矩阵记号是为解方程组带来方便。 解方程组，消元法。
三种基本变换对应于增广矩阵的下列变换:
行初等变换
- (倍加变换 replacement) 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
- (对换变换 interchange) 把两行对换
- (倍乘变换 scaling) 把某一行的所有元素乘以同一个非零数
行变换可应用于任何矩阵.如果一个矩阵可以经过一系列行初等变换变成另一个矩阵，则称这两个矩阵是行等价的。
行变换是可逆的。
线性方程组的两个基本问题：
- 方程组是否相容，即它是否至少有一个解？
- 若它有解，是否只有一个解，即解是否唯一？
非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。
一个矩阵称为阶梯型，则有以下三个性值: 1 每一非零行在每一零行之上 2 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面 3 某一先导元素所在列下方元素都是零。若一个阶梯型矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形： 4 每一非零行的先导元素是1 5 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素
一个矩阵可以行化简变为阶梯形矩阵，但不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵。一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。大部分矩阵程序用RREF作为简化阶梯形的缩写，有些用REF作为阶梯形的缩写。
矩阵经过行变换化为阶梯形后，经进一步的行变换将矩阵化为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变。
矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素的位置。主元列是A的含有主元位置的列。
用不同的行变换产生不同的主元。
行简化算法，向前步骤，向后步骤。
行简化算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显式示法。
对应主元列的变量称为基本变量，其它变量称为自由变量。自由变量是指它可取任意值。
解集的参数表示
有自由变量的方程有无穷多个解
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说，增广矩阵的阶梯形没有 [0 … 0 b] b ≠ 0的行，如果线性方程组相容，它的解集可能有两种情形:
- 当没有自由变量时，有唯一解。
- 若至少有一个自由变量，有无穷多解。
仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。
所有两个元素的向量的集记为R^2, R表示向量中的元素是实数，指数2表示每个向量包含2个元素。
给定R^n 中向量v_1, v_2, …, v_p 和标量 c_1, c_2, …, c_p ,向量 \[ y = c_1v_1+…+c_pv_p \] 称为向量v_1, v_2, …, v_p 以c_1, c_2, …, c_p 为权的线性组合。
向量方程 \[ x_1a_1+x_2a_2+…+x_na_n=b\] 和增广矩阵为 \begin{equation} \label{eq:m1} [a_1 \quad a_2 \quad … \quad a_n \quad b] \end{equation} 的线性方程组有相同的解集。特别地， b 可以表示为 a_1, a_2, …, a_n 的线性组合，当且仅当对应于 \eqref{eq:m1} 式的方程组有解.
若A是mxn矩阵，它的各列为a_1, …, a_n. 若x是R^n 中向量,则A与x的积,记为Ax,就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合，即
\[
Ax=\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & … & a_n
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1
x_2 \
\vdots \
x_n
\end{bmatrix} = x_1a_1 + x_2a_2 + … + x_n a_n
\]
称Ax=b这样的方程为矩阵方程
至此，线性方程组有三种不同但彼此等价的观点:作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。 都用行化简算法来化简增广矩阵来解。
主对角线上元素为1，其他位置元素为0，这个矩阵称为单位矩阵。记为I
如果线性方程组可以写成Ax=0的形式，则称为齐次的，A是mxn矩阵，0是R^n 中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即x=0,这个解称为它的平凡解。
齐次方程Ax=0有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。