-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathniet-parametrische-statistiek.html
1207 lines (1167 loc) · 130 KB
/
niet-parametrische-statistiek.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<!DOCTYPE html>
<html lang="" xml:lang="">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
<title>Hoofdstuk 8 Niet-parametrische statistiek | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</title>
<meta name="description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="generator" content="bookdown 0.29.1 and GitBook 2.6.7" />
<meta property="og:title" content="Hoofdstuk 8 Niet-parametrische statistiek | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta property="og:type" content="book" />
<meta property="og:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="github-repo" content="statOmics/statistiek2deBach" />
<meta name="twitter:card" content="summary" />
<meta name="twitter:title" content="Hoofdstuk 8 Niet-parametrische statistiek | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta name="twitter:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="author" content="Lieven Clement" />
<meta name="date" content="2022-09-20" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes" />
<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black" />
<link rel="prev" href="chap-anova.html"/>
<link rel="next" href="chap-categorisch.html"/>
<script src="libs/jquery-3.6.0/jquery-3.6.0.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/fuse.min.js"></script>
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/style.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-table.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-bookdown.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-highlight.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-search.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-fontsettings.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-clipboard.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections-hash.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.js"></script>
<script src="libs/kePrint-0.0.1/kePrint.js"></script>
<link href="libs/lightable-0.0.1/lightable.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.min.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.js"></script>
<style type="text/css">
pre > code.sourceCode { white-space: pre; position: relative; }
pre > code.sourceCode > span { display: inline-block; line-height: 1.25; }
pre > code.sourceCode > span:empty { height: 1.2em; }
.sourceCode { overflow: visible; }
code.sourceCode > span { color: inherit; text-decoration: inherit; }
pre.sourceCode { margin: 0; }
@media screen {
div.sourceCode { overflow: auto; }
}
@media print {
pre > code.sourceCode { white-space: pre-wrap; }
pre > code.sourceCode > span { text-indent: -5em; padding-left: 5em; }
}
pre.numberSource code
{ counter-reset: source-line 0; }
pre.numberSource code > span
{ position: relative; left: -4em; counter-increment: source-line; }
pre.numberSource code > span > a:first-child::before
{ content: counter(source-line);
position: relative; left: -1em; text-align: right; vertical-align: baseline;
border: none; display: inline-block;
-webkit-touch-callout: none; -webkit-user-select: none;
-khtml-user-select: none; -moz-user-select: none;
-ms-user-select: none; user-select: none;
padding: 0 4px; width: 4em;
color: #aaaaaa;
}
pre.numberSource { margin-left: 3em; border-left: 1px solid #aaaaaa; padding-left: 4px; }
div.sourceCode
{ }
@media screen {
pre > code.sourceCode > span > a:first-child::before { text-decoration: underline; }
}
code span.al { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Alert */
code span.an { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Annotation */
code span.at { color: #7d9029; } /* Attribute */
code span.bn { color: #40a070; } /* BaseN */
code span.bu { } /* BuiltIn */
code span.cf { color: #007020; font-weight: bold; } /* ControlFlow */
code span.ch { color: #4070a0; } /* Char */
code span.cn { color: #880000; } /* Constant */
code span.co { color: #60a0b0; font-style: italic; } /* Comment */
code span.cv { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* CommentVar */
code span.do { color: #ba2121; font-style: italic; } /* Documentation */
code span.dt { color: #902000; } /* DataType */
code span.dv { color: #40a070; } /* DecVal */
code span.er { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Error */
code span.ex { } /* Extension */
code span.fl { color: #40a070; } /* Float */
code span.fu { color: #06287e; } /* Function */
code span.im { } /* Import */
code span.in { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Information */
code span.kw { color: #007020; font-weight: bold; } /* Keyword */
code span.op { color: #666666; } /* Operator */
code span.ot { color: #007020; } /* Other */
code span.pp { color: #bc7a00; } /* Preprocessor */
code span.sc { color: #4070a0; } /* SpecialChar */
code span.ss { color: #bb6688; } /* SpecialString */
code span.st { color: #4070a0; } /* String */
code span.va { color: #19177c; } /* Variable */
code span.vs { color: #4070a0; } /* VerbatimString */
code span.wa { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Warning */
</style>
<style type="text/css">
/* Used with Pandoc 2.11+ new --citeproc when CSL is used */
div.csl-bib-body { }
div.csl-entry {
clear: both;
}
.hanging div.csl-entry {
margin-left:2em;
text-indent:-2em;
}
div.csl-left-margin {
min-width:2em;
float:left;
}
div.csl-right-inline {
margin-left:2em;
padding-left:1em;
}
div.csl-indent {
margin-left: 2em;
}
</style>
<link rel="stylesheet" href="style.css" type="text/css" />
</head>
<body>
<div class="book without-animation with-summary font-size-2 font-family-1" data-basepath=".">
<div class="book-summary">
<nav role="navigation">
<ul class="summary">
<li><a href="./">Cursus Inleiding tot Biostatistiek 2022-2023</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Woord vooraf</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="links.html"><a href="links.html"><i class="fa fa-check"></i>Links</a></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#sec:wetMeth"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> De Wetenschappelijke Methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#opzet-van-de-cursus"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Opzet van de cursus</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-oksel-microbiome"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Case study: oksel microbiome</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.3.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experimenteel-design-proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.1</b> Experimenteel design (proefopzet)</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#data-exploratie-en-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.2</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#statistische-besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.3</b> Statistische Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-ii-verschil-in-lengte-tussen-vrouwen-en-mannen"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Case Study II: Verschil in lengte tussen vrouwen en mannen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.4.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.1</b> Experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.2</b> Herhaal het experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment-opnieuw"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.3</b> Herhaal het experiment opnieuw</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#samenvatting"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.4</b> Samenvatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#controle-van-beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.5</b> Controle van beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#conclusies"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.6</b> Conclusies</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-salk-vaccin"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Case study: Salk vaccin</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.5.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#nfip-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.1</b> NFIP Study</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#confounding"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.2</b> Confounding</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#salk-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.3</b> Salk Study</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#rol-van-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Rol van Statistiek</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Belangrijke concepten & conventies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#inleiding-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:pop"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> Populatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#toevalsveranderlijken-of-toevallige-veranderlijken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> Toevalsveranderlijken (of toevallige veranderlijken)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#beschrijven-van-de-populatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Beschrijven van de populatie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.5.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#intermezzo-probabiliteitstheorie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.1</b> Intermezzo probabiliteitstheorie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#standardisatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.2</b> Standardisatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:normalcalc"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.3</b> Achtergrond Normale verdeling</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#steekproef"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> Steekproef</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-gender"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> NHANES: Gender</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-lengte"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> NHANES: Lengte</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.8.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#empirische-distributie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.1</b> Empirische distributie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#normale-benadering"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.2</b> Normale benadering</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#referentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.3</b> Referentie intervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conclusions"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.4</b> Conclusions</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#statistieken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Statistieken</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conventie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Conventie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#code-voor-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> Code voor dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Studiedesign</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#inleiding-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:steekproefdesigns"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> Steekproefdesigns</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.2.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#replicatie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2.1</b> Replicatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#experimentele-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> Experimentele studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#de-salk-vaccin-veldstudie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.1</b> De Salk Vaccin Veldstudie</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#gerandomiseerde-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.2</b> Gerandomiseerde gecontroleerde studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#parallelle-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.3</b> Parallelle designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-over-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.4</b> Cross-over designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#factoriële-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.5</b> Factoriële designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#quasi-experimentele-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.6</b> Quasi-experimentele designs</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:observational"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Observationele studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:prosp"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Prospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:retro"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#niet-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Niet-gecontroleerde studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.7.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:prepost"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.1</b> Pre-test/Post-test studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-sectionele-surveys"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.2</b> Cross-sectionele surveys</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#inleiding-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:univar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Univariate beschrijving van de variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:summarize"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Samenvattingsmaten voor continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.3.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#maten-voor-de-centrale-ligging"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.1</b> Maten voor de centrale ligging</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:spreiding"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.2</b> Spreidingsmaten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:normal"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> De Normale benadering van gegevens</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:qq"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4.1</b> QQ-plots</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:explCatVar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Samenvattingsmaten voor categorische variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.5.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#prospectieve-studies-en-lukrake-steekproeven"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.1</b> Prospectieve studies en lukrake steekproeven</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:retrospect"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.2</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#rates-versus-risicos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.3</b> Rates versus risico’s</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#associaties-tussen-twee-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> Associaties tussen twee variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.6.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:kruistabel"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.1</b> Associatie tussen twee kwalitatieve variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:asskwalcont"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.2</b> Associatie tussen één kwalitatieve en één continue variabele</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Associatie tussen twee continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.7.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#covariantie-en-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.1</b> Covariantie en Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#pearson-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.2</b> Pearson Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#verschillende-groottes-van-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.3</b> Verschillende groottes van correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#spearman-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.4</b> Spearman correlatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:missing"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Onvolledige gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#clips-over-de-code-in-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Clips over de code in dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Statistische besluitvorming</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#inleiding-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> Captopril voorbeeld</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.2.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.1</b> Proefopzet</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#data-exploratie-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.2</b> Data Exploratie & Beschrijvende Statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#schatten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.3</b> Schatten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#puntschatters-het-steekproefgemiddelde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Puntschatters: het steekproefgemiddelde</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.3.