Information Security.tex

\documentclass[10pt,a4paper,openany]{book}
%\documentclass[12pt,report,russian]{ncc}
%\usepackage{a4wide}
% Для векторых русских шрифтов в PDF не забудьте установить пакеты cm-super & cm-unicode
\usepackage{cmap}                       % Поддержка поиска русских слов в PDF (pdflatex)
\usepackage[X2, T2A]{fontenc}
%\usepackage[T2, OT1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,french,german,italian,latin,russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}                % Красная строка в первом абзаце
%\usepackage{misccorr}
%Может быть установлено 8pt, 9pt, 10pt, 11pt, 12pt, 14pt, 17pt, and 20pt
%\usepackage[12pt]{extsizes}
%\usepackage[mag=1000,a4paper,left=3cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,noheadfoot]{geometry}

% Подключение amsmath также даёт поддержку автоматических \dots
% см. http://tex.stackexchange.com/questions/77737/dots-versus-ldots-is-there-a-difference
% см. http://tex.stackexchange.com/questions/117730/what-is-the-difference-between-ldots-and-cdots
\usepackage{amsmath} % разрешить \texttt и аналогичные в формулах
\usepackage{amssymb} % дополнительные математические символы
\usepackage{graphicx} % поддержка изображений

%\usepackage{amsfonts, eucal, bm, color, }

\usepackage{algorithm, algorithmic}     % 'algorithm' environments
\floatname{algorithm}{Алгоритм}

\usepackage{arydshln}                   % dash lines in tables
\usepackage{caption}                    % titles for figures
\usepackage{csquotes}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}                   % кастомизация itemize/enumerate, напр. отказ от indent
\usepackage{fancybox}                   % страница в рамке
\usepackage{float}			% sub figures
\usepackage[totoc=true]{idxlayout}      % балансировка индексов на последней странице, индекс в ToC
\usepackage{lscape}                     % поддержка поворота страниц на 90 градусов для широких таблиц
\usepackage{multicol}                   % поддержка колонок
\setlength{\columnsep}{0.1cm}
\usepackage{multirow}                   % multirow cells in tables
%\usepackage{subfig}			% sub figures
\usepackage{subcaption}         % sub figures, incompatible with package{subfig}
\usepackage{tikz}                       % векторная графика внутри TeX
\usepackage{tablefootnote}		% footnote в таблицах
\usepackage{wrapfig}			% sub figures
\usepackage{textcomp}                   % \No support
\usepackage{cjhebrew}

\usepackage[left=1.84cm, right=1.5cm, paperwidth=14cm, top=1.8cm, bottom=2cm, height=19.8cm, paperheight=20cm]{geometry}
\usepackage[parentracker=true,
  backend=biber,
  hyperref=auto,
  language=auto,
  autolang=other,
  citestyle=gost-numeric,
  defernumbers=true,
  bibstyle=gost-numeric,
  sortlocale=ru_RU
]{biblatex}								% библиография по ГОСТу
\addbibresource{bibliography.bib}

\usepackage[xindy]{imakeidx}
\makeindex[program=texindy, options=-M mystyle.xdy -L russian -C utf8]

\let\oldindex\index

\makeatletter
\renewcommand{\index}[2][\imki@jobname]{%
	\oldindex[#1]{\detokenize{#2}}%
}
\makeatother

% поддержка гиперссылок; гиперссылки в pdf, должен быть последним загруженным пакетом
\ifx\pdfoutput\undefined
    \usepackage[unicode,dvips]{hyperref}
\else
    \usepackage[pdftex,colorlinks,unicode,bookmarks]{hyperref}
\fi

%\paperwidth=16.8cm \oddsidemargin=0cm \evensidemargin=0cm \hoffset=-0.33cm \textwidth=13.2cm
%\paperheight=24cm \voffset=-0.4cm \topmargin=0cm \headsep=0cm \headheight=0cm \textheight=19.8cm \footskip=0.9cm

% параметры PDF файла
\hypersetup{
    pdftitle={Защита информации},
    pdfauthor={Э. М. Габидулин, А. С. Кшевецкий, А. И. Колыбельников, С. М. Владимиров},
    pdfsubject=учебное пособие,
    pdfkeywords={защита информации, криптография, МФТИ}
}

% добавить точку после номера секции, раздела и~т.\,д.
\makeatletter
\def\@seccntformat#1{\csname the#1\endcsname.\quad}
\def\numberline#1{\hb@xt@\@tempdima{#1\if&#1&\else.\fi\hfil}}
\makeatother

% перенос слов с тире
%\lccode`\-=`\-
%\defaulthyphenchar=127

% изменить подписи к рисункам, таблицам и~т.\,д.
\captionsetup{labelsep=endash}          % Нумерационный заголовок и текст разделяются тире
\captionsetup{textformat=simple}        % Текст подписи будет напечатан как есть
%\captionsetup[table]{position=above}    % вертикальные отступы подписи таблицы для случая, когда подпись вверху
%\captionsetup[figure]{position=below}   % вертикальные отступы подписи рисунка для случая, когда подпись внизу

%% стиль главы и секции вверху страницы
%\pagestyle{fancy}
%%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}}
%\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}{}}
%
%%\fancyhf{}
%%\fancyfoot[СE,CO]{\thepage}
%%\fancyhead[LE]{\textsc{\nouppercase{\leftmark}}}
%\fancyhead[RO]{\textsc{\nouppercase{\rightmark}}}
%
%\fancypagestyle{plain}{ %
%\fancyhf{}                              % remove everything
%\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}      % remove lines as well
%\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}}

% запретить выходить за границы страницы
\sloppy

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}
\newtheorem{property}[theorem]{Утверждение}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
%\newtheorem{algorithm}[theorem]{Алгоритм}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
\newcommand{\proof}{\noindent\textsc{Доказательство.\ }}

%\newtheorem{example}{\textsc{\textbf{Пример}}}
\newcommand{\example}{\textsc{\textbf{Пример.}} }
\newcommand{\exampleend}

\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\newcommand{\set}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\group}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\E}{\group{E}}
\newcommand{\F}{\group{F}}
\newcommand{\GF}[1]{\group{GF}(#1)}
\newcommand{\Gr}{\group{G}}
\newcommand{\Mod}{\operatorname{mod}}
\newcommand{\R}{\group{R}}
\newcommand{\Z}{\group{Z}}
\newcommand{\MAC}{\textrm{MAC}}
\newcommand{\HMAC}{\textrm{HMAC}}
\newcommand{\PK}{\textrm{PK}}
\newcommand{\SK}{\textrm{SK}}

