B}, a) = 1$ and $s(\script{C}, a) = 1$,}\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $(\script{B}\eand\script{C})$ valamilyen \script{B,C} jfk-ra, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $s(\script{B}, a) = 1$ és $s(\script{C}, a) = 1$,}\\
	0 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item If \script{A} is $(\script{B}\eor\script{C})$ for some wffs \script{B,C}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{if $s(\script{B}, a) = 0$  and $s(\script{C}, a) = 0$,}\\
	1 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $(\script{B}\eor\script{C})$ valamilyen \script{B,C} jfk-ra, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{ha $s(\script{B}, a) = 0$  és $s(\script{C}, a) = 0$,}\\
	1 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item If \script{A} is $(\script{B}\eif\script{C})$ for some wffs \script{B,C}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{if $s(\script{B}, a) = 1$ and $s(\script{C}, a) = 0$,}\\
	1 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $(\script{B}\eif\script{C})$ valamilyen \script{B,C} jfk-ra, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	0 & \mbox{ha $s(\script{B}, a) = 1$ és $s(\script{C}, a) = 0$,}\\
	1 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item If \script{A} is $(\script{B}\eiff\script{C})$ for some sentences \script{B,C}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $s(\script{B}, a) = s(\script{C}, a)$},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $(\script{B}\eiff\script{C})$ valamely \script{B,C} mondatokra , akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $s(\script{B}, a) = s(\script{C}, a)$},\\
	0 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item If \script{A} is $\forall\script{x} \script{B}$ for some wff \script{B} and some variable \script{x}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $s(\script{B}, a[\Omega|\script{x}])=1$ for every member $\Omega$ of the UD},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $\forall\script{x} \script{B}$ valamilyen \script{B} jfk-ra és valamilyen \script{x} változóra, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $s(\script{B}, a[\Omega|\script{x}])=1$ minden tagjára $\Omega$ az UD-n belül},\\
	0 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item If \script{A} is $\exists\script{x} \script{B}$ for some wff \script{B} and some variable \script{x}, then
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{if $s(\script{B}, a[\Omega|\script{x}])=1$ for at least one member $\Omega$ of the UD},\\
	0 & \mbox{otherwise.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}

Ha \script{A} az $\exists\script{x} \script{B}$ valamilyen \script{B} jfk-ra és valamilyen \script{x} változóra, akkor
\begin{displaymath}s(\script{A}, a) =
	\left\{\begin{array}{ll}
	1 & \mbox{ha $s(\script{B}, a[\Omega|\script{x}])=1$ legalább 1 tagjára $\Omega$ az UD-n belül},\\
	0 & \mbox{más esetben.}
	\end{array}\right.
\end{displaymath}
\end{enumerate}
 
This definition follows the same structure as the definition of a wff for QL, so we know that every wff of QL will be covered by this definition. For a model \model{M} and a variable assignment $a$, any wff will either be satisfied or not. No wffs are left out or assigned conflicting values.

Ez a definíció ugyanazt a struktúrát követi, mint  a jól formált kifejezések definíciója PL-re, tehát tudjuk, hogy minden jól formált kifejezés a PL-en belül ezzel a definícióval lesz ellátva. Egy modelnek \model{M}-nek és egy változó hozzárendelésnek $a$-nak, bármely jól formált kifejezés vagy ki lesz elégítve vagy nem. Egy jól formált kifejezés sincs kihagyva vagy ellentmondó értékkel ellátva.


\subsection*{Truth}
\subsection{Igazság}


Consider a simple sentence like $\forall xPx$. By part 7 in the definition of satisfaction, this sentence is satisfied if $a[\Omega|x]$ satisfies $Px$ in \model{M} for every $\Omega$ in the UD. By part 1 of the definition, this will be the case if every $\Omega$ is in the extension of $P$. Whether $\forall xPx$ is satisfied does not depend on the particular variable assignment $a$. If this sentence is satisfied, then it is true. This is a formalization of what we have said all along: $\forall xPx$ is true if everything in the UD is in the extension of $P$.

Tekintsük meg ezt az egyszerű mondatot: $\forall xPx$. A 7-es részben lévő kielégülés definíciója szerint, ez a mondat akkor van kielégítve, ha $a[\Omega|x]$ kielégül $Px$ \model{M} minden $\Omega$-ra az UD-ben. Az 1-es rész definíciója szerint, ez annak az esete lesz, ha minden $\Omega$ benne van a $P$ kiterjedésében. Vajon $\forall xPx$ kielégültsége nem függ-e az egyéni $a$ változó hozzárendelésén. Ha ez a mondat kielégített, akkor igaz. Ez egy formalizáció arról amiről egészen eddig beszéltünk: $\forall xPx$ igaz, ha minden ami az UD-ben van az benne van a $P$ kiterjedésében is.

