第33章 抛物线运动
在本章，我们将给出慧星围绕太阳做抛物线运动的位置计算公式。我们将假设轨道要素是不变的(不受行星的摄动)，这些要素涉及历元(如2000.0)标准分点坐标。
假设以下轨道要素已知：
T = 通过近点的时间 q = 近点距离，单位AU i = 倾角 ω= 近点参数 Ω= 升交点黄经
首先，计算辅助常数A、B、C、a、b、c（如同椭圆轨道一样），详见公式(32.7)和(32.8)。那么，可按如下方法计算慧星位置。
设 t-T是从近点起算的时间，单位是日。在近点时刻之前，这个量是负值。计算：
W = ( 0.03649116245/q3/2 )( t - T ) (33.1)
式中的数值常数等于3k/sqrt(2)，其中k是高斯引力常数0.01720209895。
那么，慧星的真近点角和径距离r由下式得到：
tan(v/2) = s ， r = q ( 1 + s2 ) (33.2)
式中s是以下方程的根：s3 + 3s - W = 0 (33.3)
应注意，在近日点之前的某一时刻，s是负值，v在-180度到0度之间。在近日点之后，s>0，v在0到180度之间。在经过近点的时刻，s=0，v=0度，r=q。
求解方程(33.3)的方法有多种，此方程称为Barker方程。
1、用迭代法可轻松解出此方程。这个算法也是笔者的偏好，因为这个迭代公式很简单，收敛快速，也没有涉及三角函数或立方根，不管t-T是正还是负，计算过程匀有效。
s的起步值可能任选，取s=0是个良好的选择。s的更佳值是：
( 2s3 + W )/( s2 + 1 )/ 3 (33.4)
重复计算，直到取得正确值为止。应当注意，表达式(33.4)中需计算s的立方，如果s是负值，在有些计算机中是不允许的，我们不妨用sss代替s^3。
2、不用迭代法解方程(33.3)，s可由下式直接取得(J.Bauschinger,Tafeln zur Theoretischen Astronomie,第9页,Leipzig,1934)：
这种方法不需要迭代，但出现了两个问题：
——经过近点时，t-T等于零，因此W也是0，这样2/W就变成无穷大。在这种情况下，可得到瞬时值v=0°和r=q，但是这种可能出现的问题必需在程序中预防(防分母为零！)。 ——在近点之前，我们有W<0，因此tanβ是负值。但是，在这种情况下，tan(β/2)也是负值，计算机无法计算负值的立方根。在(33.5)的第一式中，用W的绝值代换W就可避免这个困难，在计算完成后，s的符号应取反。
例如，在BASIC中，公式(33.1)和(33.3)可按如下编写程序，其中T代表近日点起算的天数 t - T ：
IF T = 0 THEN ... W = 0.03649116245T/(QSQR(Q)) B = ATN(2/ABS(W)) S = 2/TAN(2*ATN(TAN(B/2)^(1/3))) IF T<0 THEN S = -S
3、以下方法是比较简单的，也不使用三角函数。根式下的所有表达式取正值，sqrt3指开3方。
G = W/2， Y = sqrt3 ( G + sqrt(G2+1) )， s = Y - 1/Y (33.6)
当得到s后，v和r可以利用(33.2)式得到，之后的计算如同椭圆运动，使用公式(32.9)和(32.10)，并使用同样的方法考虑光行时。
第一个公式(33.2)得到的v/2介于-90°到+90°之间，这是反正弦函数的区间。所以v在-180°到+180°之间，所在象限也是正确的，所以无需额外的检测。
在抛物线运动中，e=1，而公转的a和周期是无穷大；平日运动是0，平近点角及偏近点角也不存在(实际上，它们是0)。
例33.a：计算Helin-Roman(1989s=1989IX)慧星的真近点角和它到太阳的距离，时间：1989年10月31.0 TD，使用以下值：
T = 1989年8月20.29104 TD q = 1.3245017
这是B.G Marsden(《小行星通告》NO.16001，1990年3月11日)计算的抛物线轨道要素。
对于这个给定的时刻(1989年10月31.0)，近点起算的时间则是t-T=+71.70896日。因此，由公式(33.1)得： W = +1.71665231
起步取s=0，利用迭代公式(33.4)，我们依次得到近似值：
0.000 0000 0.572 2174 0.525 1685 0.524 2029 0.524 2025
因此， s=+0.5242025，所以得：v = +55°.32728 r = 1.688459
如果不使用迭代方法，利用公式(33.6)，我们得到：
G = 0.858326155
Y = 1.295879323
s = Y - 1/Y = 0.5242025
结果和前面的一样。