\newcommand{\langde}[1]{нем. \foreignlanguage{german}{\textit{#1}}}
\newcommand{\langfr}[1]{фр. \foreignlanguage{french}{\textit{#1}}}
\newcommand{\langen}[1]{англ. \foreignlanguage{english}{\textit{#1}}}
\newcommand{\langit}[1]{итал. \foreignlanguage{italian}{\textit{#1}}}
\newcommand{\langlat}[1]{лат. \foreignlanguage{latin}{\textit{#1}}}

% Русская типографика
\renewcommand\leq{\leqslant}
\renewcommand\geq{\geqslant}
\renewcommand\emptyset{\varnothing}
\renewcommand\kappa{\varkappa}
\renewcommand\epsilon{\varepsilon}
\renewcommand\phi{\varphi}
\renewcommand*{\No}{\textnumero}

% Для раздела с задачами
\newcommand{\taskinit}{\newcounter{task-section}\setcounter{task-section}{0}\newcounter{task-number}}
\newcommand{\tasksection}{\addtocounter{task-section}{1}\setcounter{task-number}{0}}
\newcommand{\tasknumber}{\textbf{\No\addtocounter{task-number}{1}\arabic{task-section}.\arabic{task-number}.}~~}

%Наконец, существует способ дублировать знаки операций, который мы приведём безо всяких пояснений. Включив
%\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{\mathsurround=0pt #1}}{}}
%в преамбулу, можно написать $a\hm+b\hm+c\hm+d$, при этом в формуле a\hm+b\hm+c\hm+d при переносе знак + будет продублирован.

% Дублирование символов бинарных операций ("+", "-", "="), набранных в строчных формулах, при переносе на другую строку:
%%begin{latexonly}
%\renewcommand\ne{\mathchar"3236\mathchar"303D\nobreak
%      \discretionary{}{\usefont
%      {OMS}{cmsy}{m}{n}\char"36\usefont
%      {OT1}{cmr}{m}{n}\char"3D}{}}
%\begingroup
%\catcode`\+\active\gdef+{\mathchar8235\nobreak\discretionary{}%
% {\usefont{OT1}{cmr}{m}{n}\char43}{}}
%\catcode`\-\active\gdef-{\mathchar8704\nobreak\discretionary{}%
% {\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char0}{}}
%\catcode`\=\active\gdef={\mathchar12349\nobreak\discretionary{}%
% {\usefont{OT1}{cmr}{m}{n}\char61}{}}
%\endgroup
%\def\cdot{\mathchar8705\nobreak\discretionary{}%
% {\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}}
%\def\times{\mathchar8706\nobreak\discretionary{}%
% {\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char2}{}}
%\mathcode`\==32768
%\mathcode`\+=32768
%\mathcode`\-=32768
%%end{latexonly}

\begin{document}
\selectlanguage{russian}

%\layout

% рамка границ страницы http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/fancybox/fancybox-doc.pdf
% сделать поиск по fancypage, thisfancypage
%\thisfancypage{}{\fbox}
%\thisfancypage{\fbox}{}
%\fancypage{}{\fbox}         % закомментировать
%\fancypage{\fbox}{\fbox}    % закомментировать
%\fancypage{\setlength{\fboxsep}{32pt}\fbox}{}

\title{Защита информации \\ Учебное пособие}
\author{Габидулин Эрнст Мухамедович \\ Кшевецкий Александр Сергеевич \\ Колыбельников Александр Иванович \\ Владимиров Сергей Михайлович}
\date{
 %   \textbf{\textsc{Черновой вариант. Может содержать ошибки.}} \\
%    \today
}
\maketitle
\setcounter{page}{3}

\newpage
%\thispagestyle{empty}
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
%\thispagestyle{empty}
\newpage

%\lhead[\leftmark]{}
%\rhead[]{\rightmark}

\input{foreword}

\input{Short_history_of_cryptography}

\input{definitions}

\chapter{Классические шифры}

В главе приведены наиболее известные \emph{классические} шифры, которыми можно было пользоваться до появления роторных машин. К ним относятся такие шифры, как шифр Цезаря\index{шифр!Цезаря}, шифр Плейфера\index{шифр!Плейфера}, шифр Хилла\index{шифр!Хилла} и шифр Виженера\index{шифр!Виженера}. Они наглядно демонстрируют различные классы шифров.

\input{monoalphabetic_ciphers}

\input{bigrammnye_substitution_ciphers}

\input{hills_cipher}

% \subsection{Омофонные замены}
%
% Омофонными заменами называют криптопримитивы, в основе которых лежит замена групп символов открытого текста $M$ на группу символов $C$ с использованием ключа $K$. Такой метод шифрования вносит неоднозначность между $M$ и $C$, это позволяет защититься от методов частотного криптоанализа.
%  \subsection{шифрокоды}
%  Шифрокоды -- это класс шифров сочетающих в себе свойства кодов и помехозащищённости со свойствами шифра и обеспечения конфиденциальности.

\input{vigeneres_cipher}

\input{polyalphabetic_cipher_cryptanalysis}

\input{perfect_secure_systems}

\chapter{Блочные шифры}\label{chapter-block-ciphers}\index{шифр!блочный|(}

\input{block_ciphers}

\input{lucifer}

\input{Feistel_cipher}

\input{DES}

\input{GOST_28147-89}

\input{AES}

\input{GOST_R_34.12-2015}

\input{Block_cipher_modes}

\section{Некоторые свойства блочных шифров}

\input{feistel_network_reversibility}

\input{Feistel_cipher_without_s_blocks}

\input{Avalanche_effect}

\input{double_and_triple_ciphering}

\index{шифр!блочный|)}

\input{generators}

\input{stream-ciphers}

\input{hash-functions}

\input{public-key}

\input{key_distribution_protocols}

\input{secret-sharing}

\chapter{Примеры систем защиты}

\input{kerberos}

\input{pgp}

\input{tls}

\input{ipsec}

\section[Защита персональных данных в мобильной связи]{Защита персональных данных в \protect\\ мобильной связи}