The same thing holds for any sentence of QL. Because all of the variables are bound, a sentence is satisfied or not regardless of the details of the variable assignment. So we can define truth in this way: A sentence \script{A} is \define{true in} \model{M} if and only if some variable assignment satisfies \script{A} in $M$; \script{A} is \define{false in} \model{M} otherwise.

Ugyanez a dolog áll fenn a PL bármely mondatához. Mivel minden változó behatárolt, a mondat kielégült vagy nem igazán része a változó hozzárendelésnek. Tehát definiálhatjuk így az igazságot: A mondat \script{A} az \define{igaz} \model{M}-ben csak akkor ha néhány változó hozzárendelés kielégült \script{A} $M$-ben ; \script{A} az \define{hamis} \model{M}-ben minden más esetben.

%PG fordítása vége

Truth in QL is \emph{truth in a model}. Sentences of QL are not flat-footedly true or false as mere symbols, but only relative to a model. A model provides the meaning of the symbols, insofar as it makes any difference to truth and falsity.

Az igazság a PL-ben az \emph{igazság egy modellben}. A PL mondatai önmagukban mint szimbólumok nem igazak vagy hamisak, csakis egy bizonyos modellhez viszonyítva. A modell adja meg a szimbólumok jelentését, legalábbis az igazság és a hamisság közötti különbség tekintetében. 


\subsection{Reasoning about all models (reprise)}
\subsection{Minden modellről való érvelés (újra)}
At the end of section \ref{sec.UsingModels}, we were stymied when we tried to show that $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ is a tautology. Having defined satisfaction, we can now reason in this way:

\Aref{sec.UsingModels}. fejezet végén megtorpantunk, amikor azt próbáltuk bizonyítani, hogy $\forall x(Rxx\eif Rxx)$ tautológia. A kielégítés definíciója után így érvelhetünk:

\begin{quote}
Consider some arbitrary model \model{M}. Now consider an arbitrary member of the UD; for the sake of convenience, call it $\Omega$. It must be the case either that $\langle\Omega,\Omega\rangle$ is in the extension of $R$ or that it is not. If $\langle\Omega,\Omega\rangle$ is in the extension of $R$, then $Rxx$ is satisfied by a variable assignment that assigns $\Omega$ to $x$ (by part 1 of the definition of  {satisfaction}); since the consequent of $Rxx\eif Rxx$ is satisfied, the conditional is satisfied (by part 5). If $\langle\Omega,\Omega\rangle$ is not in the extension of $R$, then $Rxx$ is not satisfied by a variable assignment that assigns $\Omega$ to $x$ (by part 1); since antecedent of $Rxx\eif Rxx$ is not satisfied, the conditional is satisfied (by part 5). In either case, $Rxx\eif Rxx$ is satisfied. This is true for any member of the UD, so $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ is satisfied by any truth value assignment (by part 7). So $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ is true in \model{M} (by the definition of {truth}). This argument holds regardless of the exact UD and regardless of the exact extension of $R$, so $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ is true in any model. Therefore, it is a tautology.
\end{quote}

\begin{quote}
Vegyünk egy tetszőleges \model{M} modellt. Most vegyük az univerzum tetszőleges elemét; az egyszerűség kedvéért nevezzük $\Omega$-nak. Muszáj, hogy $\langle\Omega,\Omega\rangle$ vagy $R$ kiterjedésének része legyen, vagy annak ne legyen része. Ha $\langle\Omega,\Omega\rangle$  $R$ kiterjedésének része, akkor $Rxx$ ki van elégítve egy változóhozzárendeléssel, ami $x$-hez $\Omega$-t rendeli (a kielégítés definíciójának 1. része miatt). Mivel $Rxx\eif Rxx$ következménye ki van elégítve, az implikáció is ki van elégítve (az 5. rész miatt).
Ha $\langle\Omega,\Omega\rangle$  $R$ kiterjedésének nem része, akkor $Rxx$ nincs kielégítve azon változóhozzárendeléssel, ami $x$-hez $\Omega$-t rendeli (az 1. rész miatt). Mivel $Rxx\eif Rxx$ előfeltétele nincs kielégítve, az implikáció ki van elégítve (az 5. rész miatt). Mindkét esetben $Rxx\eif Rxx$ ki van elégítve. Ez igaz az univerzum minden elemére, ezért $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ ki van elégítve minden igazságérték-hozzárendelésre (a 7. rész miatt). Vagyis $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ igaz az \model{M} modellben (az igazság definíciója alapján). Ez az érvelés helyes attól függetlenül, hogy pontosan milyen is az univerzum, és mi $R$ kiterjedése, ezért $\forall x(Rxx \eif Rxx)$ igaz bármilyen modellben. Tehát ez egy tautológia.
\end{quote}

