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Mapas, Curvas, superfícies e Variedades

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Mapas

1 - Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $f(x) = \sin{x}$ ou $f: x \Rightarrow \sin{x}$. Determine o domínio, alcance, imagem e imagem inversa de $0$.

O domínio e a imagem são $\mathbb{R}$, já a imagem é $f(\mathbb{R}) = \left[-1,1 \right]$. Para a imagem inversa de $0$ vemos que existem diversos valores de $x$ que produzem $\sin{x}=0$, todos esses valores são múltiplos inteiros de $\pi$. Então escrevemos $f^{-1}(0) = \lbrace n \pi \vert n \in \mathbb{Z} \rbrace$.

2 - Classifique os mapas a seguir como injetivos, sobrejetivos ou bijetivo:
$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido como $f: x \mapsto ax$, onde $a \in \mathbb{R} - \lbrace 0\rbrace$.

 como $a \ne 0$, $ax$ é sempre um múltiplo de $x$. Isso é definido para todo $Dom = \mathbb{R}$ e $Img = \mathbb{R}$. Atende às condições para ser injetivo e sobrejetivo. é portanto, bijetivo.

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido como $f: x \mapsto x^{2}$.

Não é injetivo pois, por exemplo: $x = 1$ e $x = -1$ são ambos mapeados para $f(x) = 1$. Não é sobrejetivo pois não há pelo menos um $x$ que seja mapeado para $f(x) < 0$.

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido como $f: x \mapsto e^{x}$.

É injetivo, pois para cada $x$ há apenas um $f(x)$.  Não é sobrejetivo pois não há pelo menos um $x$ que seja mapeado para $f(x) < 0$.

Seja $M$ um elemento do grupo linear geral $GL(n,\mathbb{R})$ cujas representação matricial é dada por matrizes $n \times n$ com determinante não nulo, ou seja, $M: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, $x \mapsto Mx$.

Com a garantia do determinante não nulo, cada $x$ á mapeado para um $Mx$ único e existe a função inversa $M^{-1}x \mapsto x$ que também é injetiva. Esse mapa é portanto, bijetivo.

3 - Seja o mapa $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido como $f: x \mapsto \sin{x}$. Defina restrições no domínio e no alcance para que $f$ seja bijetivo.

Restringindo o domínio ao subconjunto $\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \subset \mathbb{R}$ garantimos que o mapa injetivo e restringindo o alcance para o subconjunto $\left[-1,1 \right]$ garantimos que para todo $f(x)$ exista pelo menos um $x$, sendo assim sobrejetivo. Com as duas restrições $f: \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \rightarrow \left[-1,1 \right]$ o mapa $f(x) = \sin{x}$ é bijetivo.

4 - Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f: x \mapsto x^{2}$ e $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por $g: x \mapsto e^{x}$. Quais são os mapas $g \circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $f \circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$?

$g \circ f = e^{f(x)} = e^{x^{2}}$, enquanto $f \circ g = \left(g(x) \right)^{2} = \left(e^{x}\right)^{2} = e^{2x}$.

5 - O grupo Euclidiano n-dimensional $E^{n}$ é feito de uma translação n-dimensional $a: x \rightarrow x + a$, onde $x,a \in \mathbb{R}^{n}$, e uma rotation, $O(n)$, $R: x \rightarrow Rx$, onde $R \in O(n)$. Um elemento geral $(R,a)$ de $E^{n}$ atua sobre $x$ pelo mapa $(R,a): x \mapsto Rx + a$. O produto é definido por $(R_{2},a_{2}) \times (R_{1},a_{1}): x \mapsto R_{2}\left( R_{1}x + a_{1}\right) + a_{2}$, que é $(R_{2},a_{2}) \circ (R_{1},a_{1}) = \left( R_{2}R_{1}, R_{2}a_{1} + a_{2} \right)$. Mostre que os mapas $a, R$ e $(R,a)$ são bijeções e encontre seus mapas inversos.

o mapa $a: x \rightarrow x + a$ é a apenas a identidade de $\mathbb{R}^{n}$ deslocada de $a$. É portanto bijetiva e seu mapa inverso é $a^{-1}: x \rightarrow x-a$.  
O mapa $R: x \rightarrow Rx$ é injetivo, pois para há apenas um $x$ que é mapeado para $Rx$. É também sobrejetivo, pois todos os pontos do $\mathbb{R}^{n}$ podem ser obtidos através da transformação, por consequência é bijetivo. O mapa inverso é dado por $R^{-1}:x \rightarrow R^{-1}x$, onde $R^{-1}$ é a matriz inversa de $R$.  
O mapa $(R,a): x \mapsto Rx + a$ é simplesmente a atuação conjunta dos mapas $R$ e $a$ sobre $x$. Essa atuação conserva as propriedades de ambos mapas, sendo assim uma bijeção. Seu mapa inverso é dado por $(R,a)^{-1}: x \rightarrow R^{-1}x - a$.