\input{gsm2}

\input{gsm3}

%\section{Беспроводная сеть Wi-Fi}
%\subsection{WPA-PSK2, 802.11n, Radix?}
%\subsection{Wimax 802.16(?)}

\chapter{Аутентификация пользователя}


\section{Многофакторная аутентификация}

Для защищённых приложений применяется \emph{многофакторная} аутентификация одновременно по факторам различной природы:
\begin{enumerate}
    \item Свойство, которым обладает субъект. Например: биометрия, природные уникальные отличия (лицо, радужная оболочка глаз, папиллярные узоры, последовательность ДНК).
    \item Знание -- информация, которую знает субъект. Например: пароль, PIN (Personal Identification Number).
    \item Владение -- вещь, которой обладает субъект. Например: электронная или магнитная карта, флеш-память.
%    \item Факторы присвоения. Например, номер машины, RFID-метка.
\end{enumerate}

В обычных массовых приложениях из-за удобства использования применяется аутентификация только по \emph{паролю}\index{пароль}, который является общим секретом пользователя и информационной системы. Биометрическая аутентификация по отпечаткам пальцев применяется существенно реже. Как правило, аутентификация по отпечаткам пальцев является дополнительным, а не вторым обязательным фактором (тоже из-за удобства её использования).

%Так же явно или неявно используется аутентификация по факторам:
%\begin{enumerate}
%    \item Социальная сеть. Доверие к индивидууму в личном или интернет общении, на основании общих связей.
%    \item Географическое положение. Например, для проверки оплаты товаров по кредитной карте.
%    \item Время. Доступ к сервисам или местам только в определённое время.
%    \item И др.
%\end{enumerate}


\section[Энтропия и криптостойкость паролей]{Энтропия и криптостойкость \protect\\ паролей}

Стандартный набор символов паролей, которые можно набрать на клавиатуре, используя английские буквы и небуквенные символы, состоит из $D=94$ символов. При длине пароля $L$ символов и предположении равновероятного использования символов энтропия паролей равна
    \[ H = L \log_2 D. \]

Клод Шеннон, исследуя энтропию символов английского текста, изучал вероятность успешного предсказания людьми следующего символа по первым нескольким символам слов или текста. В результате Шеннон получил оценку энтропии первого символа $s_1$ текста порядка $H(s_1) \approx 4{,}6$--$4{,}7$ бит/символ и оценки энтропий последующих символов, постепенно уменьшающиеся до $H(s_9) \approx 1{,}5$ бит/символ для 9-го символа. Энтропия для длинных текстов литературных произведений получила оценку $H(s_\infty) \approx 0{,}4$ бит/символ.

Статистические исследования баз паролей показывают, что наиболее часто используются буквы <<a>>, <<e>>, <<o>>, <<r>> и цифра <<1>>.

NIST использует следующие рекомендации для оценки энтропии паролей\index{энтропия!пароля}, создаваемых людьми.
\begin{enumerate}
    \item Энтропия первого символа $H(s_1) = 4$ бит/символ.
    \item Энтропия со 2-го по 8-й символы $H(s_{i}) = 2$ бит/символ, $2 \leq i \leq 8$.
    \item Энтропия с 9-го по 20-й символы $H(s_{i}) = 1{,}5$ бит/символ, $9 \leq i \leq 20$.
    \item Энтропия с 21-го символа $H(s_{i}) = 1$ бит/символ, $i \geq 21$ 
    \item Проверка композиции на использование символов разных регистров и небуквенных символов добавляет до 6-ти бит энтропии пароля.
    \item Словарная проверка на слова и часто используемые пароли добавляет до 6 бит энтропии для коротких паролей. Для 20-символьных и более длинных паролей прибавка к энтропии 0 бит.
\end{enumerate}

Для оценки энтропии пароля нужно сложить энтропии символов $H(s_i)$ и сделать дополнительные надбавки, если пароль удовлетворяет тестам на композицию и отсутствует в словаре.

\begin{table}[!ht]
    \caption{Оценка NIST предполагаемой энтропии паролей\label{tab:password-entropy}}
    \resizebox{\textwidth}{!}{ \begin{tabular}{|c||c|c|c||c|}
        \hline
        \multirow{2}{*}{\parbox{1.5cm}{\medskip \centering Длина пароля, символы}} & \multicolumn{3}{|c||}{\parbox{6cm}{\centering Энтропия паролей пользователей по критериям NIST}} & \multirow{2}{*}{\parbox{3cm}{\centering Энтропия случайных равновероятных паролей}} \\
        \cline{2-4}
        & \parbox{1.5cm}{\centering Без проверок} & \parbox{2cm}{\centering Словарная проверка} & \parbox{3cm}{\centering Словарная и композиционная проверка} & \\
        \hline
        4  & 10 & 14 & 16 & 26.3 \\
        6  & 14 & 20 & 23 & 39.5 \\
        8  & 18 & 24 & 30 & 52.7 \\
        10 & 21 & 26 & 32 & 65.9 \\
        12 & 24 & 28 & 34 & 79.0 \\
        16 & 30 & 32 & 38 & 105.4 \\
        20 & 36 & 36 & 42 & 131.7 \\
        24 & 40 & 40 & 46 & 158.0 \\
        30 & 46 & 46 & 52 & 197.2 \\
        40 & 56 & 56 & 62 & 263.4 \\
        \hline
    \end{tabular} }
\end{table}

В таблице~\ref{tab:password-entropy} приведена оценка NIST на величину энтропии пользовательских паролей в зависимости от их длины, и приведено сравнение с энтропией случайных паролей с равномерным распределением символов из набора в $D=94$ символов клавиатуры. Вероятное число попыток для подбора пароля составляет $O(2^H)$. Из таблицы видно, что по критериям NIST энтропия реальных паролей в 2--4 раза меньше энтропии случайных паролей с равномерным распределением символов.

\example
Оценим общее количество существующих паролей. Население Земли -- 7 млрд. Предположим, что всё население использует компьютеры и Интернет, и у каждого человека по 10 паролей. Общее количество существующих паролей -- $7 \cdot 10^{10} \approx 2^{36}$.

