04-introp.Rmd

# (PART) Probabilidad {-}



# Introducción a la Probabilidad {#introp}



## Introducción {#sec-introprob}

En los capítulos anteriores, hemos visto cómo mediante la **Estadística Descriptiva** 
estudiamos variables estadísticas describiéndolas y representándolas. Mediante la
**Estadística Inferencial** lo que tratamos es de inferir (estimar, predecir)
las propiedades de una población basándonos en una muestra de 
datos. La Teoría de
Probabilidades y el Cálculo de Probabilidades son las bases en las que
se sustentan estos métodos, partiendo de la estimación del modelo de
datos, es decir, la distribución de probabilidad de una determinada
característica en la población. 
En este capítulo estudiaremos los conceptos fundamentales del 
**Cálculo de Probabilidades**.

### Estándares de aplicación {-}

En este capítulo se han aplicado los siguientes estándares:

- **UNE-ISO 3534-1**: Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 1, Términos estadísticos generales y términos empleados en el cálculo de probabilidades



### Estadística y Cálculo de Probabilidades {-}

La figura \@ref(fig:dogma) representa la esencia de la Estadística, esto es,
su relación con la probabilidad y la inferencia, a través de la población y la muestra.

```{r dogma, echo=FALSE,purl=FALSE, fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Relación entre la Estadística Descriptiva, el Cálculo de Probabilidades y la Estadística Inferencial", out.width="70%"}
library(grid)

grid.newpage()
grid.circle(0.35, 0.5, 0.35, gp = gpar(fill = "lightsteelblue"))
grid.circle(0.85, 0.5, 0.15, gp = gpar(fill = "lightsteelblue2"))
grid.text("Población", 0.15, 0.87, gp=gpar(cex=2))
grid.text("Muestra", 0.90, 0.30, gp=gpar(cex=1.75))
grid.text("Probabilidad", 0.60, 0.95, gp=gpar(cex=1.75))
grid.text("Inferencia Estadística", 0.60, 0.05, gp=gpar(cex=1.75))
grid.text("Estadística\nDescriptiva", 0.91, 0.8, gp=gpar(cex=1.25))
grid.curve(c(0.90), c(0.87), c(0.93), c(0.91),
           curvature = -3.5,
           # arrow = arrow(angle = 30, length = unit(0.1, "inches")),
           ncp = 10,
           shape = 0.5,
           angle = 85,
           open = TRUE,
           gp = gpar(lwd = 3,
                     col = gray(0.4)))
grid.lines(x = c(0.928, 0.928), y = c(0.91, 0.90),
           arrow = arrow(angle = 30, length = unit(0.1, "inches")),
           gp = gpar(lwd = 3,
                     col = gray(0.4)))
grid.lines(c(0.4, 0.4,0.80, 0.80), 
           c(0.845, 0.9, 0.9, 0.635), gp=gpar(lwd=2),
           arrow = arrow(length = unit(0.15, "inches")))
grid.lines(c(0.8, 0.8, 0.4, 0.4), 
           c(0.365, 0.1, 0.1, 0.155), gp=gpar(lwd=2),
           arrow = arrow(length = unit(0.15, "inches")))
set.seed(5)
grid.points(runif(20, 0.19, 0.52),
            runif(20, 0.21, 0.79),
            default.units = "npc",
            pch = sample(c(1, 2, 16), size = 20, replace = TRUE),
            gp = gpar(alpha = 0.4,
                      cex = 0.75))
grid.points(runif(5, 0.8, 0.9),
            runif(5, 0.4, 0.6),
            default.units = "npc",
            pch = sample(c(1, 2, 16), size = 20, replace = TRUE),
            gp = gpar(alpha = 0.8))
```

Es decir, partiendo de los datos de la muestra, estimaremos el modelo de
distribución de probabilidad que sigue la variable en estudio en toda la
población. A partir de ahí, podremos estimar sus parámetros, 
calcular probabilidades y realizar contrastes de hipótesis usando técnicas
de inferencia estadística. La Estadística Descriptiva sobre los datos de la
muestra es una tarea permanente.
Necesitamos en primer lugar una 
definición de la Probabilidad y sus propiedades.



## Sucesos aleatorios

Definamos un **experimento** como cualquier actividad
que deriva en un resultado observable e identificable, al que llamaremos **suceso**. Estos
resultados pueden ser deterministas o aleatorios. 
**Sucesos deterministas** son los resultados de aquellos experimentos que, 
bajo las mismas condiciones,
producen el mismo resultado. Por ejemplo, si observamos el número de eclipses de sol
que se producen en los próximos 12 meses, el resultado es determinista. 
Por contra, **Sucesos aleatorios** son aquellos que están sujetos a incertidumbre. La 
mayoría de los experimentos no son deterministas sino **aleatorios**. Por ejemplo,
el resultado al lanzar un dado, observar si un cliente compra o no al entrar a
una tienda, etc.


Llamamos **sucesos elementales** 
a cada uno de los resultados posibles de un experimento. Al ser aleatorios,
no conocemos cuál de ellos va a ser el resultado final del experimento, pero sí
podemos conocer la probabilidad de que se produzca cada uno de los 
resultados^[Muchas veces, lo que tendremos es una estimación o idea aproximada de esas probabilidades]. 
Por ejemplo: en una clase de 50 alumnos, si observamos
el número de alumnos que obtiene sobresaliente en un curso, no sabemos cuántos
van a ser. Pero sí podemos saber cuál es la probabilidad de cada uno de los
resultados posibles, en este caso entre 0 (ninguno) y 50 (todos) en base a 
lo que ha sucedido en años anteriores.







Así, la **Probabilidad** es una medida del **grado de incertidumbre** 
sobre el resultado de un experimento aleatorio. Los posibles resultados de un experimento 
aleatorio forman un conjunto, y la teoría de probabilidades se sustenta en la 
teoría de conjuntos.
A continuación vamos a definir
formalmente los sucesos en términos de **conjuntos**. 




> **Espacio muestral, $\Omega$**
> 
> Conjunto de todos los resultados posibles
>
> --- ISO 3534-1 2.1

$\Omega$ estará formado por los posibles resultados del experimento o 
sucesos elementales $\omega_i$.

> **Suceso, $A$**
> 
> Subconjunto del espacio muestral
>
> --- ISO 3534-1 2.2

    

> **Suceso complementario, $A^c$**
> 
> Espacio muestral excluyendo el suceso dado
>
> --- ISO 3534-1 2.3






Así, un suceso cualquiera estará formado por uno o varios sucesos elementales $\omega_i$
del espacio muestral. Un suceso $A$ ocurre si ocurre alguno de los sucesos
elementales que lo componen.

### Sucesos notables

Los siguientes sucesos tienen especial importancia en el cálculo de probabilidades:

- Suceso $A \subseteq \Omega$.
- Suceso complementario^[También se suele representar por $\bar{A}$ o $A^*$.] $A^c$.
- Suceso seguro $\Omega$.
- Suceso imposible $\emptyset$.