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#overzicht"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.1</b> Overzicht</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#het-steekproefgemiddelde-is-onvertekend"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.2</b> Het steekproefgemiddelde is onvertekend</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#imprecisiestandard-error"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.3</b> Imprecisie/standard error</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:verdelingXbar"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.4</b> Verdeling van het steekproefgemiddelde</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#intervalschatters"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Intervalschatters</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.4.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:bigek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.1</b> Gekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#sec:tBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.2</b> Ongekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:interpretBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.3</b> Interpretatie van betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.4</b> Wat rapporteren?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#principe-van-hypothesetoetsen-via-one-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Principe van Hypothesetoetsen (via one sample t-test)</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#introductie-d.m.v.-captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.1</b> Introductie d.m.v. captopril voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#hypotheses"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.2</b> Hypotheses</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#test-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.3</b> Test-statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#de-p-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.4</b> De p-waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#kritieke-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.5</b> Kritieke waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.6</b> Beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#conclusies-captopril-voorbeeld."><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.7</b> Conclusies Captopril voorbeeld.</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#eenzijdig-of-tweezijdig-toetsen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.8</b> Eenzijdig of tweezijdig toetsen?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#geclusterde-metingen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Geclusterde metingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.6.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6.1</b> Captopril</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#two-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Two-sample t-test</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.7.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#notatie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.1</b> Notatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#oksel-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.2</b> Oksel-voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#aannames"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Aannames</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.8.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-de-veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.1</b> Nagaan van de veronderstelling van Normaliteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.2</b> Nagaan van homoscedasticiteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.9" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren-1"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9</b> Wat rapporteren?</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.9.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-1-relatie-toetsen-en-betrouwbaarheidsintervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.1</b> Reden 1: Relatie toetsen en betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.9.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-2-statistische-significantie-versus-wetenschappelijke-relevantie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.2</b> Reden 2: Statistische significantie versus wetenschappelijke relevantie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.10" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#equivalentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.10</b> Equivalentie-intervallen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Enkelvoudige lineaire regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#inleiding-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#borstkanker-dataset"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.1</b> Borstkanker dataset</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#data-exploratie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.2</b> Data exploratie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#model"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.3</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineaire-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Lineaire regressie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#parameterschatting"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> Parameterschatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linBesluit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Statistische besluitvorming</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nagaan-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.5.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-homoscedasticiteit-gelijkheid-van-variantie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.2</b> Veronderstelling van homoscedasticiteit (gelijkheid van variantie)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.3</b> Veronderstelling van normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#afwijkingen-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> Afwijkingen van Modelveronderstellingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#besluitvorming-over-gemiddelde-uitkomst"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> Besluitvorming over gemiddelde uitkomst</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#predictie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Predictie-intervallen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.8.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nhanes-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linAnova"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Kwadratensommen en Anova-tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.9.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#determinatie-coëfficiënt"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.1</b> Determinatie-coëfficiënt</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#f-testen-in-het-enkelvoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.2</b> F-Testen in het enkelvoudig lineair regressiemodel</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#anova-tabel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.3</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linDummy"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Dummy variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Variantie analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#inleiding-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.1</b> Prostacycline voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.1.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.2</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#variantie-analyse"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Variantie-analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.2.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-2"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.1</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#kwadratensommen-en-anova"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.2</b> Kwadratensommen en Anova</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-test"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.3</b> Anova-test</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-tabel-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.4</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Post hoc analyse: Meervoudig Vergelijken van Gemiddelden</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.3.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#naïeve-methode"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.1</b> Naïeve methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#family-wise-error-rate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.2</b> Family-wise error rate</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#conclusies-prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Conclusies: Prostacycline Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> Niet-parametrische statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#inleiding-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-twee-groepen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> Vergelijken van twee groepen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.2.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.1</b> Cholestorol voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#permutatietesten"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.2</b> Permutatietesten</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#rank-testen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.3</b> Rank Testen</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.4" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#wilcoxon-mann-whitney-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.4</b> Wilcoxon-Mann-Whitney Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.5" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#conclusie-cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.5</b> Conclusie Cholestorol Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-g-behandelingen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Vergelijken van <span class="math inline">\(g\)</span> Behandelingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.3.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#dmh-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.1</b> DMH Voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#kruskal-wallis-rank-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.2</b> Kruskal-Wallis Rank Test</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Categorische data analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#inleiding-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toetsen-voor-een-proportie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Toetsen voor een proportie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.2.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.1</b> Asymptotisch Betrouwbaarheidsinterval</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotische-test"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.2</b> Asymptotische Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:binom"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.3</b> Binomiale test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#conclusie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.4</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Toets voor associatie tussen 2 kwalitatieve variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.3.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#gepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.1</b> Gepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:catOnPaired"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.2</b> Ongepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#de-pearson-chi-kwadraat-test-voor-ongepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.3</b> De Pearson Chi-kwadraat test voor ongepaarde gegevens</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#logistische-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Logistische regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.4.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#categorische-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.1</b> Categorische predictor</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#continue-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.2</b> Continue predictor</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Algemeen lineair model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inleiding-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:prostate"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1.1</b> Prostaatkanker dataset</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-additieve-meervoudig-lineaire-regressie-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Het additieve meervoudig lineaire regressie model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.2.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#statistisch-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2.1</b> Statistisch model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming-in-regressiemodellen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Besluitvorming in regressiemodellen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nagaan-van-modelveronderstellingen-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.4.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#lineariteit-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.2</b> Homoscedasticiteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.3</b> Normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-niet-additieve-meervoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Het niet-additieve meervoudig lineair regressiemodel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.5.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#interactie-tussen-continue-variabele-en-factor-variabele"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.1</b> Interactie tussen continue variabele en factor variabele</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:intCont"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.2</b> Interactie tussen twee continue variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#anova-tabel-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> ANOVA Tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.6.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sstot-ssr-en-sse"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.1</b> SSTot, SSR en SSE</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#extra-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.2</b> Extra Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-i-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.3</b> Type I Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-iii-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.4</b> Type III Kwadratensommen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#regressiediagnostieken"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Regressiediagnostieken</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.7.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#multicollineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.1</b> Multicollineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#invloedrijke-observaties"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.2</b> Invloedrijke observaties</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#cooks-distance"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.3</b> Cook’s distance</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#constrasten"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Constrasten</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.8.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nhanes-voorbeeld-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.2</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.3</b> Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#factoriële-proeven"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> Factoriële proeven</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.9.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#introductie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.1</b> Introductie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#data-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.2</b> Data</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-4"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.3</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inferentie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.4</b> Inferentie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#conclusie-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.5</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</a>
</h1>
</div>
<div class="page-wrapper" tabindex="-1" role="main">
<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="niet-parametrische-statistiek" class="section level1 hasAnchor" number="8">
<h1><span class="header-section-number">Hoofdstuk 8</span> Niet-parametrische statistiek<a href="niet-parametrische-statistiek.html#niet-parametrische-statistiek" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<p>Alle kennisclips die in dit hoofdstuk zijn verwerkt kan je in deze youtube playlist vinden:</p>
<ul>
<li><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLZH1hP8_LbJJyR4mqLOxDwwOzysbhaFm1">Kennisclips Hoofdstuk 8 Niet-parametrische Statistiek</a></li>
</ul>
<p>Link naar webpage/script die wordt gebruik in de kennisclips:</p>
<ul>
<li><a href="https://statomics.github.io/sbc/rmd/08-NonparametericStatistics.html">script Hoofdstuk 8</a></li>
</ul>
<div id="inleiding-7" class="section level2 hasAnchor" number="8.1">
<h2><span class="header-section-number">8.1</span> Inleiding<a href="niet-parametrische-statistiek.html#inleiding-7" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/x0qBWoUpT00" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Alle methoden die in de vorige hoofdstukken behandeld werden, zijn zogenaamde parametrische methoden. Deze term duidt erop dat de geldigheid van de inferentie enkel correct is als er voldaan is aan parametrische veronderstellingen.