Имея доступ к наиболее массовым интернет-сервисам с количеством пользователей десятки и сотни миллионов, в которых пароли часто хранятся в открытом виде из-за необходимости обновления ПО и, в частности, выполнения аутентификации, мы:
\begin{enumerate}
	\item имеем базу паролей, покрывающую существенную часть пользователей; 
	\item можем статистически построить правила генерирования паролей.
\end{enumerate}

Даже если пароль хранится в защищённом виде, то при вводе пароль, как правило, в открытом виде пересылается по Интернету, и все преобразования пароля для аутентификации осуществляет интернет-сервис, а не веб-браузер. Следовательно, интернет-сервис имеет доступ к исходному паролю.
\exampleend

В 2002 г. был подобран ключ для 64-битного блочного шифра RC5 сетью персональных компьютеров \texttt{distributed.net}, выполнявших вычисления в фоновом режиме. Суммарное время вычислений всех компьютеров -- 1757 дней, было проверено 83\% пространства всех ключей. Это означает, что пароли с оценочной энтропией менее 64 бит, то есть \emph{все пароли} до 40 символов по критериям NIST, могут быть подобраны в настоящее время. Конечно, с оговорками на то, что 1) нет ограничений на количество и скорость попыток аутентификаций, 2) алгоритм генерации вероятных паролей эффективен.

Строго говоря, использование даже 40-символьного пароля для аутентификации или в качестве ключа блочного шифрования является небезопасным.


\subsubsection{Число паролей}

Приведём различные оценки числа паролей, создаваемых людьми. Чаще всего такие пароли основаны на словах или закономерностях естественного языка. В английском языке всего около $1\ 000\ 000 \approx 2^{20}$ слов, включая термины.

%http://www.springerlink.com/content/bh216312577r6w64/fulltext.pdf
%http://www.antimoon.com/forum/2004/4797.htm

Используемые слоги английского языка имеют вид V, CV, VC, CVV, VCC, CVC, CCV, CVCC, CVCCC, CCVCC, CCCVCC, где C -- согласная (consonant), V -- гласная (vowel). 70\% слогов имеют структуру VC или CVC. Общее число слогов $S = 8000 - 12000$. Средняя длина слога -- 3 буквы.

Предполагая равновероятное распределение всех слогов английского языка, для числа паролей из $r$ слогов получим верхнюю оценку
    \[ N_1 = S^r = 2^{13 r} \approx 2^{4.3 L_1}. \]
Средняя длина паролей составит:
    \[ L_1 \approx 3 r. \]

Теперь предположим, что пароли могут состоять только из 2--3 буквенных слогов вида CV, VC, CVV, VCC, CVC, CCV с равновероятным распределением символов. Подсчитаем число паролей $N_2$, которые могут быть построены из $r$ таких слогов. В английском алфавите число гласных букв $n_v = 10, согласных n_c = 16, n = n_v + n_c = 26$. Верхняя оценка числа $r$-слоговых паролей:
    \[ N_2 = (n_c n_v + n_v n_c + n_c n_v n_v + n_v n_c n_c + n_c n_v n_c + n_c n_c n_v)^r \approx \]
        \[ \approx \left( n_c n_v(3 n_c + n_v) \right)^r, \]
    \[ N_2 \approx \left( \frac{n^3}{2} \right)^r \approx 2^{13 r} \approx 2^{4.3 L_2}. \]
Средняя длина паролей:
    \[ L_2 = \frac{n_c n_v(2 + 2 + 3 n_v + 3 n_c + 3 n_c + 3 n_c)}{n_c n_v (1 + 1 + n_v + n_c + n_c + n_c)} \cdot r \approx 3 r. \]

Как видно, в обоих предположениях получились одинаковые оценки для числа и длины паролей.

Подсчитаем верхние оценки числа паролей из $L$ символов, предполагая равномерное распределение символов из алфавита мощностью $D$ символов: a) $D_1 = 26$ строчных букв, б) все $D_2 = 94$ печатных символа клавиатуры (латиница и небуквенные символы):
    \[ N_3 = D_1^L \approx 2^{4.7 L}, \]
    \[ N_4 = D_2^L \approx 2^{6.6 L}. \]

\begin{table}[!ht]
    \caption{Различные верхние оценки числа паролей\label{tab:password-number}}
    \resizebox{\textwidth}{!}{ \begin{tabular}{|c||c|c|c|}
        \hline
        \multirow{2}{*}{\parbox{1.5cm}{\medskip\medspace \centering Длина пароля}} & \multicolumn{3}{|c|}{Число паролей} \\
        \cline{2-4}
            & \parbox{3.5cm}{\medspace \centering На основе слоговой композиции} &
            \parbox{3cm}{\medspace\centering Алфавит $D=26$ символов} &
            \parbox{3cm}{\medspace \centering Алфавит $D=94$ символа} \\
        \hline
        \rule{0pt}{2.5ex}$6$  & $2^{26}$ & $2^{28}$ & $2^{39}$ \\
        9  & $2^{39}$ & $2^{42}$ & $2^{59}$ \\
        12 & $2^{52}$ & $2^{56}$ & $2^{79}$ \\
        15 & $2^{65}$ & $2^{71}$ & $2^{98}$ \\
        \hline
        \rule{0pt}{2.5ex} 21 & $2^{91}$ & $2^{99}$ & $2^{137}$ \\
        \hline
        \rule{0pt}{2.5ex} 39 & $2^{169}$ & $2^{183}$ & $2^{256}$ \\
        \hline
    \end{tabular} }
\end{table}

Из таблицы~\ref{tab:password-number} видно, что при доступном объёме вычислений в $2^{60}$\,--\,$2^{70}$ операций, пароли вплоть до 15-ти символов, построенные на словах, слогах, изменениях слов, вставках цифр, небольшом изменении регистров и других простейших модификациях, в настоящее время могут быть найдены полным перебором как на вычислительном кластере, так и на персональном компьютере.

Для достижения криптостойкости паролей, сравнимой со 128- или 256-битовым секретным ключом, требуется выбирать пароль из 20 и 40 символов соответственно, что, как правило, не реализуется из-за сложности запоминания и возможных ошибок при вводе.