La figura \@ref(fig:venn1) representa el espacio muestral, un suceso cualquiera $A$ y su 
complementario $A^c$. El suceso imposible no aparece representado, pero en 
realidad sería: 

$$\emptyset = \Omega^c$$

```{r, venn1, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación del espacio muestral, un suceso cualquiera y su complementario", out.width="70%", message=FALSE}
library(VennDiagram, quietly = TRUE)
grid.newpage()
grid.rect(gp = gpar(lwd = 4))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=2) )
venn.plot <- draw.single.venn(area = 1, 
                              category = "A",
                              cat.dist = -0.05,
                              cat.cex = 2,
                              cex = 0,
                              rotation.degree = 45,
                              margin = 0.15,
                              fill = "red",
                              alpha = 0.25)
grid.text(expression(A^c), 0.8, 0.8, gp = gpar(cex = 2, fontfamily = "serif"))
```






Habitualmente se utilizan ejemplos de juegos de azar para introducir el
cálculo de probabilidades, como lanzamiento de monedas y dados, o
combinaciones de cartas en barajas de naipes. Los ejemplos con juegos de azar
tienen la ventaja de que son fáciles de comprender. 


```{block2, type='rmdejemplo'}
_Lanzamiento de un dado_. El experimento consiste en lanzar un dado una vez; 
Los sucesos elementales son los resultados del 1 al 6; El espacio muestral
es el conjunto de todos los sucesos elementales, es decir, 
$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$;
Si definimos el suceso $A$ "que salga número par", entonces 
$A = \{2, 4, 6\}$; el suceso $A$ 
ocurre si sale un 2, un 4, o un 6.
```


La aplicación de la probabilidad en casos distintos
a los juegos de azar, sigue las mismas leyes, y los ejemplos se pueden asimilar 
a situaciones reales de la empresa o cualquier otro ámbito. A continuación 
se describe un ejemplo ilustrativo que,
aunque totalmente inventado, se puede encontrar el lector
en el futuro con ligeras variaciones según su ámbito de actuación.
Utilizaremos en lo posible las cifras usadas en los problemas de azar
para ver la utilidad de aquéllos ejemplos en casos más prácticos. 

```{block2, type='rmdejemplo'}
En un estudio se cuenta con un conjunto de 52 sujetos, 
los cuales están clasificados
según alguna característica.
Vamos a considerar el _experimento_ de observar un sujeto 
(por ejemplo cuando entra en la página web del estudio) y clasificarlo
según un criterio determinado. Tendremos los siguientes sucesos:

- 52 posibles sujetos en estudio, $(\Omega)$
- La mitad son mujeres $(M)$
- 4 investigadores $(I)$ , 12 técnicos $(T)$, resto pacientes $(P)$
- 13 jóvenes $(J)$, 26 adultos $(A)$, 13 mayores $(R)$; 5, 18 y 3 mujeres en cada
  grupo respectivamente
- 1 de cada seis hombres $(H)$ responderá al tratamiento $(S)$, el doble si es mujer


```

¿Con qué juegos de azar relacionarías cada uno de los sucesos anteriores? 
Piensa algunos ejemplos de sucesos en tu dominio de aplicación con datos similares.
El siguiente puede ser un ejemplo más real. 





```{block2, type='rmdejemplo'}
Estudiamos una serie de proyectos de inversión
y para ello queremos seleccionar dos de un total de cinco proyectos. El espacio muestral,
si asumimos que no nos importa el orden en el que se seleccionan y etiquetamos los proyectos
con los números del 1 al 5, es $\Omega=\{$ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) $\}$.
Es decir, el espacio muestral tiene 10 elementos. El mero recuento se puede realizar 
mediante técnicas de combinatoria, véase al apéndice \@ref(combinatoria).
En este caso, $C_{5, 2} = \binom{5}{2} = 10$.
```

```{block2, type='rmdpractica'}
**CALCULADORA**

5 $\boxed{\mathsf{nCr}}$ 2 $\rightarrow$ 10

**HOJA DE CÁLCULO**
  
`=COMBIN(5;2)` $\boxed{\mathsf{10}}$  
[EXCEL] `=COMBINAT(5;2)` $\boxed{\mathsf{10}}$ 

**R**

La función `choose` obtiene el número de combinaciones como se ilustra a continuación.
  
```

```{r}
choose(5, 2)
```




### Operaciones con sucesos

Como se ha comentado anteriormente, los sucesos son conjuntos. Y como
tales, aplican las operaciones y propiedades de la teoría de conjuntos.

**Unión de sucesos**. Dados dos sucesos $A$ y $B$, definimos 
$A \cup B$^[En ocasiones se utiliza la notación $A+B$ para la unión de sucesos.] 
como
el suceso que se cumple si:

- Ocurre $A$, o
- Ocurre $B$, o
- Ocurren $A$ y $B$ a la vez

El suceso unión contiene los sucesos elementales comunes y los no comunes,
véase la figura \@ref(fig:union). 



```{r, union, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación de la unión de dos sucesos", out.width="70%"}

grid.newpage()
grid.rect(gp = gpar(lwd=4))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=2) )
venn.plot <- draw.pairwise.venn(100, 150, 25,
                                category = c("B", "A"),
                                cex = 0,
                                cat.dist = -0.05,
                                cat.cex = 2,
                                fill = c("lightsteelblue", "lightsteelblue"),
                                alpha = c(1,1))
grid.draw(venn.plot)
grid.text(expression(A*union(B)), x = 0.52, y = 0.55, gp=gpar(cex=6))

```



```{block2, type='rmdejemplo'}
El suceso "ser investigador **o** mujer" en nuestro ejemplo de los sujetos en estudio ($M \cup I$) incluirían a lo resultados elementales correspondientes con todas las mujeres (incluidas directivas) y los directivos hombres.
```




**Intersección de sucesos**. Dados dos sucesos $A$ y $B$, definimos 
$A \cap B$^[En ocasiones se utiliza la notación $A\cdot B$ o simplemente $AB$ para la intersección de sucesos.] 
como el suceso que se cumple si ocurren $A$ y $B$ simultáneamente. El suceso
intersección contiene únicamente los sucesos elementales comunes a ambos sucesos,
véase la figura \@ref(fig:intersec).

Las operaciones de unión e intersección entre dos ducesos se extienden 
inmediatamente a más de dos sucesos.

```{r, intersec, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación de la intersección de dos sucesos", out.width="70%"}

grid.newpage()
grid.rect(gp = gpar(lwd=4))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=2) )
venn.plot <- draw.pairwise.venn(100, 150, 25,
                                category = c("B", "A"),
                                cex = 0,
                                cat.dist = -0.05,
                                cat.cex = c(2,2),
                                fill = c("red", "blue"),
                                alpha = c(0.25, 0.25))
grid.draw(venn.plot)
grid.text(expression(A*intersect(B)), x = 0.55, gp = gpar(cex = 2, fontfamily="serif"))

```

```{block2, type='rmdejemplo'}
El suceso "ser hombre" **y** "ser investigador", se corresponde con la
intersección ($I \cap M^c$), e incluiría solo a los resultados del experimento
en el que los potenciales usuarios hombres son directivos.
```



**Sucesos disjuntos**. Dos sucesos $A$ y $B$ son disjuntos o mutuamente excluyentes si:

$$A \cap B = \emptyset.$$

Un suceso $A$ **está contenido** en otro suceso $B$, $A \subset B$ si siempre que se
produce $A$, se produce también $B$.

