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<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" /><title>4. 归并排序</title><link rel="stylesheet" href="styles.css" type="text/css" /><meta name="generator" content="DocBook XSL Stylesheets V1.73.2" /><link rel="start" href="index.html" title="Linux C编程一站式学习" /><link rel="up" href="ch11.html" title="第 11 章 排序与查找" /><link rel="prev" href="ch11s03.html" title="3. 算法的时间复杂度分析" /><link rel="next" href="ch11s05.html" title="5. 线性查找" /></head><body><div class="navheader"><table width="100%" summary="Navigation header"><tr><th colspan="3" align="center">4. 归并排序</th></tr><tr><td width="20%" align="left"><a accesskey="p" href="ch11s03.html">上一页</a> </td><th width="60%" align="center">第 11 章 排序与查找</th><td width="20%" align="right"> <a accesskey="n" href="ch11s05.html">下一页</a></td></tr></table><hr /></div><div class="sect1" lang="zh-cn" xml:lang="zh-cn"><div class="titlepage"><div><div><h2 class="title" style="clear: both"><a id="id2746095"></a>4. 归并排序</h2></div></div></div><p>插入排序算法采取增量式（Incremental）<a id="id2746106" class="indexterm"></a>的策略解决问题，每次添一个元素到已排序的子序列中，逐渐将整个数组排序完毕，它的时间复杂度是O(n<sup>2</sup>)。下面介绍另一种典型的排序算法－－归并排序，它采取分而治之（Divide-and-Conquer）<a id="id2746123" class="indexterm"></a>的策略，时间复杂度是Θ(nlgn)。归并排序的步骤如下：</p><div class="orderedlist"><ol type="1"><li><p>Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。</p></li><li><p>Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。</p></li><li><p>Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。</p></li></ol></div><p>在描述归并排序的步骤时又调用了归并排序本身，可见这是一个递归的过程。</p><div class="example"><a id="id2746165"></a><p class="title"><b>例 11.2. 归并排序</b></p><div class="example-contents"><pre class="programlisting">#include <stdio.h>
#define LEN 8
int a[LEN] = { 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6 };
void merge(int start, int mid, int end)
{
int n1 = mid - start + 1;
int n2 = end - mid;
int left[n1], right[n2];
int i, j, k;
for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[start..mid] */
left[i] = a[start+i];
for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[mid+1..end] */
right[j] = a[mid+1+j];
i = j = 0;
k = start;
while (i < n1 && j < n2)
if (left[i] < right[j])
a[k++] = left[i++];
else
a[k++] = right[j++];
while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
a[k++] = left[i++];
while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
a[k++] = right[j++];
}
void sort(int start, int end)
{
int mid;
if (start < end) {
mid = (start + end) / 2;
printf("sort (%d-%d, %d-%d) %d %d %d %d %d %d %d %d\n",
start, mid, mid+1, end,
a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
sort(start, mid);
sort(mid+1, end);
merge(start, mid, end);
printf("merge (%d-%d, %d-%d) to %d %d %d %d %d %d %d %d\n",
start, mid, mid+1, end,
a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
}
}
int main(void)
{
sort(0, LEN-1);
return 0;
}</pre><p>执行结果是：</p><pre class="screen">sort (0-3, 4-7) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-1, 2-3) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-0, 1-1) 5 2 4 7 1 3 2 6
merge (0-0, 1-1) to 2 5 4 7 1 3 2 6
sort (2-2, 3-3) 2 5 4 7 1 3 2 6
merge (2-2, 3-3) to 2 5 4 7 1 3 2 6
merge 0-1, 2-3) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-5, 6-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-4, 5-5) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-4, 5-5) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (6-6, 7-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (6-6, 7-7) to 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-5, 6-7) to 2 4 5 7 1 2 3 6