%Подсчитаем число паролей $N_1$, которые могут могут построены из $r$ ~ 2-3 буквенных слогов: $cv, vc, ccv, cvc, vcc$, где $c$ -- согласная, $v$ -- гласная. В английском алфавите $n_v = 10, n_c = 16, n = n_v + n_c = 26$. Число паролей
%    \[ N_1 = \left( n_v n_c (1 + 1 + n_c + n_c + n_c) \right)^r \approx 3^r n_v^r n_c^{2r}. \]
%Средняя длина паролей
%    \[ L = r \left( \frac{2 + 2 + 3 n_c + 3 n_c + 3 n_c}{1 + 1 + n_c + n_c + n_c} \right) \approx 3r. \]
%
%%Учтем, что $b \leq r$ символов могут быть заглавными: $N_1 \rightarrow N_2 < N_1 \binom{L}{b} \left( \frac{n}{n_v} \right)^b$. Вставим $d$ цифр в случайные места: $N_2 \rightarrow N_3 = N_2 (10 (1 + L))^d \approx N_2 (10 L)^d$.
%%
%%Общее число паролей
%%    \[ N = N_3 = 3^r 10^r 16^{2r} \binom{3r}{b} 2.6^b \left(10 \cdot 3 r \right)^d. \]
%%
%%\begin{table}[!ht]
%%    \centering
%%    \small
%%    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c||cr|}
%%        \hline
%%        \parbox{1.3cm}{Слогов, $r$} & \parbox{1.8cm}{Заглавных букв, $b$} & \parbox{1.5cm}{Вставок цифр, $d$} & \parbox{2.8cm}{Средняя длина пароля, $L+d$} & \parbox{3cm}{Верхняя оценка числа паролей $N$} & \multicolumn{2}{|c|}{\parbox{3.2cm}{Число всех паролей}} \\
%%        \hline
%%        $2$ & $0$ & $0$ & $6$ & $2^{26}$ & $2^{36}$ & a-z \\
%%        $2$ & $2$ & $0$ & $6$ & $2^{32}$ & $2^{48}$ & A-Z, a-z \\
%%        $2$ & $2$ & $2$ & $8$ & $2^{45}$ & $2^{48}$ & A-Z, a-z, 0-9 \\
%%        \hline
%%        $3$ & $0$ & $0$ & $9$ & $2^{39}$ & $2^{54}$ & a-z \\
%%        $3$ & $3$ & $0$ & $9$ & $2^{49}$ & $2^{54}$ & A-Z, a-z \\
%%        $3$ & $3$ & $2$ & $11$ & $2^{63}$ & $2^{65}$ & A-Z, a-z, 0-9 \\
%%        \hline
%%        $4$ & $0$ & $0$ & $12$ & $2^{52}$ & $2^{93}$ & a-z \\
%%        $4$ & $3$ & $0$ & $12$ & $2^{64}$ & $2^{186}$ & A-Z, a-z \\
%%        $4$ & $3$ & $2$ & $14$ & $2^{78}$ & $2^{222}$ & A-Z, a-z, 0-9 \\
%%        \hline
%%    \end{tabular}
%%    \caption{Сравнение верхней оценки числа паролей, построенных на слогах, со всем доступным множеством паролей.}
%%    \label{tab:password-number}
%%\end{table}
%
%Учтем, что $b$ символов в пароле могут быть взяты не из 26-символьного алфавита строчных букв, а из всего алфавита в $D=94$ печатных символа клавиатуры (латиница и небуквенные символы):
%\[
%    \begin{array}{ll}
%    b=1 & N_1 \rightarrow N_2 = \frac{n_v}{n_v+n_c} 3^r n_v^{r-1} n_c^{2r} \cdot L. \]
%
%    \[ N_1 \rightarrow N_2 < N_1 \binom{L}{b} \left( \frac{D}{n_v} \right)^b. \]
%
%
%
%Общее число паролей
%    \[ N < 3^r n_v^r n_c^{2r} \binom{L}{b} \left( \frac{D}{n_v} \right)^b = 3^r 10^r 16^{2r} \binom{3r}{b} \left( \frac{94}{10} \right)^b. \]
%
%\begin{table}[!ht]
%    \centering
%    \small
%    \begin{tabular}{|c|c|c|c||cr|}
%        \hline
%        \parbox{1.5cm}{Слогов, $r$} & \parbox{3cm}{Средняя длина пароля, $L$} & \parbox{3cm}{Символов из всего алфавита, $b$} & \parbox{3cm}{Верхняя оценка числа паролей $N$} & \multicolumn{2}{|c|}{\parbox{3.2cm}{Число всех паролей, $D^L$}} \\
%        \hline
%        \multirow{3}{*}{2} & \multirow{3}{*}{6} & $0$ & $2^{26}$ & $2^{28}$ & a-z \\
%        & & $1$ & $2^{32}$ & $2^{34}$ & A-Z, a-z \\
%        & & $3$ & $2^{40}$ & $2^{39}$ & Весь алфавит \\
%        \hline
%        \multirow{3}{*}{3} & \multirow{3}{*}{9} & $0$ & $2^{39}$ & $2^{42}$ & a-z \\
%        & & $2$ & $2^{50}$ & $2^{51}$ & A-Z, a-z \\
%        & & $4$ & $2^{59}$ & $2^{59}$ & Весь алфавит \\
%        \hline
%        \multirow{3}{*}{4} & \multirow{3}{*}{12} & $0$ & $2^{52}$ & $2^{56}$ & a-z \\
%        & & $3$ & $2^{69}$ & $2^{68}$ & A-Z, a-z \\
%        & & $6$ & $2^{81}$ & $2^{77}$ & Весь алфавит \\
%        \hline
%    \end{tabular}
%    \caption{Сравнение верхней оценки числа паролей, построенных на слогах, со всем доступным множеством паролей в алфавите из $D$ символов.}
%    \label{tab:password-number}
%\end{table}
%
%Из таблицы~\ref{tab:password-number} видно, что при доступном объёме вычислений в $2^{60 \ldots 70}$ операций, пароли вплоть до 12 символов, построенные на словах, слогах, изменениях слов, вставках цифр, небольшого изменения регистров и другой простейшей обфускации, могут быть найдены перебором на кластере (или ПК) в настоящее время.


\subsubsection{Атака для подбора паролей и ключей шифрования}

В схемах аутентификации по паролю иногда используется хэширование и хранение хэша пароля на сервере. В таких случаях применима словарная атака или атака с применением заранее вычисленных таблиц для ускорения поиска.