**Diferencia de sucesos**. El suceso diferencia $A-B$ es el suceso que se produce cuando 
ocurre $A$ y no ocurre $B$. Se verifica:

$$A-B = A\cap B^c.$$

La figura \@ref(fig:conjuntos) muestra una representación de sucesos disjuntos, sucesos incluidos en otros sucesos y diferencia de sucesos.

```{r, conjuntos, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.5, fig.align='center', fig.cap="Representación de sucesos disjuntos (izquierda), suceso contenido en otro suceso (centro) y diferencia de sucesos (derecha)", out.width="90%"}

grid.newpage()
pushViewport(viewport(layout=grid.layout(1, 3)))

pushViewport(viewport(layout.pos.col=1,
                      layout.pos.row=1))

grid.text(label = expression(A*intersect(B)==symbol("\306")), y = 0.8, gp=gpar(fontfamily="serif"))
pushViewport(viewport(width = 0.8, height = 0.5))
grid.rect( gp = gpar(lwd = 3))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=1.5) )
venn.plot <- draw.pairwise.venn(50, 30, 0,
                                category = c("A", "B"),
                                cex = 0,
                                cat.dist = -0.05,
                                fill = c("lightsteelblue", "lightsteelblue"),
                                alpha = c(1,1))
grid.draw(venn.plot)


popViewport(2)

pushViewport(viewport(layout.pos.col=2,
                      layout.pos.row=1))

grid.text(label = expression(A*symbol("\314")*B), y = 0.8, gp=gpar(fontfamily="serif"))
pushViewport(viewport(width = 0.8, height = 0.5))
grid.rect( gp = gpar(lwd = 3))

grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=1.5) )
pushViewport(viewport(width = 0.9, height = 0.7))
venn.plot <- draw.pairwise.venn(10, 30, 10,
                                category = c("A", "B"),
                                cex = 0,
                                cat.dist = -0.05,
                                fill = c("steelblue", "lightsteelblue"),
                                alpha = c(1,1))

grid.draw(venn.plot)


popViewport(3)

pushViewport(viewport(layout.pos.col=3,
                      layout.pos.row=1))

grid.text(label = expression(A-B==A*intersect(B^c)), y = 0.8, gp=gpar(fontfamily="serif"))
pushViewport(viewport(width = 0.8, height = 0.5))
grid.rect( gp = gpar(lwd = 3))

grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=1.5) )
pushViewport(viewport(width = 0.9, height = 0.9))

venn.plot <- draw.pairwise.venn(50, 30, 10,
                                category = c("A", "B"),
                                cex = 0,
                                cat.dist = 0.05,
                                fill = c("lightsteelblue", "steelblue"),
                                alpha = c(1,1))
grid.draw(venn.plot)
grid.text(label = expression(A-B), x = 0.25, y = 0.5, gp=gpar(fontfamily="serif"))

```

```{block2, type='rmdejemplo'}
El suceso "ser hombre" y el suceso "ser mujer" son sucesos disjuntos ($H \cap M = \emptyset$); El suceso "ser mujer joven" está incluido en el suceso "ser mujer", e incluye a las mujeres jóvenes; El suceso "Ser hombre joven", 
se podría representar como $J-M = J \cap M^c$.
```


**Partición del espacio muestral**. Dada una colección de sucesos $A_1, A_2, \ldots$, 
decimos que es una partición del espacio muestral $\Omega$ si:

-  $A_1, A_2, \ldots: \quad A_i \subset \Omega \; \forall i$ 
- $A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j$,
- $\displaystyle \underset{i}\bigcup A_i = \Omega$.

La figura \@ref(fig:particion) representa gráficamente una partición del 
espacio muestral $\Omega$ en cinco sucesos $A_1, \ldots, A_5$. 

Nótese que los sucesos elementales de un experimento $\omega_i$ constituyen una
partición del espacio muestral.

```{r, particion, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación de una partición del espacio muestral", out.width="70%", message=FALSE}

library(gridExtra)
library(grid)
grid.newpage()
cuantos <- 5
ind <- 1
for (i in seq(0, 1, 1/cuantos)){
  grid.rect(i+(1/(cuantos*2)), 0.5, 1/cuantos, 1)
  grid.text(bquote(A[.(ind)]), i+(1/(cuantos*2)), 0, vjust=-1, gp = gpar(fontfamily = "serif", cex = 2))
  ind <- ind +1
}
grid.text(expression(Omega), 0.05, 0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex = 2) )
grid.rect(gp = gpar(lwd = 6, fill = "transparent"))
# g = ellipseGrob(0.5, 0.5, size = 50, 
#                 ar = 2, 
#                 angle = 0.1,
#                 def = "npc", gp = gpar(fill = "transparent", lwd = 2))
# grid.draw(g)
# grid.text("B", 0.3, 0.6, gp=gpar(cex=2))
```


De la teoría de conjuntos se deducen fácilmente las siguientes propiedades
de las operaciones con sucesos:

- **Conmutativa**: 
    - $A\cup B= B\cup A$.
    - $A\cap B= B\cap A$.
- **Asociativa**:
    - $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$.
    - $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$.
- **Distributiva**:
    - $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
    - $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
- **Leyes de De Morgan**:
    - $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
    - $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
- $A \cup A = A \cap A = A \cup \emptyset = A \cap \Omega = A$.
- $A \cup \Omega = \Omega$.
- $A \cap \emptyset = \emptyset$.




### Clasificación de los espacios muestrales

La primera clasificación que haremos de un espacio muestral es en función 
de su _tamaño_:

- **Finito**: consta de un número finito de sucesos elementales. Por ejemplo
el lanzamiento de un dado: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$.

- **Infinito numerable**: el resultado del experimento tiene (al menos teóricamente)
infinitos posibles resultados, pero se pueden numerar. Por ejemplo el número 
de piezas correctas hasta que se
produce un fallo: $\Omega = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$.

- **Infinito no numerable**: el resultado del experimento tiene 
infinitos posibles resultados, que no se pueden numerar. 
Por ejemplo el tiempo hasta el fallo en el
ejemplo 
anterior^[Nótese que si midiéramos el tiempo, por ejemplo, en horas, sí podríamos numerar los posibles valores (0, 1, ...). Pero esto es solo debido a la precisión con la que medimos, ya que teóricamente podríamos añadir toda la precisión necesaria. Esto será importante en los siguientes capítulos cuando diferenciemos las variables aleatorias discretas y continuas.]: 
$\Omega = [0, \infty)$.

```{block2, type = 'rmdejemplo'}
Otro ejemplo de espacio muestral infinito no numerable consistiría en 
el resultado de un experimento consistente en realizar
una medición de una magnitud continua que pueda tomar cualquier valor
entre, por ejemplo, 10 y 20: $\Omega = x \in \mathbb{R}, 10 \leq x \leq 20$.
Una partición de este espacio muestral sería $A_1 = [10, 15]$, $A_2 = (15, 20]$.)
Nótese que los números (reales, naturales, etc.) son también conjuntos, y por tanto
las operaciones relacionadas con sucesos se extienden fácilmente a estos conjuntos.
```



Definimos una sigma álgebra de sucesos $\sigma$-álgebra o $\aleph$ (_aleph_) como un 
conjunto de sucesos que verifican las siguientes propiedades:

- Pertenecen a $\aleph$,
- Si un suceso pertenece a $\aleph$, entonces su suceso complementario también pertenece a $\aleph$,
- Si $\{A_i\}$ es un conjunto de sucesos en $\aleph$, entonces la unión $\displaystyle \underset{i}\bigcup A_i$ y
la intersección $\displaystyle \underset{i}\bigcap A_i$ pertenecen a $\aleph$.


Nótese la diferencia entre $\Omega$ y $\aleph$. Mientras el espacio muestral $\Omega$ es el 
conjunto de todos los sucesos elementales del experimento, la $\sigma$-álgebra de 
sucesos $\aleph$ es el conjunto de todos los sucesos que podemos crear a partir
del espacio muestral $\Omega$ y las operaciones de unión, intersección y
complementariedad con esos sucesos. El par $(\Omega, \aleph)$ se dice que es un **espacio probabilizable**.

```{block2, type = 'rmdejemplo'}
Observamos al azar el tipo de participante en el estudio de uno tomado al azar.
Entonces los posibles resultados del _experimento_ o 
sucesos elementales es:

$$\Omega = \{I, T, P\}$$

Haciendo todas las operaciones posibles de unión, intersección y complementariedad,
podemos llegar fácilmente a la siguiente $\sigma$-álgebra de 
sucesos:

$$\aleph = \{I, T, P, (I \cup T),(I \cup P), (T \cup P), \emptyset, \Omega \}$$
```





## Definiciones de probabilidad y sus propiedades


Ya hemos dicho anteriormente que la probabilidad es una medida del grado de 
incertidumbre sobre el resultado de un experimento. Ahora necesitamos formalizar 
la definición de probabilidad con el fin de trabajar matemáticamente
con ella.


