README.md

有限元分析 第六次程序作业

问题描述

$$ \left{ \begin{aligned} &-\epsilon u'' + u' = x \\ &u(0) = u(1) = 0 \end{aligned} \right. $$

使用 Streamline-Diffusion 方法进行求解，即使用如下的变分形式

$$ \epsilon (u_h', v') + (u_h', v + \delta v') = (x, v + \delta v') \quad \forall v \in V_h^k $$

在分片 $ P^1 $ 多项式元下求解，其中区间 $ I_j $ 上的 $ \delta $ 取 $ h_j $。

原来的形式是 $$ \epsilon (u_h', v') + (u_h', v) = (x, v) \quad \forall v \in V_h^k $$ TODO: learn why SDFEM works

那么，方程最后要计算的就是

$$ \epsilon (v', v') + (v', v) + (v', \delta v') = (x, v + \delta v') $$

括号表示 $ L_2 $ 内积

实验结果

原方程的通解为

$$ \begin{aligned} &u(x) = c_1 \epsilon e^{x/\epsilon} + c_2 + x^2/2 + x \epsilon \end{aligned} $$

带入边界条件后得到解

$$ \begin{aligned} &u(x) = \frac{ \epsilon + 1/2}{1 - e^{1 / \epsilon}} (e^{x/ \epsilon} - 1) + \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x \end{aligned} $$

对于 $ \epsilon $ 较小的情况，我们处理成 $$ \begin{aligned} u(x) &= -\frac{e^{x/ \epsilon} - 1 }{e^{1 / \epsilon}-1} (\epsilon + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x \ &\approx -e^{(x-1)/\epsilon} (\epsilon + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} x^2 + \epsilon x \end{aligned} $$

进行测试，结果如下

$ \epsilon = 0.1 $, Uniform

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	1.567e-01	0.00000e+00	3.193e-01	0.00000e+00
4	1.130e-01	4.71492e-01	2.592e-01	3.01201e-01
8	6.743e-02	7.45045e-01	1.720e-01	5.91691e-01
16	3.603e-02	9.03956e-01	1.064e-01	6.93140e-01
32	1.841e-02	9.68498e-01	6.035e-02	8.17564e-01
64	9.279e-03	9.88892e-01	3.214e-02	9.09262e-01
128	4.654e-03	9.95529e-01	1.662e-02	9.50868e-01

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 0.1 $, shishkin

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	6.210e-02	0.00000e+00	1.395e-01	0.00000e+00
4	7.640e-02	-2.98853e-01	1.752e-01	-3.28766e-01
8	5.867e-02	3.80870e-01	1.554e-01	1.73097e-01
16	3.921e-02	5.81394e-01	1.158e-01	4.24922e-01
32	2.409e-02	7.02816e-01	7.883e-02	5.54468e-01
64	1.448e-02	7.34142e-01	5.021e-02	6.50855e-01
128	8.787e-03	7.20852e-01	3.099e-02	6.95903e-01

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 0.001 $, Uniform

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	1.666e-01	0.00000e+00	4.938e-01	0.00000e+00
4	1.141e-01	5.45706e-01	4.909e-01	8.33249e-03
8	6.180e-02	8.85266e-01	4.840e-01	2.03964e-02
16	3.128e-02	9.82234e-01	4.710e-01	3.92875e-02
32	1.565e-02	9.99078e-01	4.499e-01	6.62069e-02
64	7.803e-03	1.00422e+00	4.145e-01	1.18085e-01
128	3.881e-03	1.00768e+00	3.578e-01	2.12246e-01

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 0.001 $, shishkin

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	5.177e-02	0.00000e+00	1.903e-01	0.00000e+00
4	3.542e-02	5.47354e-01	1.423e-01	4.19224e-01
8	1.209e-02	1.55110e+00	1.187e-01	2.61048e-01
16	2.656e-03	2.18607e+00	9.619e-02	3.03768e-01
32	6.164e-04	2.10752e+00	6.596e-02	5.44303e-01
64	2.050e-04	1.58830e+00	4.221e-02	6.44002e-01
128	9.027e-05	1.18320e+00	2.611e-02	6.92890e-01

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 1e-05 $, Uniform

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	1.664e-01	0.00000e+00	4.990e-01	0.00000e+00
4	1.139e-01	5.47582e-01	4.985e-01	1.37527e-03
8	6.149e-02	8.88753e-01	4.973e-01	3.63856e-03
16	3.102e-02	9.87155e-01	4.946e-01	7.67157e-03
32	1.542e-02	1.00872e+00	4.893e-01	1.56048e-02
64	7.584e-03	1.02361e+00	4.787e-01	3.17858e-02
128	3.669e-03	1.04745e+00	4.573e-01	6.57469e-02

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 1e-05 $, shishkin

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	5.175e-02	0.00000e+00	1.931e-01	0.00000e+00
4	3.497e-02	5.65248e-01	1.252e-01	6.24697e-01
8	1.166e-02	1.58449e+00	5.671e-02	1.14295e+00
16	2.349e-03	2.31178e+00	1.664e-02	1.76889e+00
32	4.190e-04	2.48703e+00	3.437e-03	2.27554e+00
64	8.544e-05	2.29374e+00	5.569e-04	2.62561e+00
128	2.027e-05	2.07560e+00	7.795e-05	2.83681e+00

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 1e-07 $, Uniform

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	1.664e-01	0.00000e+00	4.990e-01	0.00000e+00
4	1.139e-01	5.47613e-01	4.985e-01	1.37534e-03
8	6.149e-02	8.88819e-01	4.973e-01	3.63887e-03
16	3.102e-02	9.87271e-01	4.946e-01	7.67281e-03
32	1.541e-02	1.00895e+00	4.893e-01	1.56098e-02
64	7.579e-03	1.02408e+00	4.786e-01	3.18063e-02
128	3.664e-03	1.04846e+00	4.573e-01	6.58335e-02

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

$ \epsilon = 1e-07 $, shishkin

N	$ L^1 $ error	order	$ L^\infty $ error	order
2	5.175e-02	0.00000e+00	1.931e-01	0.00000e+00
4	3.497e-02	5.65378e-01	1.252e-01	6.24773e-01
8	1.166e-02	1.58466e+00	5.670e-02	1.14313e+00
16	2.348e-03	2.31202e+00	1.663e-02	1.76937e+00
32	4.187e-04	2.48722e+00	3.432e-03	2.27693e+00
64	8.541e-05	2.29360e+00	5.544e-04	2.63000e+00
128	2.027e-05	2.07522e+00	7.678e-05	2.85208e+00

下面为此时解的情况： 下面为此时误差的情况：

总结

Shishkin 网格可以达到 $ L_1 $ 二阶收敛，而 Uniform 网格只有 $ L_1 $ 一阶。

$ L_\infty $ 范数的阶不是很懂。

并不是很懂为什么orz