Для нахождения пароля, прообраза хэш-функции, или для нахождения ключа блочного шифрования по атаке с выбранным шифртекстом (для одного и того же известного открытого текста и соответствующего шифртекста) может быть применён метод перебора с балансом между памятью и временем вычислений. Самый быстрый метод радужных таблиц\index{радужные таблицы} (\langen{rainbow tables}, 2003~г., \cite{Oechslin:2003}) заранее вычисляет следующие цепочки и хранит результат в памяти.

Для нахождения пароля, прообраза хэш-функции $H$, цепочка строится как
    \[ M_0 \xrightarrow{H(M_0)} h_0 \xrightarrow{R_0(h_0)} M_1 \ldots M_t \xrightarrow{H(M_t)} h_t \xrightarrow{R_t(h_t)} M_{t+1}, \]
где $R_i(h)$ -- функция редуцирования, преобразования хэша в пароль для следующего хэширования.

Для нахождения ключа блочного шифрования для одного и того же известного открытого текста $M$ таблица строится как
    \[ K_0 \xrightarrow{E_{K_0}(M)} c_0 \xrightarrow{R_0(c_0)} K_1 \ldots K_t \xrightarrow{E_{K_t}(M)} c_t \xrightarrow{R_t(c_t)} K_{t+1}, \]
где $R_i(c)$ -- функция редуцирования, преобразования шифртекста в новый ключ.

Функция редуцирования $R_i$ зависит от номера итерации, чтобы избежать дублирующихся подцепочек, которые возникают в случае коллизий между значениями в разных цепочках в разных итерациях, если $R$ постоянна. Радужная таблица размера $(m \times 2)$ состоит из строк $(M_{0,j}, M_{t+1,j})$ или $(K_{0,j}, K_{t+1,j})$, вычисленных для разных значений стартовых паролей $M_{0,j}$ или $K_{0,j}$ соответственно.

Опишем атаку на примере нахождения прообраза $\overline{M}$ хэша $\overline{h} = H(\overline{M})$. На первой итерации исходный хэш $\overline{h}$ редуцируется в сообщение $\overline{h} \xrightarrow{R_t(\overline{h})} \overline{M}_{t+1} $ и сравнивается со всеми значениями последнего столбца $M_{t+1,j}$ таблицы. Если нет совпадения, переходим ко второй итерации. Хэш $\overline{h}$ дважды редуцируется в сообщение $\overline{h} \xrightarrow{R_{t-1}(\overline{h})} \overline{M}_t \xrightarrow{H(\overline{M}_t)} \overline{h}_t \xrightarrow{R_t(\overline{h}_t)} \overline{M}_{t+1}$ и сравнивается со всеми значениями последнего столбца $M_{t+1,j}$ таблицы. Если не совпало, то переходим к третьей итерации и~т.\,д. Если для $r$-кратного редуцирования сообщение $\overline{M}_{t+1}$ содержится в таблице во втором столбце, то из совпавшей строки берётся $M_{0,j}$, и вся цепочка пробегается заново для поиска искомого сообщения $\overline{M}: ~ \overline{h} = H(\overline{M})$.

Найдём вероятность нахождения пароля в таблице. Пусть мощность множества всех паролей $N$. Изначально в столбце $M_{0,j}$ содержится $m_0 = m$ различных паролей. Предполагая наличие случайного отображения с пересечениями паролей $M_{0,j} \rightarrow M_{1,j}$, в $M_{1,j}$ будет $m_1$ различных паролей. Согласно задаче о размещении,
\[
    m_{i+1} = N \left( 1 - \left( 1 - \frac{1}{N} \right)^{m_i} \right) \approx N \left( 1 - e^{-\frac{m_i}{N}} \right).
\]
Вероятность нахождения пароля:
\[
    P = 1 - \prod \limits_{i=1}^t \left( 1 - \frac{m_i}{N} \right).
\]

Чем больше таблица из $m$ строк, тем больше шансов найти пароль или ключ, выполнив в наихудшем случае   $O \left( m \frac{t(t+1)}{2} \right)$ операций.

Примеры применения атаки на хэш-функциях $\textrm{MD5}$\index{хэш-функция!MD5}, $\textrm{LM} \sim \textrm{DES}_{\textrm{Password}} (\textrm{const})$ приведены в таблице~\ref{tab:rainbow-tables}.

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \caption{Атаки на радужных таблицах на \emph{одном} ПК\label{tab:rainbow-tables}}
    \resizebox{\textwidth}{!}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
        \multirow{2}{*}{\parbox{1.0cm}{\medskip\medskip \centering Длина, биты}} & \multicolumn{3}{|c|}{\parbox{4.3cm}{\medspace\centering Пароль или ключ}} &
            \multicolumn{3}{|c|}{\parbox{4.33cm}{\medspace\centering Радужная таблица}} \\
        \cline{2-7}
        & \parbox{1.0cm}{\centering Длина,\\ симв.} & \parbox{1.7cm}{\centering Множество} & \parbox{1.7cm}{\centering Мощность} &
            \parbox{1cm}{\centering Объём} & \parbox{2.23cm}{\medspace \centering Время вычисления таблиц} & \parbox{1.1cm}{\centering Время поиска} \\
        \hline \hline
        \multicolumn{7}{|c|}{Хэш LM} \\
        \hline
        \rule{0pt}{2.5ex}\multirow{3}{*}{$2 \times 56$} & \multirow{3}{*}{14} &
            A--Z & $2^{33}$ & 610 MB &  & 6 с \\
        & & A--Z, 0-9 & $2^{36}$ & 3 GB &  & 15 с \\
        & & все & $2^{43}$ & 64 GB & \parbox{2.23cm}{несколько лет} & 7 мин \\
        \hline \hline
        \multicolumn{7}{|c|}{Хэш MD5} \\
        \hline
        \rule{0pt}{2.5ex} 128 & 8 & A-Z, 0-9 & $2^{41}$ & 36 GiB & - & 4 мин \\
        \hline
    \end{tabular} }
\end{table}

\section{Аутентификация по паролю}

Из-за малой энтропии пользовательских паролей во всех системах регистрации и аутентификации пользователей применяется специальная политика безопасности. Типичные минимальные требования:
\begin{enumerate}
    \item Длина пароля от 8 символов. Использование разных регистров и небуквенных символов в паролях. Запрет паролей из словаря или часто используемых паролей. Запрет паролей в виде дат, номеров машин и других номеров.
    \item Ограниченное время действия пароля. Обязательная смена пароля по истечении срока действия.
    \item Блокирование возможности аутентификации после нескольких неудачных попыток. Ограниченное число актов аутентификаций в единицу времени. Временная задержка перед выдачей результата аутентификации.
\end{enumerate}