### Definición clásica o de Laplace

La definición _clásica_ de la probabilidad, también conocida
como definición de 
Laplace^[Pierre-Simon Laplace (1749--1827), astrónomo y matemático francés. https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace.], 
requiere disponer de un espacio muestral finito
referido a un experimento en el que todos los resultados posibles son igualmente probables.
Bajo estas condiciones, la probabilidad de un suceso cualquiera $A$ se obtiene 
como el cociente entre el número de casos _favorables_ al suceso, dividido
por el número total de casos _posibles_ del experimento. Así:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}}.$$



Utilizaremos la definición de Laplace para asignar probabilidades a sucesos
cuando tengamos una enumeración completa del espacio muestral como en los 
ejemplos anteriores.

```{block2, type = 'rmdejemplo'}
En el lanzamiento de un dado equilibrado de seis caras, la probabilidad de sacar
un seis es igual al cociente entre los casos favorables a sacar un 6 (1) y los
casos posibles del experimento (6):

$$A:\text{ Sacar un 6 en el lanzamiento de un dado}$$

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}}= \frac{1}{6} \simeq 0.1667.$$
```

```{block2, type='rmdejemplo'}
En el ejemplo de los sujetos en estudio, la probabilidad de que
un sujeto al azar sea investigador es el cociente entre los casos favorables
a ser investigador (4) y los casos posibles (52):

$$P(I) = \frac{4}{52} = 0.0769$$
```

```{block2, type='rmdcafe'}
Casi dos siglos antes de que Laplace publicara su _Teoría Analítica de las probabilidades_, Pascal y Fermat intercambiaron correspondencia para intentar 
resolver los problemas que el _Caballero de Méré_ le planteó al primero. Este
personaje era un jugador profesional de la época que planteaba estos problemas
en términos de si tenía ventaja al apostar a unos u otros resultados 
en el lanzamiento de dos dados. Este fue para muchos el origen de la teoría
de la probabilidad. Una historia más detallada puede encontrarse en 
@E-51-COR-teo-2010.
```


### Definición frecuentista o empírica {#ch07-defempirica}

La definición clásica de probabilidad se encuentra con dificultades para
asignar probabilidades a medida que los experimentos alcanzan cierta complejidad.
Por una parte, no siempre tenemos una descripción completa del espacio muestral,
o, simplemente, es infinito, con lo cual no podemos aplicar la fórmula de Laplace.
otras veces no tenemos la información disponible necesaria. Pensemos en la 
situación habitual descrita en la figura \@ref(fig:dogma1) al principio de este
capítulo. Queremos asignar
una probabilidad a un suceso referido a nuestra **población** objeto de estudio. 
Sin embargo, no tenemos información de los casos posibles y favorables a la
ocurrencia del suceso. A lo sumo, tenemos acceso a una **muestra** de datos 
de la población, a la que podemos aplicar el experimento y obtener las 
**frecuencias** de ocurrencia de los sucesos en cuestión. Pues bien, la 
definición frecuentista nos dice que si observamos la frecuencia
de ocurrencia del suceso $A$, llamémosle $n(A)$, en un número grande 
de experimentos $n$, la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso $A$ _tiende_
a la probabilidad del suceso $A$. Matemáticamente:

$$P(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}.$$

En experimentos fáciles de realizar, se puede comprobar _empíricamente_. Por 
ejemplo, podemos lanzar una moneda e ir anotando la frecuencia 
de caras con cada repetición. Este tipo de experimentos son también
fáciles de realizar mediante simulación. En la siguiente aplicación
se puede simular la elección de elementos de un conjunto^[Si no estás leyendo la versión html del libro puedes ver la aplicación en el siguiente enlace:  https://elcano.shinyapps.io/probability_as_relative_frequency/].


```{r, echo=FALSE}
knitr::include_app("https://elcano.shinyapps.io/probability_as_relative_frequency/", 
  height = "800px")
```


En la práctica, utilizaremos esta definición para asignar probabilidades
a sucesos en base a datos históricos, experiencia previa, etc. En muchas
ocasiones, estos datos están disponibles en forma de porcentajes, y bastará
con dividir por 100 para transformarlos en una frecuencia relativa, que
se tomará como probabilidad.

```{block2, type='rmdejemplo'}
En nuestro ejemplo de los sujetos en estudio, podemos
disponer de datos históricos que nos digan que 17 de 100 sujetos
varones respondieron al tratamiento en un estudio similar. De ahí podemos
asignar al suceso $A=$ "el sujeto masculino responde al tratamiento" una 
probabilidad $P(A)=\frac{17}{100} \approx \frac{1}{6}$, equivalente a 
"uno de cada 6" que se decía en 
la descripción del ejemplo.
```

```{block2, type='rmdejemplo'}
Históricamente, el 1% de las piezas producidas en una fábrica tienen algún
tipo de defecto. Entonces, la probabilidad de que una pieza tomada al azar
tenga defecto ($D$) es $P(D) = \frac{1}{100} = 0.01$.
```





### Definición subjetivista

En las dos definiciones anteriores de probabilidad, hemos asignado probabilidades
a sucesos en base a unos determinados datos, bien de recuento de posibilidades,
bien de frecuencias relativas. En ocasiones, no se dispone de absolutamente
ningún dato de este tipo. Entonces las probabilidades se han de asignar de
forma subjetiva, fijadas por un individuo en particular como su 
_grado de creencia_ acerca de la ocurrencia de un suceso. El individuo fija 
un valor entre cero y uno en base a la evidencia de que dispone, que puede
incluir juicios personales, y también interpretaciones _a priori_ sobre las dos
concepciones anteriores de la probabilidad, clásica y frecuentista. Por ejemplo,
puede considerar la frecuencia relativa de fenómenos similares, y combinar esta
información con sus conocimientos y percepciones sobre la materia de estudio.

El enfoque subjetivista tiene especial interés en fenómenos que no se prestan
a repetición, así como en métodos de estadística Bayesiana, donde se fija
una probabilidad _a priori_ de los parámetros de la 
población^[En el enfoque _frecuentista_, que es el que sigue este libro, los parámetros de la población son fijos, aunque desconocidos.]. 
Existen métodos 
específicos para asignar probabilidades subjetivas 
de forma racional, que quedan fuera de los objetivos de este libro, véase, por
ejemplo, @deFinetti1992.



```{block2, type='rmdejemplo'}

¿Cuál es la probabilidad de que me contraten en mi primera entrevista de trabajo?
¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto de inversión determinado sea rentable?
Podemos _asignar_ probabilidades, pero no tenemos información previa acerca
de las frecuencias relativas o casos favorables/posibles.
```



### Definición en ISO 3534-1

La definición estandarizada que proporciona la norma UNE-ISO 3534-1 es la
siguiente para la probabilidad de un suceso $A$:

> **Probabilidad de un suceso $A$; $P(A)$**
> 
> Número real del intervalo cerrado $[0, 1]$ asignado a un suceso
>
> --- ISO 3534-1 2.5

Nótese que en el estándar no se entra en detalles matemáticos por el bien
de la aplicabilidad en los procesos empresariales. No obstante, esta 
definición es en esencia compatible y congruente con el resto de definiciones 
de probabilidad.




### Definición axiomática

Si bien todas las definiciones anteriores son válidas y útiles en determinados
contextos, todas presentaban problemas para desarrollar una teoría de 
probabilidades que se pudiera aplicar a cualquier espacio probabilizable. La 
siguiente definición 
axiomática^[O axiomática de _Kolmogorov_, por Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903--1987), matemático ruso.] 
resolvió estos problemas.