Dit zijn voornamelijk de distributionele veronderstellingen, zoals dat de observaties normaal verdeeld zijn. Andere
voorbeelden van een parametrische veronderstelling zijn de gelijkheid van varianties bij de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test en ANOVA en de lineariteit van een regressiemodel.</p>
<p>Wanneer we over statistische besluitvorming spreken, is bijvoorbeeld de <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde van een statistische test, of de probabilistische interpretatie van een betrouwbaarheidsinterval enkel correct interpreteerbaar onder bepaalde veronderstellingen:</p>
<ul>
<li><p>De <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde is de kans dat de teststatistiek <span class="math inline">\(T\)</span> onder de nulhypothese meer extreem is dan de waargenomen waarde <span class="math inline">\(t\)</span> (gegeven dat <span class="math inline">\(H_0\)</span> waar is). Die kans wordt berekend op basis van de nuldistributie van <span class="math inline">\(T\)</span>. Deze distributie wordt bij parametrische testen afgeleid door te steunen op veronderstellingen over de verdeling van de observaties. Indien er niet voldaan is aan deze veronderstellingen, is de berekende <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde fout. Dit betekent dat de conclusies die op <span class="math inline">\(p\)</span> gebaseerd worden, eveneens mogelijks fout kunnen zijn.</p></li>
<li><p>De berekening van bv. een <span class="math inline">\(95\%\)</span> betrouwbaarheidsinterval steunt eveneens op distributionele veronderstellingen. Als er niet voldaan is aan de veronderstellingen, is er geen garantie meer dat de berekende intervallen de (correcte) interpretatie hebben dat dergelijke intervallen de juiste parameterwaarde omvatten met <span class="math inline">\(95\%\)</span> kans.</p></li>
</ul>
<p>Asymptotische theorie is misschien moeilijker te plaatsen onder parametrisch of niet-parametrisch. Je zou kunnen stellen dat bv. een <span class="math inline">\(t\)</span>-test asymptotisch niet-parametrisch is, omdat bij erg grote steekproefgroottes de distributionele veronderstelling van normaliteit niet meer belangrijk is.</p>
<p>De reden waarom we in deze cursus een focus hebben op parametrische methoden is omdat ze efficiënter en meer flexibel zijn wanneer er aan de voorwaarden voldaan is. Efficiëntie betekent dat bij een constante steekproefgrootte de testen een grotere power hebben en dat de betrouwbaarheidsintervallen smaller zijn. Met meer flexibel bedoelen we dat het eenvoudiger is om de methoden in te zetten voor experimenten met meer complexe designs.
Als er niet voldaan is aan de veronderstellingen van de parameterische methoden kunnen we voor bepaalde designs overschakelen naar niet-parametrische methoden die in deze situatie nog steeds formeel geldig zijn.</p>
</div>
<div id="vergelijken-van-twee-groepen" class="section level2 hasAnchor" number="8.2">
<h2><span class="header-section-number">8.2</span> Vergelijken van twee groepen<a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-twee-groepen" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/2gkuOjD_Trc" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<div id="cholestorol-voorbeeld" class="section level3 hasAnchor" number="8.2.1">
<h3><span class="header-section-number">8.2.1</span> Cholestorol voorbeeld<a href="niet-parametrische-statistiek.html#cholestorol-voorbeeld" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>In een studie werd de cholestorolconcentratie in het bloed gemeten bij 5 patiënten (groep=1) die twee dagen geleden een hartaanval hadden en bij 5 gezonde personen (groep=2).
De onderzoekers wensen na te gaan of de cholestorolconcentratie verschillend is bij hartpatiënten en gezonde personen.
Boxplots en qqplots van de data worden weergegeven in Figuur <a href="niet-parametrische-statistiek.html#fig:cholBox">8.1</a> en <a href="niet-parametrische-statistiek.html#fig:cholQQ">8.2</a>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb390"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb390-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="ot"><-</span> <span class="fu">read_tsv</span>(<span class="st">"https://raw.githubusercontent.com/statOmics/sbc/master/data/chol.txt"</span>)</span>
<span id="cb390-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb390-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb390-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">mutate</span>(<span class="at">group =</span> <span class="fu">as.factor</span>(group))</span>
<span id="cb390-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb390-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>nGroups <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb390-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(group) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb390-8"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> table</span>
<span id="cb390-9"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb390-10"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>n <span class="ot"><-</span> nGroups <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb390-11"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> sum</span>
<span id="cb390-12"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb390-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol</span></code></pre></div>
<pre><code>## # A tibble: 10 × 2
## group cholest
## <fct> <dbl>
## 1 1 244
## 2 1 206
## 3 1 242
## 4 1 278
## 5 1 236
## 6 2 188
## 7 2 212
## 8 2 186
## 9 2 198
## 10 2 160</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb392"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb392-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb392-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="sc">%>%</span> </span>
<span id="cb392-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb392-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x=</span>group,<span class="at">y=</span>cholest)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb392-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb392-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_boxplot</span>(<span class="at">outlier.shape=</span><span class="cn">NA</span>) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb392-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb392-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_point</span>(<span class="at">position=</span><span class="st">"jitter"</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:cholBox"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/cholBox-1.png" alt="Boxplot van de cholesterol concentratie in het bloed bij hartpatiënten (groep 1) en gezonde individuen (groep 2)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 8.1: Boxplot van de cholesterol concentratie in het bloed bij hartpatiënten (groep 1) en gezonde individuen (groep 2).
</p>
</div>
<div class="sourceCode" id="cb393"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb393-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb393-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="sc">%>%</span> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">sample=</span>cholest)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb393-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb393-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb393-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb393-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq_line</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb393-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb393-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">facet_wrap</span>(<span class="sc">~</span>group)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:cholQQ"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/cholQQ-1.png" alt="Qqplot van de cholesterol concentratie in het bloed bij hartpatiënten (groep 1) en gezonde individuen (groep 2)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 8.2: Qqplot van de cholesterol concentratie in het bloed bij hartpatiënten (groep 1) en gezonde individuen (groep 2).
</p>
</div>
<p>De boxplots en qqplots geven aan dat er mogelijks outliers in de data voorkomen.
Het is moeilijk om inzicht te krijgen in de verdeling van de data gezien we maar 5 observaties hebben per groep.</p>
</div>
<div id="permutatietesten" class="section level3 hasAnchor" number="8.2.2">
<h3><span class="header-section-number">8.2.2</span> Permutatietesten<a href="niet-parametrische-statistiek.html#permutatietesten" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>De vraagstelling van het cholestorol voorbeeld is geformuleerd in erg ruime bewoordingen en dit laat vrijheid in de vertaling ervan naar een nulhypothese.</p>
<p>Laten we starten met een nulhypothese in termen van gemiddelden. Stel dat <span class="math inline">\(\mu_1\)</span> en <span class="math inline">\(\mu_2\)</span> de gemiddelde uitkomsten in behandelingsgroep 1 (hartpatiënten) en 2 (gezonde personen) voorstellen, dan zouden de hypotheses kunnen zijn:</p>
<p><span class="math display">\[H_0: \mu_1=\mu_2 \text{ versus } H_1: \mu_1\neq \mu_2.\]</span></p>
<p>Voor het testen van deze hypotheses kunnen we bijvoorbeeld gebruik maken van de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test.</p>
<p>We gaan de voorwaarden na:</p>
<ul>
<li>Normaliteit van de uitkomsten in de twee behandelingsgroepen. Met slechts 5 observaties in iedere groep, kan de veronderstelling niet nagegaan worden.</li>
<li>Gelijkheid van varianties. Met slechts 5 observaties in iedere groep, kan de veronderstelling niet nagegaan worden.</li>
</ul>
<p>We kunnen dus de veronderstellingen van de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test niet nagaan.
We kunnen ook geen beroep doen op de asymptotische benadering omdat 5 observaties per groep te weinig is.</p>
<p>Samengevat: de veronderstellingen van de <span class="math inline">\(t\)</span>-test kunnen niet worden nagegaan en er zijn te weinig observaties om gebruik te kunnen maken van de asymptotische benadering. Aangezien het erg gevaarlijk is een statistische methode te gebruiken waarvan de voorwaarden niet nagegaan kunnen worden, is de klassieke <span class="math inline">\(t\)</span>-test niet de geschikte methode. De oplossing die in dit hoofdstuk besproken wordt, zijn permutatietesten.
Om deze te kunnen beschrijven, zullen we eerst de nulhypothese anders formuleren.</p>
<div id="hypothesen" class="section level4 hasAnchor" number="8.2.2.1">
<h4><span class="header-section-number">8.2.2.1</span> Hypothesen<a href="niet-parametrische-statistiek.html#hypothesen" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>De oplossing die in deze sectie besproken wordt, zijn de permutatietesten.