%MB fordítása 1 kezdet

Giving arguments about all possible models typically requires clever combination of two strategies:

Hogy argumentumot adhassunk minden lehetséges modelnek, általában kettő stratégia kombinációját kell használnunk:


1. Divide cases between two possible kinds, such that every case must be one kind or the other.  In the argument on p.~\pageref{allmodels1}, for example, we distinguished two kinds of models based on whether or not a specific ordered pair was in \extension{R}. In the argument above, we distinguished cases in which an ordered pair was in \extension{R} and cases in which it was not.

1. Az eseteket két lehetséges csoportra osszuk, úgy hogy minden eset pontosan egy csoportba szerepeljen. Példaképp p.~\pageref{allmodels1} argumentum esetén, két fajta modlet különböztettünk meg az alapján hogy egy specifikus rendezett pár szerepelt e \extension{R}-ben. A fent említett argumentumban, megkülönböztettük azokat a rendezett párokat amelyek benne voltak \extension{R}.-ben és azokat amelyek nem.


2. Consider an arbitrary object as a way of showing something more general. In the argument above, it was crucial that $\Omega$ was just some arbitrary member of the UD. We did not assume anything special about it. As such, whatever we could show to hold of $\Omega$ must hold of every member of the UD--- if we could show it for $\Omega$, we could show it for anything. In the same way, we did not assume anything special about \model{M}, and so whatever we could show about \model{M} must hold for all models.

2. Vegyünk egy tetszőleges tárgyat valami általánosabb megjelenítésének egyik módjaként. A fenti argumentum szerint döntő fontosságú volt, hogy a $\Omega$ csak egy UD tetszőleges tagja legyen. Nem feltételeztünk róla semmi különöset. így, bármi ami érvényes $\Omega$ -re , az UD minden tagjára érvényes -- ha $\Omega$-ra be tudjuk bizonyítani, bármire be tudjuk bizonyítani. Hasonlóképpen, a \model{M} kapcsán semmi különöset nem feltételeztünk, és így minden, amit be tudunk bizonyítani a \model{M} -ről, minden modellre érvényes.

%MB fordítása 1 vége

%PE fordítása kezdet

Consider one more example. The argument $\forall x(Hx \eand Jx)$ \therefore  $\forall x Hx$ is obviously valid. We can only show that the argument is valid by considering what must be true in every model in which the premise is true.

Vegyünk figyelembe még egy példát. A következő érvelés: $\forall x(Hx \eand Jx)$ \therefore $\forall x Hx$ nyilvánvalóan érvényes. Ezt azonban csak akkor tudjuk bizonyítani, ha minden olyan esetet számításba veszünk, amiben a feltevés igaz.

\begin{quote}
Consider an arbitrary model \model{M} in which the premise $\forall x(Hx \eand Jx)$ is true. The conjunction $Hx \eand Jx$ is satisfied regardless of what is assigned to $x$, so $Hx$ must be also (by part 3 of the definition of {satisfaction}). As such, $(\forall x) Hx$ is satisfied by any variable assignment (by part 7 of the definition of {satisfaction}) and true in \model{M} (by the definition of {truth}).
Since we did not assume anything about \model{M} besides $Hx \eand Jx$ being true, $(\forall x) Hx$ must be true in any model in which $\forall x(Hx \eand Jx)$ is true. So $\forall x(Hx \eand Jx) \models \forall x Hx$.

