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《有限元分析》 总结与回顾

章节一览

• Ch0. 基本概念

  • Ritz-Galerkin 近似

  • 与有限差分法的比较

    收敛性证明容易; 编写容易，只需要替换无穷维到有限维;

  • 泛函和实分析超快速回顾

• Ch1. Sobolev 空间
  • 弱导数
  • Sobolev 范数和 Sobolev 空间
  • Sobolev 嵌入定理
  • 迹定理
  • 负范数和对偶性
• Ch2. 椭圆边值问题的变分形式
  • 对称变分问题
  • 非对称变分问题
  • Lax-Milgram 定理
  • 高维情形
• Ch3. 有限元空间构造
  • 有限元的要求
  • 三角元
  • 矩形元
• Ch4. Sobolev 空间上的多项式近似理论
• Ch5. n 维变分问题
• Ch6. 多重网格方法

编写计划

ddl 好多..争取每周一章？要不然都堆到期末肯定要 gg，我们还有两个月就期末了

基本知识

二阶 PDE 的分类

第零章

第一章

Minkowski's Inequality

对于 $ 1 \le p \le \infty $ 和 $ f, g \in L^p(\Omega) $ 有

$$ || f+g || _{L^p(\Omega)} \le || f || _{L^p(\Omega)} + || g || _{L_p(\Omega)} $$

证明：

Holder's Inequality

对于 $ 1 \le p,q \le \infty $ 使得 $ 1 = 1/p + 1/q $，如果 $ f \in L^p(\Omega) $ 且 $ g \in L^q(\Omega) $，则有

$$ || fg || _L^1(\Omega) \le || f || _{L^p(\Omega)} || g || _{L^q(\Omega)} $$

证明：

Schwarz's Inequality

就是 $ p = q = 2 $ 的 Holder 不等式

$$ \int_{\Omega} | f(x) g(x) | dx \le || f || _{L^2(\Omega)} || g || _{L^2(\Omega)} $$

其实是内积空间的常用结论 $ |(x, y)|^2 \le (x, x) (y, y) $，如果利用 $ L^2 $ 范数定义 $ L^2 $ 内积的话

证明：

$ L^2 $ 范数诱导的 $ L^2 $ 内积

首先，我们知道

内积诱导的范数

第二章

第三章

第四章

第五章

第六章

第十二章 混合元