6 - Seja o mapa $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ definido por $f: x \rightarrow x^{2}$. Mostre que se dotarmos $\mathbb{R}$ com a propriedade da soma, ou seja $ab = a + b\ \forall a,b \in \mathbb{R}$, o mapa $f$ não é um homomorfismo. Mostre também que se ao invés da soma dotarmos $\mathbb{R}$ com a propriedade da multiplicação, o mapa $f$ é então um homomorfismo.

Para o primeiro caso devemos verificar se a propriedade da soma $ab = a+b$ é mantida pelo mapa, ou seja $f(ab) = f(a) + f(b)$. Podemos ver que não é um homomorfismo, pois aplicando o mapa $f$ na soma $a+b$ temos $f(a+b) = (a+b)^{2} \ne a^{2} + b^{2} = f(a) + f(b)$ a propriedade da soma não é preservada.  
Já para o caso da multiplicação $ab = a \cdot b$, temos $f(a \cdot b) = (a \cdot b)^{2} = a^{2} \cdot b^{2} = f(a)\cdot f(b)$, preservando a multiplicação e sendo assim um homomorfismo. Entretanto $f$ não é um isomorfismo, já que não é bijetivo.

Variedades diferenciaveis

1 - Mostre que a função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(s) = s^{3}$, define uma estrutura $C^{\infty}$ sobre $\mathbb{R}$ diferente da usual (aquela do atlas $\lbrace (\mathbb{R}, id_{\mathbb{R}}) \rbrace$).

No atlas usual $\lbrace (\mathbb{R}, id_{\mathbb{R}}) \rbrace$, o mapa $f: \mathbb{R}_{f} \rightarrow \mathbb{R}_{id}$ é um difeomorfismo, então devemos mostrar que o mapa proposto tem uma estrutura diferente.

O primeiro ponto é que existe um mapa inverso $f^{-1}(s) = \sqrt[3]{s}$, então $f$ é um homeomorfismo. Assim a estrutura definida por $\lbrace (\mathbb{R},f) \rbrace$ é um atlas para $\mathbb{R}$. Essa estrutura difere do atlas usual no sentido de que não é um difeomorfismo, pois $f^{-1}$ não é diferenciável em $s=0$.

2 - Sejam $U$ e $V$ dois subconjuntos abertos do círculo unitário $S^{1}$ de $\mathbb{R}^{2}$ dados por:

$$U = \lbrace (\cos{\theta},\sin{\theta} \vert \theta \in (0,2 \pi))\rbrace, \ \ \ V = \lbrace (\cos{\theta},\sin{\theta} \vert \theta \in (-\pi,\pi))\rbrace.$$

Mostre que $\mathcal{A} = \lbrace (U,f), (V,g) \rbrace$, onde

$$f: U \rightarrow \mathbb{R},\ \ \ f(\cos{\theta},\sin{\theta})=\theta,\ \ \ \theta \in (0,2 \pi) \ g: V \rightarrow \mathbb{R},\ \ \ f(\cos{\theta},\sin{\theta})=\theta,\ \ \ \theta \in (-\pi,\pi),$$

é um atlas sobre $S^{1}$.

Solução:

3 - Defina um atlas na superfície cilíndrica

$$M = \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \vert x^{2} + y^{2} = r^{2},\ 0 < z < h \rbrace,$$

onde $h,r \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

Solução:

4 - Prove que se $h: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ é um homemomorfismo, então o atlas $\lbrace (\mathbb{R}^{n}, h) \rbrace$ define a estrutura diferencial usual sobre $\mathbb{R}^{n}$ ((aquela definida pelo atlas $\lbrace (\mathbb{R}^{n}, id_{\mathbb{R}^{n}}) \rbrace$) se e somente se $h$ e $h^{-1}$ são diferenciaveis.

Solução:

5 - Considere o mapa: $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\ \ \ (x,y) \Rightarrow x^{3} + xy + y^{3} + 1$

1. Calcule o mapa $f_{*}: T_{p}\mathbb{R}^{2} \rightarrow T_{p(p)}\mathbb{R}$.
2. Para quais dos pontos $(0,0),\ (1/3,1/3),\ (-1/3,-1/3)$, é $f_{*}$ é injetiva or sobrejetiva?