Una probabilidad $\wp$ es una función:

$$
\begin{split}
\wp: & \; \aleph \longrightarrow [0, 1]\\
& A \longrightarrow P(A)
\end{split}
$$ 

que cumple:

1. **Primer axioma**: $\forall A \in \aleph \; \exists \; P(A) \geq 0$.

2. **Segundo axioma**: $P(\Omega) = 1$.

3. **Tercer axioma**: Dada la sucesión $A_1, \ldots, A_i, \ldots: A_i \in \aleph \; \forall\, i, A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j$, se cumple:

$$P \left (\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} P(A_i).$$

En lenguaje natural, el primer axioma indica que a cada suceso le podemos asignar un número no negativo llamado "probabilidad del suceso $A$"; el segundo axioma asigna al suceso seguro una
probabilidad igual a 1; el tercer axioma establece la forma de calcular probabilidades a la 
unión de sucesos **disjuntos** o mutuamente excluyentes, mediante la suma de sus 
respectivas probabilidades. Nótese que la formulación del axioma es válida para espacios
muestrales infinitos (numerables y no numerables).




A partir de estos tres axiomas, se deducen los siguientes teoremas:


1. Dados $n$ sucesos disjuntos dos a dos $A_1, \ldots, A_n: A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j$:

$$P \left (\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i \right ) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i).$$

2. $P(A^c)=1-P(A)$.

3. $P(\emptyset) = 0$.

4. Dados $A_1, A_2: A_1 \subset A_2 \implies P(A_1) \leq P(A_2)$.

5. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

6. $P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i) - \sum\limits_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum\limits_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) -$    
$- \ldots + (-1)^{n-1} P \left(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\right ).$

El primer teorema particulariza el tercer axioma a un conjunto finito de sucesos disjuntos del espacio muestral. El segundo teorema es una de las propiedades que más aplicaremos en cálculo
de probabilidades, y nos indica cómo calcular la probabilidad de un suceso restándole a 1 la probabilidad de su complementario. El tercer teorema es una consecuencia del anterior y del primer axioma, por los cuales la probabilidad del suceso imposible es cero. El cuarto teorema es
de vital importancia cuando trabajemos con variables aleatorias y nos viene a decir que si un 
suceso está contenido en otro, la probabilidad del primero no puede ser mayor que la del segundo.
Los teoremas quinto y sexto nos permiten calcular probabilidades de la unión de cualesquiera
conjuntos, sean o no disjuntos. Una consecuencia fundamental de las propiedades de la probabilidad es:

$$ \boxed{0 \leq P(A) \leq 1}.$$


La demostración de estos teoremas se puede encontrar, entre otros, en 
@ugarte2015. Asímismo, se puede comprobar fácilmente cómo las definiciones clásicas y frecuentistas cumplen todas estas
propiedades y por lo tanto son coherentes con la definición axiomática de la probabilidad.


```{block2, type='rmdejemplo'}


_Lanzamiento de un dado de seis caras_. Sean los siguientes sucesos:

- $A_1:$ "número impar"; $A_1 = \{1, 3, 5\}$.
- $A_2:$ "número par"; $A_2 = \{2, 4, 6\}$.
- $A_3:$ "número mayor que 4"; $A_3 = \{5, 6\}$.
- $A_4:$ "número menor o igual que 4"; $A_4 = \{1, 2, 3, 4\}$.

Podemos calcular cualquiera de estas probabilidades por la definición de Laplace, ya
que los resultados elementales del experimento son equiprobables. Así:

$$P(A_1) = \frac{1}{2}=0.5=P(A_2); P(A_3) = \frac{2}{6}\simeq 0.3333; P(A_4)=\frac{4}{6}\simeq 0.6667.$$

Por simple enumeración de los casos posibles podemos calcular las probabilidades de los siguientes sucesos:

- $A_1 \cup A_3:$ "número impar o mayor que cuatro"; $A_1 \cup A_3=\{1,3,5,6\}$; $P(A_1 \cup A_3)=\frac{4}{6} \simeq 0.6667$.

- $A_1 \cap A_3:$ "número impar y mayor que cuatro"; $A_1 \cap A_3=\{5\}$;
$P(A_1 \cap A_3)=\frac{1}{6} \simeq 0.1667$.

- Y así sucesivemente para cada posible suceso $A$ subconjunto del espacio muestral $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Ahora bien, también podemos aplicar las propiedades de la probabilidad sin necesidad de enumerar
o contar todas las posibilidades. Por ejemplo, conocidos $P(A_1), P(A_3)$ Y $P(A_1\cap A_3)$:

- $P(A_1 \cup A_3)=P(A_1) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_3) = 0.5 + 0.3333 - 0.1667 \simeq 0.6667$,

que conduce, obviamente, al mismo resultado. A medida que aumentan la complejidad de los experimentos, con espacios muestrales más grandes, o incluso infinitos, se hace dificultoso o imposible trabajar con enumeraciones, y es donde hay que aplicar la defición axiomática de la probabilidad.

```

```{block2, type='rmdejemplo'}
En nuestro ejemplo del estudio, podríamos estar
interesados en el suceso "ser mujer o joven". Este suceso se 
correspondería con el suceso $M \cup J$. Para calcular esta probabilidad,
tendríamos en cuenta, según los datos del ejemplo, que $P(M) = \frac{1}{2}=0.5$, $P(J) = \frac{13}{52}=0.25$, y $P(M \cap J)=\frac{5}{52}\simeq 0.0962$. Entonces:

$$P(M \cup J)=P(M)+P(J)-P(M\cap J)=0.5+0.25-0.0962 \simeq 0.6538.$$

```




En los anteriores ejemplos hemos utilizado solamente el teorema referido
a la probabilidad de la unión de sucesos. El teorema de la probabilidad
del suceso complementario va a ser la propiedad que más utilizaremos en
cálculo de probabilidades, dado que, en muchas ocasiones, es más sencillo
abordar el problema desde el punto de vista del suceso complementario.
Un ejemplo es la _paradoja de los cumpleaños_. 


```{block2, type='rmdcafe'}
Si el día de nuestro cumpleaños asistimos a algún evento en el que haya
más de 30 personas, es muy probable que nos canten el cumpleaños feliz
a más de una persona.
Supongamos una clase de 30 alumnos. 
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos alumnos
cumplan años el mismo, día?. 
Abordar el problema directamente implicaría gran cantidad 
de consideraciones y costosos cálculos hasta llegar a la solución, porque
habría que considerar todos los casos posibles y después calcular probabilidades
de uniones e intersecciones. Sin embargo,
se resuelve de forma casi inmediata sin consideramos la probabilidad del suceso
complementario. Es decir, si:

$A:$ Al menos dos personas de un grupo de 30 cumplen años el mismo día,

entonces el suceso complementario es:

$A^c$: No hay dos personas en un grupo de 30 que cumplen años el mismo día.

Nótese cómo la probababilidad sería igual a 1 si el grupo de personas fuera 
de 365 personas o 
más^[Si no tenemos en cuenta los años bisiestos.], 
ya que en ese caso el suceso sería un suceso seguro. En este caso, el espacio muestral
estará compuesto por el número de maneras que tendríamos de ordenar 30
fechas de nacimiento dentro de un año (día-mes), para un conjunto total de 365 días 
diferentes que tiene el año. Obviamente se pueden repetir las fechas, y por
tanto el número total de casos posibles se corresponde con las variaciones con 
repetición de 365 elementos tomados de 30 en 30:

$$\mathit{VR}_{m,n} = m^n = 365^{30} \simeq  7.392\cdot 10^{76}.$$

Para calcular el número de casos favorables a que nadie cumpla años el mismo día, fijamos el 
cumpleaños de la primera persona. Entonces la siguiente persona pueden cumplir años cualquiera
de los 364 días restantes; fijados los dos primeros, la tercera persona puede cumplir años cualquiera de los 363 días restantes, y así sucesivamente. Por tanto, los casos favorables son las variaciones (sin repetición):

$$\mathit{V}_{m,n}=365\times 364 \times \ldots \times (365-30+1) \simeq 2.171\cdot 10^{76}$$

y entonces:

$$P(A) = 1-P(A^c) = 1- \frac{2.171\cdot 10^{76}}{7.392\cdot 10^{76}}\simeq 0.7063.$$
Intuitivamente nos parecería una probabilidad demasiado alta para un grupo tan pequeño de personas,
por eso nos sorprendemos cuando escuchamos un _cumpleaños feliz_ el día de nuestro cumpleaños en un lugar concurrido y no es para nosotros. Como vemos, no es tan difícil.
```

```{block2, type='rmdpractica'}
Para obtener los casos favorables, si intentamos utilizar la fórmula de
las variaciones utilizando los factoriales (ver apéndice \@ref(combinatoria)), 
la calculadora y el software pueden devolver un error, por no poder calcular
el factorial de 365.

**HOJA DE CÁLCULO**

Disponemos en el rango `A1:A30` los números del 365 (m) al 336 (m - n + 1). Entonces
podemos obtener la probabilidad del ejemplo como:

`=1-PRODUCTO(A1:A30)/(365^30)`

**MAXIMA**

Maxima sí puede trabajar con números grandes, la siguiente expresión devuelve
la probabilidad pedida:

`1 - (factorial(365)/factorial(365-30))/365^30;`

**R**
  
El siguiente código realiza los cálculos paso a paso y devuelve la probabilidad pedida. Cambiando el valor `30` por otro número de personas cualquiera, se 
puede ver cómo aumenta la probabilidad.