Om deze te kunnen beschrijven, zullen we eerst de nulhypothese anders formuleren.</p>
<p>De veronderstelling voor de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test kunnen we als volgt schrijven, met <span class="math inline">\(Y_{1j}\)</span> en <span class="math inline">\(Y_{2j}\)</span> de notatie voor de uitkomsten uit respectievelijk groep 1 en 2:</p>
<p><span class="math display">\[Y_{1j} \text{ iid } N(\mu_1,\sigma^2) \;\;\;\text{ en }\;\;\; Y_{2j} \text{ iid } N(\mu_2,\sigma^2).\]</span></p>
<p>Onder <span class="math inline">\(H_0:\mu_1=\mu_2\)</span>, wordt dit (stel <span class="math inline">\(\mu=\mu_1=\mu_2\)</span> onder <span class="math inline">\(H_0\)</span>)</p>
<p><span class="math display">\[ Y_{ij} \text{ iid } N(\mu,\sigma^2),\]</span></p>
<p>wat uitdrukt dat alle <span class="math inline">\(n=n_1+n_2\)</span> uitkomsten uit dezelfde normale distributie komen en onafhankelijk verdeeld zijn. Dit laat ons dus toe om de oorspronkelijke nulhypothese van de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-test anders te schrijven:</p>
<p><span class="math display" id="eq:H0F1F2">\[\begin{equation}
H_0: F_1(y) = F_2(y) \text{ voor alle } y \;\;\;\text{ of }\;\;\; H_0: f_1(y) = f_2(y) \text{ voor alle } y \tag{8.1}
\end{equation}\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(F_1\)</span> en <span class="math inline">\(F_2\)</span> de distributiefuncties en <span class="math inline">\(f_1\)</span> en <span class="math inline">\(f_2\)</span> de densiteitfuncties van de verdeling van de uitkomsten in respectievelijk behandelingsgroep 1 en 2, en met de bijkomende veronderstelling dat <span class="math inline">\(f_1\)</span> en <span class="math inline">\(f_2\)</span> de distributiefuncties van Normale verdelingen zijn.</p>
<p>Onder de alternatieve hypothese wordt een locatie-shift verondersteld:</p>
<p><span class="math display">\[H_1: f_1(y)=f_2(y-\Delta) \;\;\;\text{ voor alle } y\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\Delta=\mu_1-\mu_2\)</span>, verder hebben de Normale verdelingen dezelfde variantie.</p>
<p>We illustreren dit in R voor <span class="math inline">\(f_1\sim N(0,1)\)</span> en <span class="math inline">\(f_2\sim N(1,1)\)</span> en <span class="math inline">\(\Delta=-1\)</span>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb394"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb394-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>mu1 <span class="ot"><-</span> <span class="dv">0</span></span>
<span id="cb394-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>sigma1 <span class="ot"><-</span> <span class="dv">1</span></span>
<span id="cb394-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>mu2 <span class="ot"><-</span> <span class="dv">1</span></span>
<span id="cb394-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>sigma2 <span class="ot"><-</span> <span class="dv">1</span></span>
<span id="cb394-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>y <span class="ot"><-</span> <span class="sc">-</span><span class="dv">2</span><span class="sc">:</span><span class="dv">2</span></span>
<span id="cb394-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>delta <span class="ot"><-</span> mu1 <span class="sc">-</span> mu2</span>
<span id="cb394-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb394-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>delta</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] -1</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb396"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb396-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb396-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">dnorm</span>(y, mu1, sigma1)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.05399097 0.24197072 0.39894228 0.24197072
## [5] 0.05399097</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb398"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb398-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb398-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">dnorm</span>(y <span class="sc">-</span> delta, mu2, sigma2)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.05399097 0.24197072 0.39894228 0.24197072
## [5] 0.05399097</code></pre>
<p>De permutatietesten die in de volgende sectie ontwikkeld worden, kunnen gebruikt worden voor het testen van de hypothese <a href="niet-parametrische-statistiek.html#eq:H0F1F2">(8.1)</a>, maar dan zonder de Normaliteitsveronderstelling.</p>
<p>We schrijven hypothese <a href="niet-parametrische-statistiek.html#eq:H0F1F2">(8.1)</a> verkort als</p>
<p><span class="math display">\[
H_0: F_1=F_2 \;\;\;\text{ of }\;\;\; H_0:f_1=f_2.
\]</span></p>
<p>Als de nulhypothese waar is, met name dat de verdelingen van de cholestorolconcentraties gelijk zijn voor hartpatiënten en gezonde personen, dan zijn de groep-labels van de 10 personen niet informatief.
Gezien er geen verschil is in de verdeling tussen beide groepen is elke groepering immers irrelevant.
We kunnen bijgevolg de verdeling van de test-statistiek onder de nulhypothese bekomen door de groepslabels <span class="math inline">\(G\)</span> te permuteren.</p>
<p>####Verdeling van de statistiek onder <span class="math inline">\(H_0\)</span></p>
<p>In praktijk zijn er <span class="math inline">\(m=\binom{n_1+n_2}{n_1}=\binom{n}{n_1}=\binom{n}{n_2}\)</span> mogelijke unieke permutaties <span class="math inline">\(\cal{G}\)</span> van de groepslabels.
Voor ons voorbeeld zijn dat er <span class="math inline">\(m=\)</span> 252.
Als <span class="math inline">\(m\)</span> niet te groot is dan kunnen alle unieke permutaties van de groepslabels berekend worden.
Voor iedere unique permutatie <span class="math inline">\(g \in \cal{G}\)</span> wordt de teststatistiek <span class="math inline">\(t^*_g\)</span> berekend<a href="#fn50" class="footnote-ref" id="fnref50"><sup>50</sup></a>.</p>
<p>We kunnen alle m=252 permutaties in R genereren a.d.h.v. de functie <code>combn(n,n_1)</code>.
Dit wordt geïllustreerd in de onderstaande R code:</p>
<div class="sourceCode" id="cb400"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb400-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb400-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>G <span class="ot"><-</span> <span class="fu">combn</span>(n,nGroups[<span class="dv">1</span>])</span>
<span id="cb400-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb400-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">dim</span>(G)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 5 252</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb402"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb402-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb402-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>G[,<span class="dv">1</span><span class="sc">:</span><span class="dv">10</span>]</span></code></pre></div>
<pre><code>## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
## [2,] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [3,] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [4,] 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
## [5,] 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9</code></pre>
<p>De matrix G bevat voor elke permutatie de volgnummers van de observaties die tot de eerste groep zullen behoren.
We tonen enkel de eerste 10 permutaties.
We kunnen nu de teststatistiek berekenen voor de originele steekproef en voor elke permutatie</p>
<div class="sourceCode" id="cb404"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb404-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#Originele test statistiek</span></span>
<span id="cb404-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>tOrig<span class="ot">=</span><span class="fu">t.test</span>(cholest<span class="sc">~</span>group,chol)<span class="sc">$</span>statistic</span>
<span id="cb404-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#bereken alle permutatiecombinaties en voer voor</span></span>
<span id="cb404-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#elke combinantie een functie uit die de t-test statistiek</span></span>
<span id="cb404-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#berekent voor de gepermuteerde groepslabels</span></span>
<span id="cb404-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>tOrig <span class="ot"><-</span> <span class="fu">t.test</span>(cholest <span class="sc">~</span> group, chol)<span class="sc">$</span>statistic</span>
<span id="cb404-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb404-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>tOrig</span></code></pre></div>
<pre><code>## t
## 3.664425</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb406"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb406-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>tStar <span class="ot"><-</span> <span class="fu">combn</span>(</span>
<span id="cb406-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> n,</span>
<span id="cb406-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> nGroups[<span class="dv">1</span>],</span>
<span id="cb406-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="cf">function</span>(g,y) {</span>
<span id="cb406-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">t.test</span>(y[g],y[<span class="sc">-</span>g])<span class="sc">$</span>statistic</span>
<span id="cb406-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> },</span>
<span id="cb406-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="at">y =</span> chol <span class="sc">%>%</span> <span class="fu">pull</span>(cholest)</span>
<span id="cb406-8"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> )</span>
<span id="cb406-9"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb406-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">head</span>(tStar)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 3.6644253 1.6397911 2.3973923 1.5876250 1.9217173
## [6] 0.9967105</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb408"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb408-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb408-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">length</span>(tStar)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 252</code></pre>
<p>Merk op dat <code>y[g]</code> de data selecteert met volgnummers g uit de vector y en <code>y[-g]</code> de data waarvoor de volgnummers niet tot g behoren.