Vegyünk figyelembe egy tetszőleges \model{M} modelt, amelyben a feltevés, $\forall x(Hx \eand Jx)$ igaz. $Hx \eand Jx$ konjunkció feltétlenül ki van elégítve függetlenül $x$-től, tehát ezért $Hx$ is. (Az előzőekben leírt definíció harmadik része miatt.) Vagyis $(\forall x)Hx$ ki van elégítve bármely változó hozzárendeléséval (hetedik rész alapján), és igaz \model{M}-ben (az igazság definíciója szerint). Mivel nem feltételezünk semmit \model{M}-ről azon kívül, hogy$Hx \eand Jx$ igaz, tehát $(\forall x) Hx$-nek igaznak kell lennie egy olyan modelben, ahol $\forall x(Hx \eand Jx)$ igaz. Ezen indokok miatt $\forall x(Hx \eand Jx) \models \forall x Hx$.
\end{quote}

Even for a simple argument like this one, the reasoning is somewhat complicated. For longer arguments, the reasoning can be insufferable. The problem arises because talking about an infinity of models requires reasoning things out in English. What are we to do?

Egy ehhez hasonló bizonyításnak is lehet az érvelése kissé bonyolult. Hosszabb érvelés esetén az indoklás elviselhetetlenül komplikált is lehet. Ez a probléma azért merül fel, mert a modellek végtelenségét csak magyar nyelven tudjuk kifejteni. Mit tegyünk hát?

We might try to formalize our reasoning about models, codifying the divide-and-conquer strategies that we used above. This approach, originally called \emph{semantic tableaux}, was developed in the 1950s by Evert Beth and Jaakko Hintikka. Their tableaux are now more commonly called \emph{truth trees}.

Modellekkel kapcsolatos érvelésünket megpróbálhatunk formalizálni, és lekódolni az oszd meg és uralkodj stratégiát, úgy, ahogy azt korábban használtuk. Ezt a megközelítést az 1950-es években fejlesztette ki Evert Beth és Jaako Hintikka, és eredetileg úgy nevezték, hogy \emph{szemantikai táblázat}. Az általuk kitalált táblákat ma már \emph{igazság fáknak} nevezik.

A more traditional approach is to consider deductive arguments as proofs. A \emph{proof system} consists of rules that formally distinguish between legitimate and illegitimate arguments--- without considering models or the meanings of the symbols. In the next chapter, we develop proof systems for SL and QL. 

Megszokott módon a deduktív érveket bizonyítéknak fogjuk tekinteni. Olyan szabályokból áll a \emph{bizonyítási rendszer}, melyek formális szinten megkülönböztetik az érveket, és szétválasztják: legális, és illegális érv. Ezt mind úgy, hogy nem veszik számításba modelleket, és a szimbólumok jelentését. A következő fejezetben SL és QL típusokra fogunk bizonyítási rendszereket fogunk kidolgozni.

%\section*{Summary of definitions}
%\begin{itemize}
%\item A \define{tautology in QL} is a sentence \script{A} that is true in every model; i.e.,  $\models\script{A}$.

%\item A \define{contradiction in QL} is a sentence \script{A} that is false in every model; i.e., $\models\enot\script{A}$.

%\item A sentence is \define{contingent in QL} if and only if it is neither a tautology nor a contradiction.

%\item An argument `` $\script{P}_1, \script{P}_2, \cdots$, \therefore\ \script{C} '' is \define{valid in QL} if and only if there is no model in which all of the premises are true and the conclusion is false; i.e., $\{\script{P}_1,\script{P}_2,\cdots\}\models\script{C}$. It is \define{invalid in QL} otherwise.

%\item Two sentences \script{A} and \script{B} are \define{logically equivalent in SL} if and only if both $\script{A}\models\script{B}$ and $\script{B}\models\script{A}$.

%\item The set $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ is \define{consistent in QL} if and only if there is at least one model in which all of the sentences are true. The set is \define{inconsistent in QL} if and if only there is no such model.
%\end{itemize}

\practiceproblems

\solutions
\problempart
\label{pr.TorF1}
Determine whether each sentence is true or false in the model given.

Határozza meg a következő mondatokról, hogy igaz-e vagy hamis a magadott modellben.
\begin{partialmodel}
	UD & \{Corwin, Benedict\}\\
	\extension{A} & \{Corwin, Benedict\}\\
	\extension{B} & \{Benedict\}\\
	\extension{N} & $\emptyset$\\
	\referent{c} & Corwin
\end{partialmodel}

\begin{partialmodel}
	UD & \{Corwin, Benedict\}\\
	\extension{A} & \{Corwin, Benedict\}\\
	\extension{B} & \{Benedict\}\\
	\extension{N} & $\emptyset$\\
	\referent{c} & Corwin
\end{partialmodel}

\begin{earg}
	\item $Bc$
	\item $Ac \eiff \enot Nc$
	\item $Nc \eif (Ac \eor Bc)$
	\item $\forall x Ax$
	\item $\forall x \enot Bx$
	\item $\exists x(Ax \eand Bx)$
	\item $\exists x(Ax \eif Nx)$
	\item $\forall x(Nx \eor \enot Nx)$
	\item $\exists x Bx \eif \forall x Ax$
\end{earg}