merge (0-3, 4-7) to 1 2 2 3 4 5 6 7</pre></div></div><br class="example-break" /><p><code class="literal">sort</code>函数把a[start..end]平均分成两个子序列，分别是a[start..mid]和a[mid+1..end]，对这两个子序列分别递归调用<code class="literal">sort</code>函数进行排序，然后调用<code class="literal">merge</code>函数将排好序的两个子序列合并起来，由于两个子序列都已经排好序了，合并的过程很简单，每次循环取两个子序列中最小的元素进行比较，将较小的元素取出放到最终的排序序列中，如果其中一个子序列的元素已取完，就把另一个子序列剩下的元素都放到最终的排序序列中。为了便于理解程序，我在<code class="literal">sort</code>函数开头和结尾插了打印语句，可以看出调用过程是这样的：</p><div class="figure"><a id="id2746254"></a><p class="title"><b>图 11.4. 归并排序调用过程</b></p><div class="figure-contents"><div><img src="images/sortsearch.mergesort.png" alt="归并排序调用过程" /></div></div></div><br class="figure-break" /><p>图中S表示<code class="literal">sort</code>函数，M表示<code class="literal">merge</code>函数，整个控制流程沿虚线所示的方向调用和返回。由于<code class="literal">sort</code>函数递归调用了自己两次，所以各函数之间的调用关系呈树状结构。画这个图只是为了清楚地展现归并排序的过程，读者在理解递归函数时一定不要全部展开来看，而是要抓住Base Case和递推关系来理解。我们分析一下归并排序的时间复杂度，以下分析出自<a class="xref" href="bi01.html#bibli.algorithm" title="Introduction to Algorithms">[<abbr class="abbrev">算法导论</abbr>]</a>。</p><p>首先分析<code class="literal">merge</code>函数的时间复杂度。在<code class="literal">merge</code>函数中演示了C99的新特性－－可变长数组，当然也可以避免使用这一特性，比如把<code class="literal">left</code>和<code class="literal">right</code>都按最大长度<code class="literal">LEN</code>分配。不管用哪种办法，定义数组并分配存储空间的执行时间都可以看作常数，与数组的长度无关，常数用Θ-notation记作Θ(1)。设子序列a[start..mid]的长度为<code class="literal">n1</code>，子序列[mid+1..end]的长度为<code class="literal">n2</code>，a[start..end]的总长度为n=n1+n2，则前两个<code class="literal">for</code>循环的执行时间是Θ(n1+n2)，也就是Θ(n)，后面三个<code class="literal">for</code>循环合在一起看，每走一次循环就会在最终的排序序列中确定一个元素，最终的排序序列共有n个元素，所以执行时间也是Θ(n)。两个Θ(n)再加上若干常数项，<code class="literal">merge</code>函数总的执行时间仍是Θ(n)，其中n=end-start+1。</p><p>然后分析<code class="literal">sort</code>函数的时间复杂度，当输入长度n=1，也就是<code class="literal">start==end</code>时，<code class="literal">if</code>条件不成立，执行时间为常数Θ(1)，当输入长度n>1时：</p><div class="literallayout"><p>总的执行时间 = 2 × 输入长度为n/2的<code class="literal">sort</code>函数的执行时间 + <code class="literal">merge</code>函数的执行时间Θ(n)</p></div><p>设输入长度为n的<code class="literal">sort</code>函数的执行时间为T(n)，综上所述：</p><div><img src="images/sortsearch.recurrence1.png" /></div><p>这是一个递推公式（Recurrence）<a id="id2746442" class="indexterm"></a>，我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c<sub>1</sub>，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c<sub>2</sub>n，我们取c<sub>1</sub>和c<sub>2</sub>中较大的一个设为c，把原来的公式改为：</p><div><img src="images/sortsearch.recurrence2.png" /></div><p>这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：</p><div><img src="images/sortsearch.calcrecurrence.png" /></div><p>把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。</p><p>如果先前取c<sub>1</sub>和c<sub>2</sub>中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。</p><p>和插入排序的平均情况相比归并排序更快一些，虽然<code class="literal">merge</code>函数的步骤较多，引入了较大的常数、系数和低次项，但是对于较大的输入长度n，这些都不是主要因素，归并排序的时间复杂度是Θ(nlgn)，而插入排序的平均情况是Θ(n<sup>2</sup>)，这就决定了归并排序是更快的算法。但是不是任何情况下归并排序都优于插入排序呢？哪些情况适用插入排序而不适用归并排序？留给读者思考。</p><div class="simplesect" lang="zh-cn" xml:lang="zh-cn"><div class="titlepage"><div><div><h3 class="title"><a id="id2746534"></a>习题</h3></div></div></div><p>1、快速排序是另外一种采用分而治之策略的排序算法，在平均情况下的时间复杂度也是Θ(nlgn)，但比归并排序有更小的时间常数。它的基本思想是这样的：</p><pre class="programlisting">int partition(int start, int end)
{
从a[start..end]中选取一个pivot元素（比如选a[start]为pivot）;
在一个循环中移动a[start..end]的数据，将a[start..end]分成两半，
使a[start..mid-1]比pivot元素小，a[mid+1..end]比pivot元素大，而a[mid]就是pivot元素;
return mid;
}
void quicksort(int start, int end)
{
int mid;
if (end > start) {
mid = partition(start, end);
quicksort(start, mid-1);
quicksort(mid+1, end);
}
}</pre><p>请补完<code class="literal">partition</code>函数，这个函数有多种写法，请选择时间常数尽可能小的实现方法。想想快速排序在最好和最坏情况下的时间复杂度是多少？快速排序在平均情况下的时间复杂度分析起来比较复杂，有兴趣的读者可以参考<a class="xref" href="bi01.html#bibli.algorithm" title="Introduction to Algorithms">[<abbr class="abbrev">算法导论</abbr>]</a>。</p></div></div><div class="navfooter"><hr /><table width="100%" summary="Navigation footer"><tr><td width="40%" align="left"><a accesskey="p" href="ch11s03.html">上一页</a> </td><td width="20%" align="center"><a accesskey="u" href="ch11.html">上一级</a></td><td width="40%" align="right"> <a accesskey="n" href="ch11s05.html">下一页</a></td></tr><tr><td width="40%" align="left" valign="top">3. 算法的时间复杂度分析 </td><td width="20%" align="center"><a accesskey="h" href="index.html">起始页</a></td><td width="40%" align="right" valign="top"> 5. 线性查找</td></tr></table></div></body></html>