De vector <code>tStar</code> bevat de waarden van de teststatistiek <span class="math inline">\(t^*_g\)</span> voor alle <span class="math inline">\(g \in {\cal{G}}\)</span>.</p>
<p>We kunnen nu de verdeling van de teststatistiek onder <span class="math inline">\(H_0\)</span> bestuderen.</p>
<div class="sourceCode" id="cb410"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb410-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb410-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">qplot</span>(tStar,<span class="at">bins=</span><span class="dv">50</span>) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb410-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb410-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">xlab</span>(<span class="fu">expression</span>(<span class="st">"permutatiestatistiek t"</span><span class="sc">^</span><span class="st">"*"</span>)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb410-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb410-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_vline</span>(<span class="at">xintercept=</span>tOrig,<span class="at">col=</span><span class="dv">2</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:tPermDist"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/tPermDist-1.png" alt="Exacte permutatie nuldistributie van de Welch t-test voor het cholestorol voorbeeld. Bovenaan histogram van elke mogelijke waarde voor de test-statistiek. Onderaan een gewoon histogram met balkbreedtes gelijk aan 1. De geobserveerde waarde voor de test-statistiek is aangeduid met een rode verticale lijn." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 8.3: Exacte permutatie nuldistributie van de Welch t-test voor het cholestorol voorbeeld. Bovenaan histogram van elke mogelijke waarde voor de test-statistiek. Onderaan een gewoon histogram met balkbreedtes gelijk aan 1. De geobserveerde waarde voor de test-statistiek is aangeduid met een rode verticale lijn.
</p>
</div>
<p>Het histogram (Figuur <a href="niet-parametrische-statistiek.html#fig:tPermDist">8.3</a>) bevat alle informatie voor de permutatienuldistributie van de two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-teststatistiek voor de geobserveerde uitkomsten; merk op dat er 252 unieke waarden van de teststatistiek berekend zijn.<br />
Het histogram in Figuur <a href="niet-parametrische-statistiek.html#fig:tPermDist">8.3</a> is de verdeling van de teststatistiek onder de nulhypothese.
We zien eveneens dat de geobserveerde teststatistiek vrij extreem is.</p>
</div>
<div id="p-waarde" class="section level4 hasAnchor" number="8.2.2.2">
<h4><span class="header-section-number">8.2.2.2</span> p-waarde<a href="niet-parametrische-statistiek.html#p-waarde" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>Nu we in staat zijn de permutatienuldistributie te berekenen, kunnen we hypothesetesten uitvoeren net als in de parametrische statistiek.
Voor een permutatietest is de <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde voor de tweezijdige test (immers <span class="math inline">\(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\)</span>)</p>
<p><span class="math display">\[p=\text{P}_0\left[\vert T\vert \geq \vert t\vert \mid \mathbf{y}\right].\]</span></p>
<p>Merk op dat deze p-waarde geconditioneerd is op de geobserveerde cholestorolwaarden die weergegeven worden in de vector <span class="math inline">\(\mathbf{y}=(y_{11},\ldots,y_{51},y_{12},\ldots,y_{52})^T\)</span>.</p>
<p>Aangezien de permutatienuldistrubutie van <span class="math inline">\(T\)</span> bepaald wordt door <span class="math inline">\(t^*_g\)</span>, <span class="math inline">\(g \in{\cal{G}}\)</span>, berekenen we</p>
<p><span class="math display">\[p = \text{P}_0\left[\left\vert T\right\vert \geq \left\vert t\right\vert \mid \mathbf{y}\right] = \frac{\#\{g\in {\cal{G}}: \vert t^*_g\vert \geq \vert t \vert \}}{m},\]</span></p>
<p>m.a.w. als de ratio van het aantal permutaties waarvoor de statistiek minstens even extreem is als de geobserveerde statistiek op het totaal aantal permutaties. In R kunnen we dit als volgt berekenen.</p>
<div class="sourceCode" id="cb411"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb411-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb411-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pval <span class="ot"><-</span> <span class="fu">mean</span>(<span class="fu">abs</span>(tStar)<span class="sc">>=</span><span class="fu">abs</span>(tOrig))</span>
<span id="cb411-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb411-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pval</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.01587302</code></pre>
<p>We vinden dus een <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde van 0.0159. Aangezien <span class="math inline">\(p<5\%\)</span>, besluiten we op het <span class="math inline">\(5\%\)</span> significantieniveau dat de distributies van de cholestorol concentraties niet gelijk zijn bij hartpatiënten en bij gezonde personen.
De <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde die gevonden wordt via de permutatienuldistributie op basis van alle permutaties wordt een <strong>exacte</strong> <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde genoemd. De permutatienuldistributie wordt een <strong>exacte</strong> nuldistributie genoemd. De term <strong>exact</strong> betekent dat de resultaten correct zijn voor iedere steekproefgrootte <span class="math inline">\(n\)</span>.</p>
<p>De kans op een type I fout wordt dus gecontroleerd door een permutatietest, maar wel conditioneel op de geobserveerde uitkomsten data <span class="math inline">\(\mathbf{y}\)</span>.</p>
<p>We hebben steeds geconditioneerd op de observaties van de steekproef. <strong>We kunnen ons nu afvragen of we de conclusies kunnen veralgemenen naar de populatie toe? Het antwoord is ja, als de subjecten at random getrokken zijn uit de populatie.</strong> Het bewijs hiervan valt buiten het bestek van de cursus.</p>
<p>Soms treedt er een praktisch probleem op omdat het aantal permutaties <span class="math inline">\(m=\#{\cal{G}}\)</span> erg groot is. Enkele voorbeelden:
<span class="math inline">\(\binom{20}{10}=\)</span> 184756, <span class="math inline">\(\binom{30}{15}=\)</span> 1.55e+08 en <span class="math inline">\(\binom{40}{20}=\)</span> 1.38e+11.</p>
<p>Dus zelfs met slechts 40 observaties en een gebalanceerde proefopzet is het quasi onmogelijk om alle permutaties één voor één door te rekenen.
De oplossing bestaat erin om niet alle <span class="math inline">\(g \in {\cal{G}}\)</span> te beschouwen, maar slechts een beperkt aantal (bv. 10000 of 100000).
We kunnen m.a.w. de nuldistributie benaderen door een groot aantal random permutaties uit te voeren.</p>
</div>
<div id="hoe-kunnen-we-conclusie-interpreteren" class="section level4 hasAnchor" number="8.2.2.3">
<h4><span class="header-section-number">8.2.2.3</span> Hoe kunnen we conclusie interpreteren<a href="niet-parametrische-statistiek.html#hoe-kunnen-we-conclusie-interpreteren" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p>We permuteren immers t statistiek. De effectgrootte in de t-test is de locatie-shift.</p>
<p>Als locatie-shift model niet opgaat is een significant resultaat moeilijk te interpreteren. Het is dan immers niet duidelijk tegenover welk alternatief we dan testen.</p>
<p>Locatie-shift kan niet worden nagegaan in kleine steekproeven…</p>
<!---break-->
</div>
</div>
<div id="rank-testen" class="section level3 hasAnchor" number="8.2.3">
<h3><span class="header-section-number">8.2.3</span> Rank Testen<a href="niet-parametrische-statistiek.html#rank-testen" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6l3-IEfNSN8" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>De ontwikkeling van rank testen startte in de eerste helft van de twintigste eeuw, maar ze vormen vandaag nog steeds de belangrijkste groep van niet-parametrische testen. Aanvankelijk hadden ze hun populariteit te danken aan het feit dat ze niet-parametrisch zijn en dat ze exacte <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden geven op basis van de permutatienuldistributie. In tegenstelling tot de test besproken in de vorige sectie, hebben rank testen geen nood aan het numeriek opstellen van de permutatienuldistributie voor iedere nieuwe dataset. De permutatienuldistributie van rank testen hangt alleen af van de steekproefgroottes. Bovendien zal blijken dat de testen erg robust zijn tegen uitschieters (Engels: <em>outliers</em>) en dat ze nuttig zijn als het locatie-shift model niet opgaat.</p>
<p>Rank testen starten vanuit rank-getransformeerde uitkomsten.</p>
<p><code>{.definition, name="Rank"}</code>
Beschouw <span class="math inline">\(Y_1, \ldots, Y_n\)</span>. We veronderstellen voorlopig dat
er geen twee gelijke observaties voorkomen (i.e. geen <em>ties</em>).
De rank van observatie <span class="math inline">\(Y_i\)</span> wordt dan
gedefinieerd als</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
R_i=R(Y_i) = \#\{Y_j: Y_j\leq Y_i; j=1,\ldots, n\}.