%PE fordítása vége

%SR fordítása kezdet

\solutions
\problempart
\label{pr.TorF2}
Determine whether each sentence is true or false in the model given.
\begin{partialmodel}
UD & \{Waylan, Willy, Johnny\}\\
\extension{H} & \{Waylan, Willy, Johnny\}\\
\extension{W} & \{Waylan, Willy\}\\
\extension{R} & \{\ntuple{Waylan, Willy},\ntuple{Willy, Johnny},\ntuple{Johnny, Waylan}\}\\
\referent{m} & Johnny
\end{partialmodel}

\solutions
\problempart
\label{pr.TorF2}
Határozza meg, hogy az egyes mondatok igazak vagy hamisak-e az adott modellben.
\begin{partialmodel}
UD & \{Waylan, Willy, Johnny\}\\
\extension{H} & \{Waylan, Willy, Johnny\}\\
\extension{W} & \{Waylan, Willy\}\\
\extension{R} & \{\ntuple{Waylan, Willy},\ntuple{Willy, Johnny},\ntuple{Johnny, Waylan}\}\\
\referent{m} & Johnny
\end{partialmodel}
\begin{earg}
\item $\exists x(Rxm \eand Rmx)$
\item $\forall x(Rxm \eor Rmx)$
\item $\forall x(Hx \eiff Wx)$
\item $\forall x(Rxm \eif Wx)$
\item $\forall x\bigl[Wx \eif(Hx \eand Wx)\bigr]$
\item $\exists x Rxx$
\item $\exists x\exists y Rxy$
\item $\forall x \forall y Rxy$
\item $\forall x \forall y (Rxy \eor Ryx)$
\item $\forall x \forall y \forall z\bigl[(Rxy \eand Ryz) \eif Rxz\bigr]$
\end{earg}

\problempart
\label{pr.TorF3}
Determine whether each sentence is true or false in the model given.
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Lemmy, Courtney, Eddy\}\\
	\extension{G}	& \{Lemmy, Courtney, Eddy\}\\
	\extension{H}	& \{Courtney\}\\
	\extension{M}	& \{Lemmy, Eddy\}\\
	\referent{c}	& Courtney\\
	\referent{e}	& Eddy
\end{partialmodel}
\problempart
\label{pr.TorF3}
Határozza meg, hogy az egyes mondatok igazak vagy hamisak-e az adott modellben.
\begin{partialmodel}
	UD			& \{Lemmy, Courtney, Eddy\}\\
	\extension{G}	& \{Lemmy, Courtney, Eddy\}\\
	\extension{H}	& \{Courtney\}\\
	\extension{M}	& \{Lemmy, Eddy\}\\
	\referent{c}	& Courtney\\
	\referent{e}	& Eddy
\end{partialmodel}
\begin{earg}
\item $Hc$
\item $He$
\item $Mc \eor Me$
\item $Gc \eor \enot Gc$
\item $Mc \eif Gc$
\item $\exists x Hx$
\item $\forall x Hx$
\item $\exists x \enot Mx$
\item $\exists x(Hx \eand Gx)$
\item $\exists x(Mx \eand Gx)$
\item $\forall x(Hx \eor Mx)$
\item $\exists x Hx \eand \exists x Mx$
\item $\forall x(Hx \eiff \enot Mx)$
\item $\exists x Gx \eand \exists x \enot Gx$
\item $\forall x\exists y(Gx \eand Hy)$
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.InterpretationToModel}
Write out the model that corresponds to the interpretation given.
\begin{ekey}
\item{UD:} natural numbers from 10 to 13
\item{Ox:} $x$ is odd. 
\item{Sx:} $x$ is less than 7.
\item{Tx:} $x$ is a two-digit number.
\item{Ux:} $x$ is thought to be unlucky.
\item{Nxy:} $x$ is the next number after $y$.
\end{ekey}
\solutions
\problempart
\label{pr.InterpretationToModel}
Készítse el a modellt ami igazodik az adott interpretációhoz.
\begin{ekey}
\item{UD:} természetes számok 10-től 13-ig
\item{Ox:} $x$ páratlan. 
\item{Sx:} $x$ kisebb mint 7.
\item{Tx:} $x$ egy két számjegyű szám.
\item{Ux:} $x$ a balszerencse jelképe.
\item{Nxy:} $x$ az $y$ után következő szám.
\end{ekey}