Дополнительные рекомендации (требования) пользователям:
\begin{enumerate}
    \item Не использовать одинаковые или похожие пароли для разных систем, таких как электронная почта, вход в ОС, электронная платёжная система, форумы, социальные сети. Пароль часто передаётся в открытом виде по сети. Пароль доступен администратору системы, возможны утечки конфиденциальной информации с серверов. Поэтому следует стараться выбирать случайные стойкие пароли.
    \item Не записывать пароли. Никому не сообщать пароль, даже администратору. Не передавать пароли по почте, телефону, Интернету и~т.\,д.
    \item Не использовать одну и ту же учётную запись для разных пользователей, даже в виде исключения.
    \item Всегда блокировать компьютер, когда пользователь отлучается от него, даже на короткое время.
\end{enumerate}

\input{os_passwords}

\input{http_auth}

\chapter{Программные уязвимости}

\input{security_models}

\input{os_access_controls}

\section{Виды программных уязвимостей}

\emph{Вирусом} называется самовоспроизводящаяся часть кода (подпрограмма)\index{вирус}, которая встраивается в носители (другие программы) для своего исполнения и распространения. Вирус не может исполняться и передаваться без своего носителя.

\emph{Червём} называется самовоспроизводящаяся отдельная (под)программа\index{червь}, которая может исполняться и распространяться самостоятельно, не используя программу-носитель.

Первой вехой в изучении компьютерных вирусов можно назвать 1949 год, когда Джон фон Нейман прочёл курс лекций в Университете Иллинойса под названием <<Теория самовоспроизводящихся машин>> (изданы в 1966~\cite{Neumann:1966}, переведены на русский язык издательством <<Мир>> в 1971 году~\cite{Neumann:1971}), в котором ввёл понятие самовоспроизводящихся механических машин. Первым сетевым вирусом считается вирус Creeper 1971 г., распространявшийся в сети ARPANET, предшественнике Интернета. Для его уничтожения был создан первый антивирус Reaper, который находил и уничтожал Creeper.

Первый червь для Интернета, червь Морриса, 1988 г., уже использовал \emph{смешанные} атаки\index{атака!смешанная} для заражения UNIX машин~\cite{EichinRochlis:1988, Spafford:1989}. Сначала программа получала доступ к удалённому запуску команд, эксплуатируя уязвимости в сервисах \texttt{sendmail}, \texttt{finger} (с использованием атаки на переполнение буфера) или \texttt{rsh}. Далее, с помощью механизма подбора паролей червь получал доступ к локальным аккаунтам пользователей:
\begin{itemize}
    \item получение доступа к учётным записям с очевидными паролями:
		\begin{itemize}
			\item без пароля вообще;
			\item имя аккаунта в качестве пароля;
			\item имя аккаунта в качестве пароля, повторённое дважды;
			\item использование <<ника>> (\langen{nickname});
			\item фамилия (\langen{last name, family name});
			\item фамилия, записанная задом наперёд;
		\end{itemize}
		\item перебор паролей на основе встроенного словаря из 432 слов;
		\item перебор паролей на основе системного словаря \texttt{/usr/dict/words}.
\end{itemize}

\emph{Программной уязвимостью}\index{программная уязвимость} называется свойство программы, позволяющее нарушить её работу. Программные уязвимости могут приводить к отказу в обслуживании (Denial of Service, DoS-атака)\index{атака!отказ в обслуживании}, утечке и изменению данных, появлению и распространению вирусов и червей.

Одной из распространённых атак для заражения персональных компьютеров является переполнение буфера в стеке. В интернет-сервисах наиболее распространённой программной уязвимостью в настоящее время является межсайтовый скриптинг (Cross-Site Scripting, XSS-атака)\index{атака!XSS}.

Наиболее распространённые программные уязвимости можно разделить на классы:
\begin{enumerate}
    \item Переполнение буфера -- копирование в буфер данных большего размера, чем длина выделенного буфера. Буфером может быть контейнер текстовой строки, массив, динамически выделяемая память и~т.\,д. Переполнение становится возможным, вследствие либо отсутствия контроля над длиной копируемых данных, либо из-за ошибок в коде. Типичная ошибка -- разница в 1 байт между размерами буфера и данных при сравнении.
    \item Некорректная обработка (парсинг) данных, введённых пользователем, является причиной большинства программных уязвимостей в веб-приложениях. Под обработкой понимаются:
        \begin{enumerate}
            \item проверка на допустимые значения и тип (числовые поля не должны содержать строки и~т.\,д.);
            \item фильтрация и экранирование специальных символов, имеющих значения в скриптовых языках или применяющихся для декодирования из одной текстовой кодировки в другую. Примеры символов: \texttt{\textbackslash}, \texttt{\%}, \texttt{<}, \texttt{>}, \texttt{"}, \texttt{'};
            \item фильтрация ключевых слов языков разметки и скриптов. Примеры: \texttt{script}, \texttt{JavaScript};
            \item декодирование различными кодировками при парсинге. Распространённый способ обхода системы контроля парсинга данных состоит в однократном или множественном последовательном кодировании текстовых данных в шестнадцатеричные кодировки \texttt{\%NN} ASCII и UTF-8. Например, браузер или веб-приложения производят $n$-кратные последовательные декодирования, в то время как система контроля делает $k$-кратное декодирование, $0 \leq k < n$, и, следовательно, пропускает закодированные запрещённые символы и слова.
        \end{enumerate}
    \item Некорректное использование синтаксиса функций. Например, \texttt{printf(s)} может привести к уязвимости записи в указанный адрес памяти. Если злоумышленник вместо обычной текстовой строки введёт в качестве \texttt{s = "текст некоторой длины\%n"}, то функция \texttt{printf()}, ожидающая первым аргументом строку формата \texttt{printf(fmt, \dots)}, обнаружив \texttt{\%n}, возьмёт значения из ячеек памяти, следующих перед текстовой строкой (устройство стека функции описано далее), и запишет в адрес памяти, равный считанному значению, количество выведенных символов на печать функцией \texttt{printf()}.
\end{enumerate}


\input{stack_overflow}

\input{xss}

\input{sql-injections}

%\chapter{Послесловие}
%Это должно быть что-то в виде заключения, объяснения, почему именно эти темы выбраны, насколько актуален материал с теоретической и практической точки зрения.