```


```{r, echo=TRUE}
ncumple <- 30
cposibles <- 365^ncumple
cfavorables <- prod(365:(365 - ncumple + 1))
prob_ninguno <- cfavorables/cposibles
prob_alguno <- 1 - cfavorables/cposibles
prob_alguno
```



Una vez definida la medida de probabilidad $\wp$ con los axiomas y propiedades
anteriores, llamamos **espacio de probabilidad** a la terna:

$$(\Omega, \aleph, \wp).$$

El estándar UNE-ISO 3534-1 recoge la definición axiomática de la probabilidad
de la siguiente forma:

> **sigma álgebra de sucesos; $\sigma$-álgebra; sigma campo; $\sigma$-campo; $\aleph$** 
>
> Conjunto de sucesos con las siguientes propiedades:
>
> a) Pertenecen a $\aleph$;
> 
> b) Si un suceso pertenece a $\aleph$, entonces su suceso complementario también pertenece a $\aleph$;
> 
> c) Si $\{A_i\}$ es un conjunto de sucesos en $\aleph$, entonces la unión $\displaystyle\underset{i}\bigcup A_i$ y
> la intersección $\displaystyle \underset{i}\bigcap A_i$ de los sucesos pertenecen a $\aleph$.
>
> --- ISO 3534-1 2.69

> **Medida de probabilidad $\wp$**
>
> Función no negativa definida sobre la sigma álgebra de sucesos tal que 
>
> a) $\wp(\Omega) = 1$
>
> donde $\Omega$ denota el espacio muestral
> 
> b) $\wp \left (\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \wp(A_i)$
>
> donde $\{A_i\}$ es una secuencia de pares de sucesos disjuntos
>
> --- ISO 3534-1 2.70


> **Espacio de probabilidad (o espacio probabilístico); $(\Omega, \aleph, \wp)$**
>
> Espacio muestral, una sigma álgebra de sucesos asociada, y una medida de probabilidad.
>
> --- ISO 3534-1 2.68







## Probabilidad condicionada y sus consecuencias

### Probabilidad condicionada



El concepto de **probabilidad condicionada** es uno de los más importantes
en teoría de la probabilidad. En ocasiones, 
la ocurrencia o no de ciertos sucesos del espacio muestral puede estar afectada
por otros sucesos del espacio muestral. Por ejemplo, desde el punto de vista
de la definición de probabilidad de Laplace, en experimentos secuenciales
$A_1, \ldots, A_n$,
es posible que los resultados de los sucesivos experimentos influyan
en los resultados de los siguientes, y entonces
hablaremos, por ejemplo, de la probabilidad del suceso $A_2$ condicionada 
a que ha ocurrido el suceso $A_1$, y la calcularemos enumerando 
los casos favorables y los casos posibles bajo el supuesto de haber
sucedido $A_1$. Esta situación aparece, por ejemplo, en los problemas de urnas.
Desde el
punto de vista de la definición frecuentista de la probabilidad, podemos 
considerar un experimento en el que se observen un suceso $A$ en distintos
grupos o localizaciones, siendo $B$ el suceso que indica la pertenencia a 
ese determinado grupo o característica.
Se pueden considerar las frecuencias relativas del suceso $A$ sólo 
para aquellos experimentos en los que ha sucedido $B$, y llamar a estas 
frecuencias^[Nótese la analogía con las frecuencias condicionales utilizadas en el capítulo 3.] 
_frecuencias_ de $A$ _condicionadas_ a $B$, $fr_{A|B}$. 
Estas frecuencias relativas las podemos calcular dividiendo el número de veces que 
ocurren tanto $A$ como $B$ $(n_{AB})$ entre el número total de veces que ocurre $B$, $(n_{B})$:

$$fr_{A | B}=\frac{n_{AB}}{n_B}.$$

Ahora bien, como $fr_A= \frac{n_A}{n}$,  $fr_B= \frac{n_B}{n}$ y  $fr_{AB}= \frac{n_{AB}}{n}$,
se tiene:

$$fr_{A | B}=\frac{n\cdot fr_{AB}}{n\cdot fr_B}=\frac{fr_{AB}}{fr_B}.$$

Es decir, la frecuencia condicionada es igual a la frecuencia conjunta dividido
por la frecuencia marginal del suceso condicionante. Así pues, dado que para un número grande de realizaciones del experimento, las 
frecuencias relativas equivalen a la probabilidad, y podemos definir la 
probabilidad del suceso $A$ condicionada al suceso $B$ como:

$$\boxed{P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}},$$

siempre y cuando $P(B) > 0$. Se demuestra 
fácilmente^[Comprobando que se cumplen los tres axiomas de la definición axiomática.] 
que esta definición de probabilidad condicionada cumple
que dado un suceso $A \in \aleph$, $(\Omega, \aleph, \wp(\cdot|A)$ es un espacio de
probabilidad.



```{block2, type='rmdejemplo'}

La tabla \@ref(tab:fcond) contiene las frecuencias con las que se
han observado los sucesos _aprobar_ y _suspender_ dos elementos evaluables
de una asignatura: un examen y un trabajo.


Designemos $AE$ y $SE$ a los sucesos "aprobar el examen" y "suspender el examen" 
respectivamente, y $AT$ y $ST$ a los sucesos "aprobar el trabajo" y "suspender"
el trabajo respectivamente. La probabilidad de aprobar el examen será:

$$P(AE)=\frac{40}{100} = 0.4.$$

Si incluimos más información a modo de condición, podemos calcular por ejemplo
la probabilidad de aprobar el examen condicionado a que se ha aprobado el trabajo:

$$P(AE | AT)=\frac{P(AE \cap AT)}{P(AT)}=\frac{30/100}{35/100} \simeq 0.8571 .$$