\problempart
\label{pr.Contingent}
Show that each of the following is contingent.
\begin{earg}
\item \leftsolutions\ $Da \eand Db$
\item \leftsolutions\ $\exists x Txh$
\item \leftsolutions\ $Pm \eand \enot\forall x Px$
\item $\forall z Jz \eiff \exists y Jy$
\item $\forall x (Wxmn \eor \exists yLxy)$
\item $\exists x (Gx \eif \forall y My)$
\end{earg}
\problempart
\label{pr.Contingent}

Mutassa be, hogy mindegyik kontingens.
\begin{earg}
\item \leftsolutions\ $Da \eand Db$
\item \leftsolutions\ $\exists x Txh$
\item \leftsolutions\ $Pm \eand \enot\forall x Px$
\item $\forall z Jz \eiff \exists y Jy$
\item $\forall x (Wxmn \eor \exists yLxy)$
\item $\exists x (Gx \eif \forall y My)$
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.NotEquiv}
Show that the following pairs of sentences are not logically equivalent.
\begin{earg}
\item $Ja$, $Ka$
\item $\exists x Jx$, $Jm$
\item $\forall x Rxx$, $\exists x Rxx$
\item $\exists x Px \eif Qc$, $\exists x (Px \eif Qc)$
\item $\forall x(Px \eif \enot Qx)$, $\exists x(Px \eand \enot Qx)$
\item $\exists x(Px \eand Qx)$, $\exists x(Px \eif Qx)$
\item $\forall x(Px\eif Qx)$, $\forall x(Px \eand Qx)$
\item $\forall x\exists y Rxy$, $\exists x\forall y Rxy$
\item $\forall x\exists y Rxy$, $\forall x\exists y Ryx$
\end{earg}
\solutions
\problempart
\label{pr.NotEquiv}
Mutassa be, hogy ezek a mondatpárok logikailag nem ekvivalensek.
\begin{earg}
\item $Ja$, $Ka$
\item $\exists x Jx$, $Jm$
\item $\forall x Rxx$, $\exists x Rxx$
\item $\exists x Px \eif Qc$, $\exists x (Px \eif Qc)$
\item $\forall x(Px \eif \enot Qx)$, $\exists x(Px \eand \enot Qx)$
\item $\exists x(Px \eand Qx)$, $\exists x(Px \eif Qx)$
\item $\forall x(Px\eif Qx)$, $\forall x(Px \eand Qx)$
\item $\forall x\exists y Rxy$, $\exists x\forall y Rxy$
\item $\forall x\exists y Rxy$, $\forall x\exists y Ryx$
\end{earg}


\problempart
Show that the following sets of sentences are consistent.
\begin{earg}
\item \{Ma, \enot Na, Pa, \enot Qa\}
\item \{$Lee$, $Lef$, $\enot Lfe$, $\enot Lff$\}
\item \{$\enot (Ma \eand \exists x Ax)$, $Ma \eor Fa$, $\forall x(Fx \eif Ax)$\}
\item \{$Ma \eor Mb$, $Ma \eif \forall x \enot Mx$\}
\item \{$\forall y Gy$, $\forall x (Gx \eif Hx)$, $\exists y \enot Iy$\}
\item \{$\exists x(Bx \eor Ax)$, $\forall x \enot Cx$, $\forall x\bigl[(Ax \eand Bx) \eif Cx\bigr]$\}
\item \{$\exists x Xx$, $\exists x Yx$, $\forall x(Xx \eiff \enot Yx)$\}
\item \{$\forall x(Px \eor Qx)$, $\exists x\enot(Qx \eand Px)$\}
\item \{$\exists z(Nz \eand Ozz)$, $\forall x\forall y(Oxy \eif Oyx)$\}
\item \{$\enot \exists x \forall y Rxy$, $\forall x \exists y Rxy$\}
\end{earg}
\problempart
Mutassa be, hogy a következő mondatok konzisztensek.
\begin{earg}
\item \{Ma, \enot Na, Pa, \enot Qa\}
\item \{$Lee$, $Lef$, $\enot Lfe$, $\enot Lff$\}
\item \{$\enot (Ma \eand \exists x Ax)$, $Ma \eor Fa$, $\forall x(Fx \eif Ax)$\}
\item \{$Ma \eor Mb$, $Ma \eif \forall x \enot Mx$\}
\item \{$\forall y Gy$, $\forall x (Gx \eif Hx)$, $\exists y \enot Iy$\}
\item \{$\exists x(Bx \eor Ax)$, $\forall x \enot Cx$, $\forall x\bigl[(Ax \eand Bx) \eif Cx\bigr]$\}
\item \{$\exists x Xx$, $\exists x Yx$, $\forall x(Xx \eiff \enot Yx)$\}
\item \{$\forall x(Px \eor Qx)$, $\exists x\enot(Qx \eand Px)$\}
\item \{$\exists z(Nz \eand Ozz)$, $\forall x\forall y(Oxy \eif Oyx)$\}
\item \{$\enot \exists x \forall y Rxy$, $\forall x \exists y Rxy$\}
\end{earg}