\end{equation*}\]</span></p>
<p>De kleinste observatie krijgt dus rank 1, de tweede kleinste rank 2, enzovoort, en de grootste observatie,
tenslotte, krijgt rank <span class="math inline">\(n\)</span>.</p>
<p><strong>Einde Definitie</strong></p>
<p>De rank transformatie wordt geïllustreerd op basis van het cholestorol voorbeeld.</p>
<div class="sourceCode" id="cb413"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb413-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb413-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb413-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb413-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(cholest)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 244 206 242 278 236 188 212 186 198 160</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb415"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb415-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb415-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb415-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb415-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(cholest) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb415-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb415-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> rank</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 9 5 8 10 7 3 6 2 4 1</code></pre>
<p>Soms komen <em>ties</em> voor in de data, i.e. minstens twee observaties hebben dezelfde numerieke waarde. Een klein voorbeeld:</p>
<div class="sourceCode" id="cb417"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb417-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb417-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>metTies <span class="ot"><-</span> <span class="fu">c</span>(<span class="dv">403</span>, <span class="dv">507</span>, <span class="dv">507</span>, <span class="dv">610</span>, <span class="dv">651</span>, <span class="dv">651</span>, <span class="dv">651</span>, <span class="dv">830</span>, <span class="dv">900</span>)</span>
<span id="cb417-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb417-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>metTies <span class="sc">%>%</span> rank</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 1.0 2.5 2.5 4.0 6.0 6.0 6.0 8.0 9.0</code></pre>
<p>De numerieke waarde 507 komt tweemaal voor en de numerieke waarde 651 komt driemaal voor. Dit zijn voorbeelden van <em>ties</em>.
Wanneer <em>ties</em> voorkomen, wordt dikwijls de definitie van <em>midranks</em> toegepast voor de rank-transformatie.</p>
<p><code>{.definition, name="Midrank"}</code>
Beschouw <span class="math inline">\(Y_1, \ldots, Y_n\)</span>.
De <strong>midrank</strong> van observatie <span class="math inline">\(Y_i\)</span> wordt dan
gedefinieerd als</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
R_i &=& \frac{ \#\{Y_j: Y_j\leq Y_i\} + ( \#\{Y_j: Y_j < Y_i\} +1)}{2}.
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p><strong>Einde Definitie</strong></p>
<p>In wat volgt hebben we dikwijls de ranks van de uitkomsten nodig in de gepoolde steekproef. Bijvoorbeeld: beschouw de uitkomsten <span class="math inline">\(Y_{ij}\)</span>, <span class="math inline">\(i=1,\ldots, n_j\)</span> en <span class="math inline">\(j=1,2\)</span>.
Deze uitkomsten kunnen ook gerepresenteerd worden door <span class="math inline">\(Z_1,\ldots, Z_n\)</span> (<span class="math inline">\(n=n_1+n_2\)</span>), de uitkomsten uit de gepoolde steekproef.</p>
<div class="sourceCode" id="cb419"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb419-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb419-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">t</span>(chol)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
## group "1" "1" "1" "1" "1" "2" "2" "2"
## cholest "244" "206" "242" "278" "236" "188" "212" "186"
## [,9] [,10]
## group "2" "2"
## cholest "198" "160"</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb421"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb421-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb421-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb421-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb421-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(cholest)</span>
<span id="cb421-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb421-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 244 206 242 278 236 188 212 186 198 160</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb423"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb423-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb423-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">rank</span>(z)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 9 5 8 10 7 3 6 2 4 1</code></pre>
<!---break-->
</div>
<div id="wilcoxon-mann-whitney-test" class="section level3 hasAnchor" number="8.2.4">
<h3><span class="header-section-number">8.2.4</span> Wilcoxon-Mann-Whitney Test<a href="niet-parametrische-statistiek.html#wilcoxon-mann-whitney-test" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/qInfzU97YLI" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>De test werd gelijktijdig ontwikkeld door Wilcoxon en door Mann en Whitney. Om deze reden wordt de test dikwijls de <strong>Wilcoxon-Mann-Whitney</strong> (WMW) test genoemd. Soms wordt de test ook de <strong>Wilcoxon rank sum test</strong> of de <strong>Mann-Whitney U test</strong> genoemd.</p>
<p>De test werd ontwikkeld voor het testen van de nulhypothese <a href="niet-parametrische-statistiek.html#eq:H0F1F2">(8.1)</a> tegenover het alternatief <span class="math inline">\(H_1: \mu_1\neq \mu_2\)</span> (of de eenzijdige versies). Eerst wordt er een distributionele veronderstelling gemaakt: het <strong>locatie-shift</strong> model, later relaxeren we deze aanname.</p>
<p>Stel dat <span class="math inline">\(Y_1\)</span> en <span class="math inline">\(Y_2\)</span> uitkomsten zijn uit respectievelijk de eerste en tweede behandelingsgroep, met respectievelijke verdelingen <span class="math inline">\(f_1\)</span> en <span class="math inline">\(f_2\)</span>. Het locatie-shift model geldt als er een <span class="math inline">\(\Delta\)</span> bestaat waarvoor geldt</p>
<p><span class="math display">\[
f_1(y)=f_2(y-\Delta) \;\;\;\text{ voor alle } y.
\]</span></p>
<p>Locatie-shift betekent dat <span class="math inline">\(f_1\)</span> en <span class="math inline">\(f_2\)</span> dezelfde vorm hebben, maar ze mogen over <span class="math inline">\(\Delta\)</span> verschoven zijn.
De <span class="math inline">\(\Delta\)</span> uit de definitie heeft als interpretatie: <span class="math inline">\(\Delta = \mu_1-\mu_2\)</span>.
Door locatie-shift aan te nemen, zal het verwerpen van <span class="math inline">\(H_0: f_1=f_2\)</span> de conclusie <span class="math inline">\(\mu_1\neq \mu_2\)</span> impliceren.</p>
<p>De klassieke two-sample <span class="math inline">\(t\)</span>-teststatistiek is gebouwd rond het verschil in steekproefgemiddelden <span class="math inline">\(\bar{Y}_1-\bar{Y}_2\)</span>. We beschouwen nu ook het verschil in steekproefgemiddelden, maar niet op basis van de oorspronkelijke uitkomsten, maar op basis van de rank-getransformeerde uitkomsten. De ranks zijn toegekend op basis van de gepoolde observaties (i.e. na samenvoegen van de uitkomsten uit groep 1 en groep 2); dus <span class="math inline">\(R_{ij}=R(Y_{ij})\)</span> is de rank van uitkomst <span class="math inline">\(Y_{ij}\)</span> in de gepoolde steekproef.
Beschouw de teststatistiek</p>
<p><span class="math display">\[
T = \frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1} R(Y_{i1}) - \frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2} R(Y_{i2}) .
\]</span></p>
<p>De statistiek vergelijkt dus de gemiddelde rank in groep 1 met de gemiddelde rank in groep 2.</p>
<p>Dit is een zinvolle teststatistiek, want</p>
<ul>
<li><p>als <span class="math inline">\(H_0\)</span> waar is, dan verwachten we dat de gemiddelde rank in de eerste groep ongeveer gelijk is aan de gemiddelde rank in de tweede groep en dus verwachten we dat <span class="math inline">\(T\)</span> dicht bij nul ligt.</p></li>
<li><p>als <span class="math inline">\(H_1\)</span> waar is dan verwachten we dat de gemiddelde ranks zullen verschillen en dus dat <span class="math inline">\(T\)</span> niet dicht bij nul zal liggen.</p></li>
</ul>
<p>Er kan echter worden aangetoond dat het volstaat het om</p>
<p><span class="math display">\[S_1=\sum_{i=1}^{n_1} R(Y_{i1})\]</span></p>
<p>als teststatistiek te beschouwen. <span class="math inline">\(S_1\)</span> is de som van de ranks van de observaties uit de eerste behandelingsgroep; dit verklaart de naam <em>rank sum test</em>.</p>
<p><span class="math inline">\(S_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_2\)</span> bevatten immers dezelfde informatie en zijn gerelateerd via</p>
<p><span class="math display">\[
S_1+S_2 = \text{som van alle ranks} = 1+2+\cdots + n=\frac{1}{2}n(n+1).
\]</span></p>
<p>Nu we weten dat <span class="math inline">\(S_1\)</span> (en <span class="math inline">\(S_2\)</span>) een goede teststatistiek is, kan de permutatietestmethode toegepast worden om de exacte permutatienuldistributie op te stellen en de test uit te voeren.