```


```{r, fcond, echo=FALSE}
dtable <- data.frame(ta = c(30, 5), ts = c(10, 55))
colnames(dtable) <- c("Trabajo aprobado", "Trabajo suspenso")
rownames(dtable) <- c("Examen aprobado", "Examen suspenso")
knitr::kable(dtable, caption = "Datos ejemplo probabilidad condicionada")
```


```{block2, type='rmdejemplo'}
En nuestro ejemplo de sujetos en estudio aparece la probabilidad 
condicionada de la siguiente forma. Se dice que uno de cada seis hombres responde al tratamiento.
Si definimos $S$ como el suceso "responder al tratamiento",
entonces $P(S|H)=\frac{1}{6}\simeq 0.1667$. Por otra parte, si quisiéramos calcular 
la probabilidad de que un sujeto sea mujer, condicionado a que
es joven, entonces $P(M | J)=\frac{P(M \cap J)}{P(J)} = \frac{5/52}{13/52}\simeq 0.3846$.
```





### Probabilidad de la intersección de sucesos

La definición de probabilidad condicionada a la que hemos llegado, nos
permite calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos
cualesquiera sin más que despejar de la fórmula. Además, tendremos dos formas
de calcularla, según conozcamos $P(A|B)$ o $P(B|A)$:

$$\boxed{P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=P(B|A)\cdot P(A)}.$$

Recuerda que $A \cap B$ significa _A_ **y** _B_, mientras que
$A|B$ significa _A_ **si** ocurre _B_.


```{block2, type='rmdejemplo'}
La probabilidad condicionada aparece en los muestreos sin reemplazamiento. Se suele
asociar a los problemas _de urnas_, o también a la extracción de cartas de una
baraja. Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de sacar dos figuras
seguidas de una baraja de cartas francesa, con 52 cartas en total de las cuales 
12 son figuras (J, Q, K de cada uno de los cuatro palos). Entonces, si definimos
$A_1$ como "sacar figura en la primera extracción" y $A_2$ como "sacar figura 
en la segunda extracción", entonces lo que buscamos es la probabilidad de que
ocurran los dos sucesos, $P(A_1 \cap A_2)$:

$$P(A_1 \cap A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2 | A_1)=\frac{12}{52}\cdot \frac{11}{51}=\frac{11}{221}\simeq 0.0498.$$
```

```{block2, type='rmdejemplo'}
En nuestro ejemplo de los sujetos en estudio, ¿cuál es la probabilidad de que un sujeto al azar sea mujer y además responda al tratamiento?

$$P(M \cap S) = P(S|M)\cdot P(M) = \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\simeq 0.1667.$$
```




A partir de la probabilidad condicionada se llega a la **regla de la cadena**
para calcular la probabilidad de la intersección de una serie de sucesos. La regla
consiste en ir multiplicando cada vez la probabilidad del suceso $A_i$ condicionada
a la intersección de todos los anteriores.

$$P\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i \right) = P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)\cdot\ldots\cdot P\left(A_n | \bigcap\limits_{i=1}^{n-1} S_i \right). $$

```{block2, type='rmdejemplo'}


Por ejemplo, en una urna hay 5 bolas rojas y 3 bolas blancas. Hacemos 3
extracciones. Si en una extracción sale blanca, devolvemos la bola
a la urna y metemos 2 bolas blancas adicionales. ¿Qué probabilidad
hay de sacar 3 blancas seguidas?

Si definimos los sucesos $A_1$, $A_2$ y $A_3$ como "sacar bola blanca en la primera,
segunda y tercera extracción respectivamente", entonces estamos buscando:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3),$$
que utilizando la regla de la cadena calcularemos como:

$$P(A_1)\cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2).$$

En la situación inicial hay 3 de ocho bolas blancas. En el segundo experimento,
si hemos sacado blanca, la devolvemos y añadimos dos más, es decir tenemos 5 de diez
bolas blancas. si la segunda vuelve a ser blanca, entonces en el tercer experimento 
tenemos 7 de 12 bolas blancas. Por lo tanto:

$$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)= \frac{3}{8}\cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{7}{12}=\frac{7}{64}\simeq 0.1094.$$
```


### Independencia de sucesos

Si bien en muchas ocasiones el conocimiento de ciertos eventos afectan a la 
probabilidad de ocurrencia de otros, esto no siempre tiene por qué ser así. 
En estos casos, diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento
de la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de aparición del otro.
Por tanto, en esos casos:

$$P(A|B) = P(A)\quad \text{y}\quad P(B|A) = P(B).$$

Entonces, por la propia definición de la probabilidad condicionada, se tiene que
si dos sucesos son independientes, entonces:

$$\boxed{P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}.$$
Esta fórmula, que es una definición en sí misma de independendencia de sucesos, nos 
proporciona también un método para comprobar si dos sucesos son independientes o no
conocidas las probabilidades de los mismos y la de la 
intersección^[Comprobar, por ejemplo, la independencia de los sucesos "aprobar el trabajo" y "aprobar el examen" en el ejemplo anterior.].

Para más de dos sucesos, la regla de la cadena explicada más arriba se
extiende inmediatamente de forma que la probabilidad de la intersección de $n$ sucesos independientes es el producto de sus probabilidades:

$$P(A_1\cap \ldots \cap A_n)=P(A_1) \cdot \ldots \cdot P(A_n).$$
Y en el caso particular de que los $n$ sucesos sean equiprobables, tales que $P(A_i) = p \;\forall i$, entonces:

$$P(A_1\cap \ldots \cap A_n)=p^n.$$

El lanzamiento sucesivo de una moneda o de un dado son claros ejemplos de sucesos independientes.

```{block2, type='rmdejemplo'}
En el lanzamiento de un dado dos veces seguidas (o lo que es lo mismo, en el lanzamiento 
de dos dados), el resultado del primero no influye en el segundo. Por tanto, la
probabilidad de sacar dos seises en el lanzamiento de dos dados es:

$$P(A_1 \cap A_2)= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\simeq 0.0278.$$
Nótese que podemos llegar fácilmente al mismo resultado enumerando los posibles resultados,
pero con más esfuerzo. Además, en espacios muestrales más grandes se complica
enormemente la enumeración.
```

### Probabilidad condicionada e independencia en ISO 3534-1

La norma UNE-ISO 3534-1 recoge las definiciones de probabilidad condicionada
e independencia de la siguiente forma:

> **Probabilidad condicionada; $P(A|B)$**
> 
> Probabilidad de la intersección de $A$ y $B$ dividida por la probabilidad de $B$.
>
> --- ISO 3534-1 2.6


> **Sucesos independientes**
> 
> Par de sucesos tal que la probabilidad de la intersección de los dos sucesos es el producto de las probabilidades individuales.
>
> --- ISO 3534-1 2.4




### Probabilidad total y fórmula de Bayes

La probabilidad condicionada nos permite calcular probabilidades de sucesos 
de los que tenemos información _parcial_, en el sentido de que conocemos
su probabilidad _condicionada_ a algún otro suceso del espacio muestral,
pero queremos saber la probabilidad _total_ del suceso, independientemente
de aquellos sucesos. Las condiciones para que podamos calcular la probabilidad
total de este suceso, llamémosle $B$, son:

- Disponer de una **partición** de sucesos del espacio muestral $A_1, A_2, \ldots, A_n$
tales que $A_i \cap A_j = \emptyset \; \forall i \neq j$ y $\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}\bigcup A_i} = \Omega$.

- Conocer las probabilidades de cada uno de esos sucesos que forman la partición, $P(A_i)$.

- Conocer las probabilidades del suceso de interés condicionadas a cada uno de los sucesos
que forman la partición del espacio muestral, es decir, $P(B|A_i)$.