\problempart
Construct models to show that the following arguments are invalid.
\begin{earg}
\item $\forall x(Ax \eif Bx)$, \therefore\ $\exists x Bx$
\item $\forall x(Rx \eif Dx)$, $\forall x(Rx \eif Fx)$, \therefore\ $\exists x(Dx \eand Fx)$
\item $\exists x(Px\eif Qx)$, \therefore $\exists x Px$
\item $Na \eand Nb \eand Nc$, \therefore\ $\forall x Nx$
\item $Rde$, $\exists x Rxd$, \therefore\ $Red$
\item $\exists x(Ex \eand Fx)$, $\exists x Fx \eif \exists x Gx$, \therefore\ $\exists x(Ex \eand Gx)$
\item $\forall x Oxc$, $\forall x Ocx$, \therefore\ $\forall x Oxx$
\item $\exists x(Jx \eand Kx)$, $\exists x \enot Kx$, $\exists x \enot Jx$, \therefore\ $\exists x(\enot Jx \eand \enot Kx)$
\item $Lab \eif \forall x Lxb$, $\exists x Lxb$, \therefore\ $Lbb$
\end{earg}
\problempart
Készítsen modelleket amelyek bemutatják, hogy a következő érvelések hibásak.
\begin{earg}
\item $\forall x(Ax \eif Bx)$, \therefore\ $\exists x Bx$
\item $\forall x(Rx \eif Dx)$, $\forall x(Rx \eif Fx)$, \therefore\ $\exists x(Dx \eand Fx)$
\item $\exists x(Px\eif Qx)$, \therefore $\exists x Px$
\item $Na \eand Nb \eand Nc$, \therefore\ $\forall x Nx$
\item $Rde$, $\exists x Rxd$, \therefore\ $Red$
\item $\exists x(Ex \eand Fx)$, $\exists x Fx \eif \exists x Gx$, \therefore\ $\exists x(Ex \eand Gx)$
\item $\forall x Oxc$, $\forall x Ocx$, \therefore\ $\forall x Oxx$
\item $\exists x(Jx \eand Kx)$, $\exists x \enot Kx$, $\exists x \enot Jx$, \therefore\ $\exists x(\enot Jx \eand \enot Kx)$
\item $Lab \eif \forall x Lxb$, $\exists x Lxb$, \therefore\ $Lbb$
\end{earg}




\problempart
%problem using identity, with solutions
\label{pr.IdentityModels}
\begin{earg}
\item\leftsolutions\ Show that $\{{\enot}Raa, \forall x (x=a \eor Rxa)\}$
is consistent.
%There are many possible answers. Here is one:
%\begin{partialmodel}
%UD & \{Harry, Sally\}\\
%\extension{R} &\{\ntuple{Sally, Harry}\}\\
%\referent{a} & Harry
%\end{partialmodel}
\item\leftsolutions\ Show that $\{\forall x\forall y\forall z(x=y \eor y=z \eor x=z),
\exists x\exists y\ x\neq y\}$ is consistent.
%There are no predicates or constants, so we only need to give a UD.
%Any UD with 2 members will do.
\item\leftsolutions\ Show that $\{\forall x\forall y\ x=y, \exists x\ x \neq a\}$ is inconsistent.
%We need to show that it is impossible to construct a model in which these are both true. Suppose $\exists x\ x \neq a\$ is true in a model. There is something in the universe of discourse that is \emph{not} the referent of $a$. So there are at least two things in the universe of discourse: \referent{a} and this other thing. Call this other thing \script{b}--- we know $a \neq \script{b}$. But if $a \neq \script{b}$, then $\forall x\forall y\ x=y$ is false. So the first sentence must be false if the second sentence is true is true. As such, there is no model in which they are both true. Therefore, they are inconsistent.
\item Show that $\exists x (x = h \eand x = i)$ is contingent.
\item Show that \{$\exists x\exists y(Zx \eand Zy \eand x=y)$, $\enot Zd$, $d=s$\} is consistent.
\item Show that `$\forall x(Dx \eif \exists y Tyx)$ \therefore\ $\exists y \exists z\ y\neq z$' is invalid.
\end{earg}
\problempart
%problem using identity, with solutions
\label{pr.IdentityModels}