Voor een gegeven steekproefgrootte <span class="math inline">\(n\)</span>, en veronderstellend dat er geen <em>ties</em> zijn, nemen de rank-getransformeerde uitkomsten altijd de waarden <span class="math inline">\(1, 2, \ldots, n\)</span> aan. Voor gegeven groepsgroottes <span class="math inline">\(n_1\)</span> en <span class="math inline">\(n_2\)</span>, zal de permutatienuldistributie dan ook steeds dezelfde zijn! In de vorige eeuw (tot ongeveer de jaren 1980) werd dit als een groot voordeel beschouwd omdat de nuldistributies voor gegeven <span class="math inline">\(n_1\)</span> en <span class="math inline">\(n_2\)</span> getabuleerd konden worden (belangrijke kwantielen werden als tabellen in boeken gepubliceerd zodat ze konden gebruikt worden voor het bepalen van kritische waarden en <span class="math inline">\(p\)</span>-waarden), waardoor de gebruiker geen nood had aan zware rekencapaciteit. Vandaag de dag speelt dit argument niet meer mee, maar toch blijven de rank testen erg populair, maar dan wel om andere, heel belangrijke redenen.</p>
<p>Niettegenstaande <span class="math inline">\(S_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_2\)</span> perfect als teststatistieken gebruikt kunnen worden, wordt dikwijls gewerkt met de gestandaardiseerde teststatistiek</p>
<p><span class="math display">\[
T = \frac{S_1-\text{E}_{0}\left[S_1\right]}{\sqrt{\text{Var}_{0}\left[S_1\right]}},
\]</span></p>
<p>met <span class="math inline">\(\text{E}_{0}\left[S_1\right]\)</span> en <span class="math inline">\(\text{Var}_{0}\left[S_1\right]\)</span> de verwachtingswaarde en variantie van <span class="math inline">\(S_1\)</span> onder <span class="math inline">\(H_0\)</span>. Dit zijn dus het gemiddelde en variantie van de permutatienuldistributie van <span class="math inline">\(S_1\)</span>.</p>
<p>Onder <span class="math inline">\(H_0\)</span> geldt</p>
<p><span class="math display">\[
\text{E}_{0}\left[S_1\right]= \frac{1}{2}n_1(n+1) \;\;\;\;\text{ en }\;\;\;\; \text{Var}_{0}\left[S_1\right]=\frac{1}{12}n_1n_2(n+1).
\]</span></p>
<p>Verder kan men onder <span class="math inline">\(H_0\)</span> en als <span class="math inline">\(\min(n_1,n_2)\rightarrow \infty\)</span> opgaat aantonen dat,</p>
<p><span class="math display">\[
T = \frac{S_1-\text{E}_{0}\left[S_1\right]}{\sqrt{\text{Var}_{0}\left[S_1\right]}} \rightarrow N(0,1).
\]</span></p>
<p>Asymptotisch volgt de gestandaardiseerde teststatistiek dus een standaardnormaal verdeling.</p>
<p>We illustreren de WMW test aan de hand van de R functie <code>wilcox.test</code>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb425"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb425-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb425-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">wilcox.test</span>(cholest <span class="sc">~</span> group, <span class="at">data =</span> chol)</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Wilcoxon rank sum exact test
##
## data: cholest by group
## W = 24, p-value = 0.01587
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0</code></pre>
<p>We zien dat we op basis van de test de nulhypothese kunnen verwerpen op het 5% significantie-niveau.</p>
<p>De output geeft de teststatistiek <span class="math inline">\(W=\)</span> 24.
In volgende lijnen berekenen we <span class="math inline">\(S_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_2\)</span> manueel voor de dataset.</p>
<div class="sourceCode" id="cb427"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb427-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>S1 <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">mutate</span>(<span class="at">cholRank=</span><span class="fu">rank</span>(cholest)) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">filter</span>(group<span class="sc">==</span><span class="dv">1</span>) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(cholRank) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> sum</span>
<span id="cb427-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb427-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>S2 <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-8"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">mutate</span>(<span class="at">cholRank =</span> <span class="fu">rank</span>(cholest)) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-9"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">filter</span>(group <span class="sc">==</span> <span class="dv">2</span>) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-10"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(cholRank) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb427-11"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> sum</span>
<span id="cb427-12"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb427-13"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb427-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>S1</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 39</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb429"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb429-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb429-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>S2</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 16</code></pre>
<p>Waar komt <span class="math inline">\(W=\)</span> 24 vandaan? Dit wordt zodadelijk toegelicht.</p>
<p>De teststatistieken <span class="math inline">\(S_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_2\)</span> werden voorgesteld door Wilcoxon, maar tezelfdertijd werd een equivalente test voorgesteld door Mann en Whitney. Hun teststatistiek wordt gegeven door<a href="#fn51" class="footnote-ref" id="fnref51"><sup>51</sup></a></p>
<p><span class="math display">\[
U_1 = \sum_{i=1}^{n_1}\sum_{k=1}^{n_2} \text{I}\left\{Y_{i1}\geq Y_{k2}\right\}.
\]</span></p>
<p>waarbij <span class="math inline">\(\text{I}\left\{.\right\}\)</span> een indicator is die 1 is als de uitdrukking waar is en 0 als dit niet het geval is.
Er wordt voor elke observatie uit de eerste groep geteld hoeveel keer zij groter of gelijk is aan een observatie uit de tweede groep.
We berekenen de Mann-Whitney statistiek nu manueel in R.</p>
<div class="sourceCode" id="cb431"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb431-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>y1 <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb431-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">filter</span>(group<span class="sc">==</span><span class="dv">1</span>) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb431-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(<span class="st">"cholest"</span>)</span>
<span id="cb431-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb431-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>y2 <span class="ot"><-</span> chol <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb431-6"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">filter</span>(group<span class="sc">==</span><span class="dv">2</span>) <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb431-7"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-7" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">pull</span>(<span class="st">"cholest"</span>)</span>
<span id="cb431-8"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-8" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb431-9"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-9" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>u1Hlp <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sapply</span>(</span>
<span id="cb431-10"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-10" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> y1,</span>
<span id="cb431-11"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-11" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="cf">function</span>(y1i,y2) {y1i<span class="sc">>=</span>y2},</span>
<span id="cb431-12"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-12" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="at">y2=</span>y2)</span>
<span id="cb431-13"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-13" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb431-14"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-14" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">colnames</span>(u1Hlp) <span class="ot"><-</span> y1</span>
<span id="cb431-15"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-15" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">rownames</span>(u1Hlp) <span class="ot"><-</span> y2</span>
<span id="cb431-16"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-16" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb431-17"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb431-17" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>u1Hlp</span></code></pre></div>
<pre><code>## 244 206 242 278 236
## 188 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
## 212 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
## 186 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
## 198 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
## 160 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb433"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb433-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb433-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>U1 <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sum</span>(u1Hlp)</span>
<span id="cb433-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb433-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>U1</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 24</code></pre>
<p>Er kan worden aangetoond dat</p>
<p><span class="math display">\[U_1 = S_1 - \frac{1}{2}n_1(n_1+1).\]</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb435"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb435-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb435-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>S1<span class="sc">-</span>nGroups[<span class="dv">1</span>]<span class="sc">*</span>(nGroups[<span class="dv">1</span>]<span class="sc">+</span><span class="dv">1</span>)<span class="sc">/</span><span class="dv">2</span></span></code></pre></div>
<pre><code>## 1
## 24</code></pre>
<p>Hieruit concluderen we (1) dat <span class="math inline">\(U_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_1\)</span> dezelfde informatie bevatten, (2) dat <span class="math inline">\(U_1\)</span> ook een rankstatistiek is en dat exacte testen gebaseerd op <span class="math inline">\(U_1\)</span> en <span class="math inline">\(S_1\)</span> equivalent zijn.</p>
<p>De statistiek <span class="math inline">\(U_1\)</span> heeft als voordeel dat het een informatieve interpretatie heeft.
Stel <span class="math inline">\(Y_j\)</span> een willekeurige uitkomst uit behandelingsgroep <span class="math inline">\(j\)</span> (<span class="math inline">\(j=1,2\)</span>). Dan geldt</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\frac{1}{n_1n_2}\text{E}\left[U_1\right]
&=& \text{P}\left[Y_1 \geq Y_2\right].
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p>Intuïtief voelen we dit aan: Op basis van de steekproef kunnen we die kans schatten door het gemiddelde te berekenen van alle indicator waarden <span class="math inline">\(\text{I}\left\{Y_{i1}\geq Y_{k2}\right\}\)</span>.
We voerden inderdaad <span class="math inline">\(n_1 \times n_2\)</span> vergelijkingen uit.</p>
<div class="sourceCode" id="cb437"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb437-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb437-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">mean</span>(u1Hlp)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.96</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb439"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb439-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb439-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>U1<span class="sc">/</span>(nGroups[<span class="dv">1</span>]<span class="sc">*</span>nGroups[<span class="dv">2</span>])</span></code></pre></div>
<pre><code>## 1
## 0.96</code></pre>
<p>De kans <span class="math inline">\(\text{P}\left[Y_1 \geq Y_2\right]\)</span> wordt een <strong>probabilistische index</strong> (Engels: <em>probabilistic index</em>) genoemd.
Het is de kans dat een uitkomst uit de eerste groep groter of gelijk is dan een uitkomst uit de tweede groep.