\appendix
\renewcommand{\thechapter}{\Asbuk{chapter}} % использование русских букв для нумерации приложений

\chapter{Математическое приложение}\label{chap:discrete-math}

\section{Общие определения}

Выражением $\Mod n$ обозначается вычисление остатка от деления произвольного целого числа на целое число $n$. В полиномиальной арифметике эта операция означает вычисление остатка от деления многочленов.
%далее будем обозначать целые числа или операции с целыми числами, взятыми \emph{по модулю}\index{модуль} целого числа $n$ (остаток от целочисленного деления). Примеры выражений:
    \[ a\mod n, \]
    \[ (a + b)\cdot c\mod n. \]
Равенство
    \[ a = b \mod n \]
означает, что выражения $a$ и $b$ равны (говорят также <<сравнимы>>, <<эквивалентны>>) по модулю $n$.

Множество
    \[ \{ 0, 1, 2, 3, \dots, n-1 \mod n\} \]
состоит из $n$ элементов, где каждый элемент $i$ представляет все целые числа, сравнимые с $i$ по модулю $n$.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел $a,b$ обозначается $\gcd(a,b)$ (\textit{greatest common divisor}).

Два числа $a,b$ называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1, то есть $\gcd(a,b) = 1$.

Выражение $a \mid b$ означает, что $a$ делит $b$.

\input{birthdays_paradox}

\input{groups}

\input{aes_math}

\input{modular_ariphmetics}

\input{pseudo-primes}

\input{groups_of_ec_points_over_finite_fields}

\section[Полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы]{Полиномиальные и \\ экспоненциальные алгоритмы}

Данный раздел поясняет обоснованность стойкости криптосистем с открытым ключом и имеет лишь косвенное отношение к дискретной математике.

Машина Тьюринга (МТ) (модель, представляющая любой вычислительный алгоритм) состоит из следующих частей:
\begin{itemize}
    \item неограниченная лента, разделённая на клетки; в каждой клетке содержится символ из конечного алфавита, содержащего пустой символ blank; если символ ранее не был записан на ленту, то он считается blank;
    \item печатающая головка, которая может считать, записать символ $a_i$ и передвинуть ленту на 1 клетку влево или вправо $d_k$;
    \item конечная таблица действий
    \[ (q_i, a_j) \rightarrow (q_{i1}, a_{j1}, d_k), \]
где $q$ -- состояние машины.
\end{itemize}

Если таблица переходов однозначна, то машина Тьюринга\index{машина Тьюринга} называется детерминированной. \emph{Детерминированная} машина Тьюринга может \emph{имитировать} любую существующую детерминированную ЭВМ. Если таблица переходов неоднозначна, то есть $(q_i, a_j)$ может переходить по нескольким правилам, то машина \emph{недетерминированная}. \emph{Квантовый компьютер} является примером недетерминированной машины Тьюринга.

Класс задач $\set{P}$ -- задачи, которые могут быть решены за \emph{полиномиальное} время\index{задача!полиномиальная} на \emph{детерминированной} машине Тьюринга. Пример полиномиальной сложности (количество битовых операций)
    \[ O(k^{\textrm{const}}), \]
где $k$ -- длина входных параметров алгоритма. Операция возведения в степень в модульной арифметике $a^b \mod n$ имеет кубическую сложность $O(k^3)$, где $k$ -- двоичная длина чисел $a,b,n$.

Класс задач $\set{NP}$ -- обобщение класса $\set{P} \subseteq \set{NP}$, включает задачи, которые могут быть решены за \emph{полиномиальное} время на \emph{недетерминированной} машине Тьюринга. Пример сложности задач из $\set{NP}$ -- экспоненциальная сложность\index{задача!экспоненциальная}
    \[ O(\textrm{const}^k). \]
Описанный в разделе криптостойкости системы Эль-Гамаля\index{криптосистема!Эль-Гамаля} алгоритм Гельфонда решения задачи дискретного логарифмирования (нахождения $x$ для заданных основания $g$, модуля $p$ и $a = g^x \mod p$) имеет сложность $O(e^{k/2})$, где $k$ -- двоичная длина чисел.

В криптографии полиномиальные $\set{P}$-алгоритмы считаются \emph{лёгкими и вычислимыми} на ЭВМ, которые являются детерминированными машинами Тьюринга. Неполиномиальные (экспоненциальные) $\set{NP}$ алгоритмы считаются \emph{трудными и невычислимыми} на ЭВМ, так как из-за экспоненциального роста сложности всегда можно выбрать такой параметр $k$, что время вычисления станет сравнимым с возрастом Вселенной.


Класс $\set{NP}$-полных задач -- подмножество задач из $\set{NP}$, для которых не известен полиномиальный алгоритм для детерминированной машины Тьюринга, и все задачи могут быть сведены друг к другу за полиномиальное время на \emph{детерминированной} машине Тьюринга. Например, задача об укладке рюкзака является $\set{NP}$-полной.

Стойкость криптосистем с \emph{открытым} ключом, как правило, основана на $\set{NP}$ или $\set{NP}$-полных задачах:
\begin{enumerate}
    \item RSA\index{криптосистема!RSA} -- $\set{NP}$-задача факторизации (строго говоря, основана на трудности извлечения корня степени $e$ по модулю $n$).
    \item Криптосистемы типа Эль-Гамаля\index{криптосистема!Эль-Гамаля} -- $\set{NP}$-задача дискретного логарифмирования.
\end{enumerate}

\emph{Нерешённой} проблемой является доказательство неравенства
    \[ \set{P} \neq \set{NP}. \]
Именно на гипотезе о том, что для некоторых задач не существует полиномиальных алгоритмов, и основана стойкость криптосистем с открытым ключом.

\input{coincide-index_method}

\input{tasks}

\printindex

\chapter*{Литература}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Литература}
\begingroup
\renewcommand{\chapter}[2]{}%
%\bibliographystyle{ugost2008s}
%\bibliography{bibliography}
\printbibliography
\endgroup

\end{document}