\begin{earg}
\item\leftsolutions\ Mutassa be, hogy $\{{\enot}Raa, \forall x (x=a \eor Rxa)\}$
konzisztens.
%Sok lehetőség adott. Például:
%\begin{partialmodel}
%UD & \{Harry, Sally\}\\
%\extension{R} &\{\ntuple{Sally, Harry}\}\\
%\referent{a} & Harry
%\end{partialmodel}
\item\leftsolutions\ Mutassa be, hogy $\{\forall x\forall y\forall z(x=y \eor y=z \eor x=z),
\exists x\exists y\ x\neq y\}$ konzisztens.
%Nincsenek predikátumok, sem konstansok, szóval csak az Univerzumot kell megadnunk.
%Bármilyen két tagú Univerzum elég.
\item\leftsolutions\ Mutassa be, hogy $\{\forall x\forall y\ x=y, \exists x\ x \neq a\}$ inkonzisztens.
%We need to show that it is impossible to construct a model in which these are both true. Suppose $\exists x\ x \neq a\$ is true in a model. There is something in the universe of discourse that is \emph{not} the referent of $a$. So there are at least two things in the universe of discourse: \referent{a} and this other thing. Call this other thing \script{b}--- we know $a \neq \script{b}$. But if $a \neq \script{b}$, then $\forall x\forall y\ x=y$ is false. So the first sentence must be false if the second sentence is true is true. As such, there is no model in which they are both true. Therefore, they are inconsistent.
\item Mutassa be, hogy $\exists x (x = h \eand x = i)$ kontingens.
\item Mutassa be, hogy \{$\exists x\exists y(Zx \eand Zy \eand x=y)$, $\enot Zd$, $d=s$\} konzisztens.
\item Mutassa be, hogy `$\forall x(Dx \eif \exists y Tyx)$ \therefore\ $\exists y \exists z\ y\neq z$' hibás.
\end{earg}




\problempart
\label{pr.SemanticsEssay}
\begin{earg}
\item Many logic books define consistency and inconsistency in this way:
`` A set $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ is inconsistent if and only if $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}\models(\script{B}\eand\enot\script{B})$ for some sentence \script{B}. A set is consistent if it is not inconsistent.''

Does this definition lead to any different sets being consistent than the definition on  p.~\pageref{def.consistencySL}? Explain your answer.

\item\leftsolutions\ Our definition of truth says that a sentence \script{A} is \define{true in} \model{M} if and only if some variable assignment satisfies \script{A} in $M$. Would it make any difference if we said instead that \script{A} is \define{true in} \model{M} if and only if \emph{every} variable assignment satisfies \script{A} in $M$? Explain your answer.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.SemanticsEssay}
\begin{earg}
\item Sok logika könyv így definiálja a konzisztenciát és az inkonzisztenciát:
„Egy halmaz $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}$ akkor és csak akkor konzisztens, ha $\{\script{A}_1,\script{A}_2,\script{A}_3,\cdots\}\models(\script{B}\eand\enot\script{B})$ valamilyen \script{B} mondatra. A halmaz konzisztens ha nem inkonzisztens.”

Vezet-e ez a definíció bármely más konzisztens halmazhoz mint a definíció a \pageref{def.consistencySL}. oldalon? Válaszod igazold.

\item\leftsolutions\ Az igazságról való definíciónk azt mondja, egy \script{A} kijelentés \define{igaz} az \model{M} modellben akkor és csak akkor, ha van olyan változó amely kielégíti \script{A}-t $M$-ben. Lenne bármilyen különbség, ha azt mondanánk, hogy \script{A} \define{igaz} \model{M}-ben akkor és csak akkor, ha minden változó kielégíti \script{A}-t $M$-ben? Válaszod indokold .
\end{earg}

%SR fordítása vége