Als <span class="math inline">\(H_0\)</span> waar is, dan is <span class="math inline">\(\text{P}\left[Y_1 \geq Y_2\right]=\frac{1}{2}\)</span>.</p>
<p>De gestandaardiseerde Mann-Whitney statistiek is</p>
<p><span class="math display">\[
T = \frac{U_1 - \frac{n_1n_2}{2}}{\sqrt{\frac{1}{12}n_1n_2(n+1)}}.
\]</span></p>
<p>De R functie <code>wilcox.test</code> geeft niet de Wilcoxon rank sum statistiek, maar wel de Mann-Whitney statistiek <span class="math inline">\(U_1\)</span>.
We weten echter dat exacte permutatietesten gebaseerd op <span class="math inline">\(U_1\)</span>, <span class="math inline">\(U_2\)</span>, <span class="math inline">\(S_1\)</span> of <span class="math inline">\(S_2\)</span> dezelfde resultaten geven.
We bekijken nogmaals de output</p>
<div class="sourceCode" id="cb441"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb441-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb441-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>wTest <span class="ot"><-</span> <span class="fu">wilcox.test</span>(cholest<span class="sc">~</span>group, <span class="at">data =</span> chol)</span>
<span id="cb441-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb441-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>wTest</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Wilcoxon rank sum exact test
##
## data: cholest by group
## W = 24, p-value = 0.01587
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb443"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb443-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb443-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>U1</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 24</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb445"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb445-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb445-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>probInd <span class="ot"><-</span> wTest<span class="sc">$</span>statistic<span class="sc">/</span><span class="fu">prod</span>(nGroups)</span>
<span id="cb445-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb445-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>probInd</span></code></pre></div>
<pre><code>## W
## 0.96</code></pre>
<p>Aangezien <span class="math inline">\(p=\)</span> 0.0159 <span class="math inline">\(<0.05\)</span> besluiten we op het <span class="math inline">\(5\%\)</span> significantieniveau dat de gemiddelde cholestorolconcentratie groter is bij hartpatiënten kort na een hartaanval dan bij gezonde personen. We nemen aan dat locatie-shift opgaat.</p>
<p>Nu we weten hoe <span class="math inline">\(U_1\)</span> berekend wordt, weten we ook meteen dat een cholestorolwaarde van hartpatiënten met een kans van
<span class="math inline">\(U1/(n_1\times n_2)=\)</span> 96%
groter is die van gezonde personen. Aangezien we het locatie-shift model veronderstellen, besluiten we ook dat de gemiddelde uitkomst uit de behandelingsgroep groter is dan de gemiddelde uitkomst uit de placebogroep.</p>
<p>We zouden de veronderstelling van de locatie-shift moeten nagaan, maar met slechts 5 observaties in elke behandelingsgroep is dit zinloos. Zonder verder theorie hierover te geven, geven we nog mee dat zonder de locatie-shift veronderstelling de conclusie in termen van de probabilistische index correct blijft en de conclusie ook zo zou moeten worden geformuleerd.</p>
<p>Dus wanneer we geen locatie-shift veronderstellen en een tweezijdige test uitvoeren testen we eigenlijk</p>
<p><span class="math display">\[H_0: F_1=F_2 \text{ vs P}(Y_1 \geq Y_2) \neq 0.5.\]</span></p>
</div>
<div id="conclusie-cholestorol-voorbeeld" class="section level3 hasAnchor" number="8.2.5">
<h3><span class="header-section-number">8.2.5</span> Conclusie Cholestorol Voorbeeld<a href="niet-parametrische-statistiek.html#conclusie-cholestorol-voorbeeld" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Er is een significant verschil in de distributie van de cholestorolconcentraties bij hartpatiënten 2 dagen na hun hartaanval en gezonde individuen (<span class="math inline">\(p=\)</span> 0.0159). Het is meer waarschijnlijk om hogere cholestorolconcentraties te observeren bij hartpatiënten dan bij gezonde individuen. De puntschatting voor deze kans bedraagt 96%.</p>
</div>
</div>
<div id="vergelijken-van-g-behandelingen" class="section level2 hasAnchor" number="8.3">
<h2><span class="header-section-number">8.3</span> Vergelijken van <span class="math inline">\(g\)</span> Behandelingen<a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-g-behandelingen" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/tio4b5GUTIk" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>In deze sectie veralgemenen we de methoden uit de vorige sectie.
De methoden kunnen ook gezien worden
als niet-parametrische tegenhangers van de <span class="math inline">\(F\)</span>-test uit een one-way ANOVA.</p>
<div id="dmh-voorbeeld" class="section level3 hasAnchor" number="8.3.1">
<h3><span class="header-section-number">8.3.1</span> DMH Voorbeeld<a href="niet-parametrische-statistiek.html#dmh-voorbeeld" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Nieuwe (en bestaande) chemische substaties moeten getest worden op genotoxiciteit. De resultaten van genotoxiciteitstesten vormen de basis voor risic0-analyses en de classificatie en labeling van chemische substanties in de EU (<em>Dangerous Substances Directive 67/548/EEC and Regulation (EC) No. 1272/2008</em>). In dat kader werd een studie met 24 ratten opgezet voor het testen van de genotoxiciteit van 1,2-dimethylhydrazine dihydrochloride (DMH).
De ratten werden at random verdeeld over vier groepen die een verschillende dagelijkse DMH dosis kregen toegediend (controle, laag, medium, hoog).
Na drie weken werden de dieren afgemaakt en werd genotoxiciteit van DMH in de lever bepaald a.d.h.v. een comet assay waarbij DNA strengbreuken worden gevisualiseerd via gel electroforese.
De lengte van de comet staart is een proxy voor het aantal strengbreuken.
De onderzoekers wensen na te gaan of er verschillen zijn in de DNA schade tengevolge van de DMH dosis.
Boxplots van de data worden weergegeven in Figuur <a href="niet-parametrische-statistiek.html#fig:dnaBox">8.4</a>.</p>
<div class="sourceCode" id="cb447"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb447-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb447-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>dna <span class="ot"><-</span> <span class="fu">read_delim</span>(<span class="st">"https://raw.githubusercontent.com/statOmics/sbc/master/data/dna.txt"</span>,<span class="at">delim=</span><span class="st">" "</span>)</span>
<span id="cb447-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb447-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb447-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb447-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>dna <span class="ot"><-</span> dna <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb447-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb447-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">mutate</span>(<span class="at">dose =</span> <span class="fu">as.factor</span>(dna<span class="sc">$</span>dose))</span>
<span id="cb447-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb447-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>dna</span></code></pre></div>
<pre><code>## # A tibble: 24 × 3
## id length dose
## <chr> <dbl> <fct>
## 1 Rat1 19.3 0
## 2 Rat2 18.9 0
## 3 Rat3 18.6 0
## 4 Rat4 19.0 0
## 5 Rat5 17.1 0
## 6 Rat6 18.8 0
## 7 Rat7 55.4 1.25
## 8 Rat8 59.2 1.25
## 9 Rat9 59.1 1.25
## 10 Rat10 52.1 1.25
## # … with 14 more rows</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb449"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb449-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb449-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>dna <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb449-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb449-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x=</span>dose,<span class="at">y=</span>length,<span class="at">fill=</span>dose))<span class="sc">+</span></span>
<span id="cb449-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb449-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_boxplot</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb449-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb449-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_point</span>(<span class="at">position=</span><span class="st">"jitter"</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:dnaBox"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/dnaBox-1.png" alt="Boxplot van de comet staart lengte in functie van de DMH dosis." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 8.4: Boxplot van de comet staart lengte in functie van de DMH dosis.
</p>
</div>
<div class="sourceCode" id="cb450"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb450-1"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb450-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>dna <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb450-2"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb450-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">sample=</span>length)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb450-3"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb450-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb450-4"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb450-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_qq_line</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb450-5"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cb450-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">facet_wrap</span>(<span class="sc">~</span>dose)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:dnaQQ"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/dnaQQ-1.png" alt="QQ-plots van de comet staart lengte per DMH dosis." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 8.5: QQ-plots van de comet staart lengte per DMH dosis.
</p>
</div>
<p>De boxplots lijken een indicatie te geven dat de controle groep een andere variabiliteit heeft.
Merk wel op dat er slechts 6 observaties zijn per groep wat eigenlijk te weinig is om de aannames na te gaan.</p>
<!---break-->
</div>
<div id="kruskal-wallis-rank-test" class="section level3 hasAnchor" number="8.3.2">
<h3><span class="header-section-number">8.3.2</span> Kruskal-Wallis Rank Test<a href="niet-parametrische-statistiek.html#kruskal-wallis-rank-test" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/9tZfMB37KFQ" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>