Entonces, según el **teorema de la probabilidad total**, se verifica que:

$$\boxed{P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(B/A_i)\cdot P(A_i)}.$$
En efecto, podemos ver gráficamente en la figura \@ref(fig:ptotal) que cada sumando de la 
fórmula de la probabilidad total se corresponde con las intersecciones
del suceso de interés $B$ con cada uno de los sucesos de la partición $A_i$. Como
estas intersecciones son sucesos disjuntos, la probabilidad de su unión es la
suma de sus probabilidades por las propiedades de la probabilidad.

```{r, ptotal, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación del espacio muestral particionado más otro suceso", out.width="70%", message=FALSE}

library(gridExtra)
library(grid)
grid.newpage()
grid.rect(gp = gpar(lwd = 4, fill = "yellow2", alpha=0.5))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=2) )
cuantos <- 5
ind <- 1
for (i in seq(0, 1, 1/cuantos)){
  grid.rect(i+(1/(cuantos*2)), 0.5, 1/cuantos, 1, gp = gpar(fill = "transparent"))
  grid.text(bquote(A[.(ind)]), i+(1/(cuantos*2)), 0, vjust=-1)
  ind <- ind +1
}
g = ellipseGrob(0.5, 0.5, size = 50, 
                ar = 2, 
                angle = 0.1,
                def = "npc", gp = gpar(fill = "lightsteelblue", lwd = 3, alpha = 0.5))
grid.draw(g)
grid.text("B", 0.3, 0.6, gp=gpar(cex=2))


```




El desarrollo de la fórmula de la probabilidad condicionada a partir de la situación
descrita para calcular la probabilidad total, nos permite _darle la vuelta_ 
a la condición y encontrar probabilidades de los sucesos de la partición $A_i$ condicionados
a que se haya producido el suceso $B$. Partimos de la propia definición de $P(A_i|B)$:

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}.$$
Pero a su vez, la probabilidad del numerador la podemos escribir como $P(A_i \cap B)=P(B|A_i)\cdot P(A_i)$, y la probabilidad del denominador, aplicando la fórmula de la probabilidad total, es $P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(B/A_i)\cdot P(A_i).$ Lo que da lugar
a la fórmula de Bayes o **Teorema de Bayes**:

$$\boxed{P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(B/A_i)\cdot P(A_i)}},$$
siempre que $P(B>0)$, que se puede expresar de forma simplificada como:

$$\boxed{P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}}$$


```{block2, type='rmdejemplo'}

En una empresa que produce componentes electrónicos tomamos 5 lotes de producto,
cada uno compuesto de 50 componentes. Hay dos tipos de lotes. Los del
tipo 1 ($A_1$) tienen 48 componentes correctos y 2 defectuosos. Los del tipo 2 ($A_2$)
tienen 45 componentes correctos y 5 defectuosos. Tenemos 3 lotes tipo 1 y 2
lotes tipo 2. Si se toma uno de los 5 lotes al azar y se saca de éste
una pieza, ¿qué probabilidad hay de que ese componente sea defectuoso?

La figura \@ref(fig:ptotalej) representa la partición del espacio muestral de
este ejemplo.

En este ejemplo se dan todos los elementos que habíamos descrito para 
calcular la probabilidad total del suceso $B:$ "el componente es defectuosos".
Tenemos información parcial, en el sentido de que conocemos las probabilidades
de ser defectuoso para cada uno de los tipos de lote, es decir $P(B|A_1)=\frac{2}{50}=0.04$
y $P(B|A_2)=\frac{5}{50}=0.1$. También conocemos las probabilidades de los
dos sucesos que constituyen la partición, $P(A_1) = \frac{3}{5}=0.6$ y 
$P(A_2) = \frac{2}{5}=0.4$. Entonces, por el teorema de la probabilidad total:

$$P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1) + P(B|A_2)\cdot P(A_2)= \\=0.04\cdot 0.6 + 0.1\cdot 0.4=0.064.$$
  
Supongamos ahora que se extrae del conjunto de todos los lotes un componente al azar,
y resulta que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que esa pieza provenga de un
lote del tipo 1? 

Nótese que ahora lo que buscamos es $P(A_1|B)$, como conocemos las $P(B|A_i)$ y 
$P(A_i)$, entonces podemos aplicar la fórmula de Bayes. Como ya hemos calculado
antes la probabilidad total de $B$, podemos usar la fórmula _abreviada_:

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)\cdot P(A_1)}{P(B)}=\frac{0.04\cdot 0.6}{0.064}=0.375.$$
```

```{r, ptotalej, echo=FALSE,fig.width=6, fig.asp=0.6, fig.align='center', fig.cap="Representación del espacio muestral del ejemplo de los componentes electrónicos", out.width="70%"}

library(gridExtra)
library(grid)
grid.newpage()
grid.rect(gp = gpar(lwd = 4, fill = "yellow2", alpha=0.5))
grid.text(expression(Omega), 0.05,0.95, just = c("left", "top"), gp = gpar(cex=2) )
cuantos <- 2
ind <- 1
for (i in seq(0, 1, 1/cuantos)){
  grid.rect(i+(1/(cuantos*2)), 0.5, 1/cuantos, 1, gp = gpar(fill = "transparent"))
  grid.text(bquote(A[.(ind)]), i+(1/(cuantos*2)), 0, vjust=-1)
  ind <- ind +1
}
g = ellipseGrob(0.5, 0.5, size = 50, 
                ar = 2, 
                angle = 0.1,
                def = "npc", gp = gpar(fill = "lightsteelblue", lwd = 3, alpha = 0.5))
grid.draw(g)
grid.text("B", 0.3, 0.6, gp=gpar(cex=2))


```



```{block2, type='rmdejemplo'}
En nuestro ejemplo, conocíamos las probabilidades de que un sujeto responda al tratamiento
según si es hombre o mujer. También conocemos la probabilidad
de que el sujeto sea hombre o mujer. Entonces podemos calcular la probabilidad
de que un sujeto (independientemente de si es hombre o mujer) responda al tratamiento como:

$$P(S)=P(S|M)\cdot P(M) + P(S|H)\cdot P(H)= \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2} = 0.25.$$

Si un sujeto responde al tratamiento, la probabilidad de que sea mujer es:

$$P(M|S)=\frac{P(S|M)\cdot P(M)}{P(S)}=\frac{\frac{2}{6}\cdot 0.5}{0.25} \simeq 0.6667.$$
```






```{block2, type='rmdcafe'}
**El problema de Monty Hall**
  
_Monty Hall_ es el nombre del presentador del concurso televisivo 
estadounidense _Let's make a deal_
que se emitió entre 1963 y 1990. En alguna de las fases del programa,
el concursante tiene que elegir una entre tres puertas, dos de las cuales
tienen detrás una cabra, mientras que la otra tiene un coche.
Una vez elegida la puerta, el presentador muestra el contenido de una
de las otras dos puertas, que contiene una cabra. Entonces el concursante
tiene la opción de cambiar su puerta por la otra que queda cerrada. 
¿Es más ventajoso cambiar de puerta o quedarse con la elegida inicialmente?
¿O da lo mismo?

![](images/door.jpg)

La solución puede parecer contraintuitiva, aunque tanto desde el razonamiento
a través de las frecuencias como con un desarrollo matemático se llega a 
la misma conclusión. Y la clave está en la **probabilidad condicionada**.

```
El problema de _Monty Hall_ dio lugar a historias curiosas que se pueden consultar en 
@E-51-COR-teo-2010. Por ejemplo, el gran matemático Paul Erdös solo aceptó
como buena la solución real tras comprobarla en una simulación por ordenador.
Invito al lector a que concurse en [la aplicación del siguiente enlace](https://elcano.shinyapps.io/monty_hall)^[accesible en https://elcano.shinyapps.io/monty_hall] 
durante un buen número de jugadas y
compruebe a través de las frecuencias relativas qué estrategia ofrece mayor
probabilidad de ganar el coche.