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PapierFliegr · May 13, 2024 · 8956fe5 · 8956fe5
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diff --git a/...otics_for_the_fractional_allen-cahn_equation_and_stationary_nonlocal_minimal_surfaces.pdf b/...otics_for_the_fractional_allen-cahn_equation_and_stationary_nonlocal_minimal_surfaces.pdf
diff --git a/literature/2020_fleming_early_developments_in_geometric_measure_theory.pdf b/literature/2020_fleming_early_developments_in_geometric_measure_theory.pdf
diff --git a/literature/2024_caselli-florit-simon-serra_yaus_conjecture_for_nonlocal_minimal_surfaces.pdf b/literature/2024_caselli-florit-simon-serra_yaus_conjecture_for_nonlocal_minimal_surfaces.pdf
diff --git a/literature/book_1953_xxxx_higher_transcendental_functions-Volume1.pdf b/literature/book_1953_xxxx_higher_transcendental_functions-Volume1.pdf
diff --git a/literature/thesis_2022_onoue.pdf b/literature/thesis_2022_onoue.pdf
diff --git a/notebook/240504_print_review.xopp b/notebook/240504_print_review.xopp
diff --git a/notebook/240511_print_review.xopp b/notebook/240511_print_review.xopp
diff --git a/thesis/chapters/abstract.tex b/thesis/chapters/abstract.tex
@@ -1,52 +1,45 @@
 \chapter{Abstract}
 \label{ch:abstract}
 
-\begin{TODO}[GENERAL STUFF]~\\
-	1. Clean up Bibliography\\
-	2. .. \\
-	3. Replace s.t. with \verb=\mid= \\
-	4. Complete List of symbols\\
-	5. Edit colors to fit TUMColors\\
-	6. Edit figures to smaller and increase font\\
-	7. ..
-\end{TODO}
-
 \section*{Abstract}
-Nonlocal minimal surfaces confined within a cylinder exhibit unique behaviors dependent on
-external data. This thesis delves into these surfaces, which incorporate long-range
-spatial interactions compared to classical minimal surfaces. We consider two variations of
-the model discussed in~\cite{dipierro2020disconnectedness}, a minimal surfaces confined
-within a cylinder.\newline
 
-We investigate two scenarios: varying the height and width of data outside a separating
-slab. The results show that when the slab is wide, the minimal surface becomes
-disconnected from the data, while a narrow slab allows connection. This allows us to
-predict the behavior of similar models with symmetrically placed data. Additionally, the
-research reveals that for sufficiently narrow slabs, the surface \enquote{sticks} to the
-cylinder.\newline
+Nonlocal minimal surfaces confined within a cylinder exhibit unique behaviors dependent on external
+data. This thesis delves into these surfaces, which in contrast to classical minimal surfaces
+incorporate long-range spatial interactions. We consider a generalization of the model discussed
+in~\cite{dipierro2020disconnectedness}, a minimal surface confined within a cylinder with external
+data separated by a slab. \\ 
+
+We demonstrate that for any external data separated by a slab containing symmetric parts of the
+cylinder, the minimal surface exhibits similar behavior as shown
+in~\cite{dipierro2020disconnectedness}. Our results indicate that when the slab is wide, the minimal
+surface becomes disconnected from the data, while a narrow slab allows connection. This allows the
+behavior of similar models with symmetrically placed data to be predicted. Furthermore, the research
+demonstrates that for sufficiently narrow slabs, the surface \enquote{sticks} to the cylinder. \\ 
 
-Finally, we present an example where the minimizer is completely disconnected from the
-external data, a phenomenon unique to nonlocal minimal surfaces. This work provides
-valuable insights into the behavior of these emerging mathematical objects and their
-interaction with external data.
+Finally, we present an example where the minimizer is completely disconnected from the external
+data, a phenomenon that is unique to nonlocal minimal surfaces. This work provides valuable insights
+into the behavior of these emerging mathematical objects and their interaction with external data.
 
 
 \section*{Zusammenfassung}
-In Zylindern eingeschlossene nichtlokale Minimalflächen zeigen ein einzigartiges
-Verhalten, das von externen Daten abhängt. Diese Arbeit befasst sich mit diesen Flächen,
-die im Vergleich zu klassischen Minimalflächen weitreichende räumliche Wechselwirkungen
-berücksichtigen. Wir betrachten zwei Varianten des in~\cite{dipierro2020disconnectedness}
-diskutierten Modells, einer in einem Zylinder eingeschlossenen Minimalfläche.\newline
-
-Dabei untersuchen wir zwei Szenarien: die Variation der Höhe und der Breite von Daten
-außerhalb einer trennenden Platte. Die Ergebnisse zeigen, dass die Minimalfläche bei
-breiter Platte von den Daten getrennt wird, während eine schmale Platte eine Verbindung
-ermöglicht. Dies erlaubt uns, das Verhalten ähnlicher Modelle mit symmetrisch angeordneten
-Daten vorherzusagen. Darüber hinaus zeigt die Forschung, dass die Fläche bei ausreichend
-schmalen Platten am Zylinder \enquote{haftet}.\newline
-
-Schließlich präsentieren wir ein Beispiel, bei dem der Minimierer vollständig von den
-externen Daten getrennt ist, ein Phänomen, das für nichtlokale Minimalflächen einzigartig
-ist. Diese Arbeit liefert wertvolle Erkenntnisse über das Verhalten dieser neuen
-mathematischen Objekte und ihre Wechselwirkung mit externen Daten.
+
+Nichtlokale Minimalflächen, die in einem Zylinder eingeschlossen sind, zeigen ein einzigartiges
+Verhalten, das von externen Daten abhängt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit diesen Flächen, die im
+Vergleich zu klassischen Minimalflächen weitreichende räumliche Wechselwirkungen einbeziehen. Wir
+betrachten eine Verallgemeinerung des in~\cite{dipierro2020disconnectedness} diskutierten Modells,
+einer in einem Zylinder eingeschlossenen Minimalfläche mit externen Daten, die durch eine Platte
+getrennt sind. \\
+
+Wir beweisen, dass für beliebige externe Daten, die durch eine Platte getrennt sind, die
+symmetrische Teile des Zylinders enthält, ein ähnliches Verhalten wie
+in~\cite{dipierro2020disconnectedness} besitzen. Die Ergebnisse zeigen, dass die Minimalfläche
+bei breiter Platte von den Daten getrennt wird, während eine schmale Platte eine Verbindung
+ermöglicht. Dies erlaubt uns, das Verhalten ähnlicher Modelle mit symmetrisch platzierten Daten
+vorherzusagen. Darüber hinaus zeigen die Untersuchungen, dass die Fläche bei ausreichend schmalen
+Platten am Zylinder \enquote{klebt}. \\
+
+Schließlich präsentieren wir ein Beispiel, bei dem die Minimierer vollständig von den externen Daten
+getrennt sind, ein Phänomen, das nur bei nichtlokalen Minimalflächen auftritt. Diese Arbeit liefert
+wertvolle Erkenntnisse über das Verhalten dieser neuen mathematischen Objekte und ihre
+Wechselwirkung mit externen Daten.
 
diff --git a/thesis/chapters/conclusion.tex b/thesis/chapters/conclusion.tex
@@ -2,12 +2,20 @@
 \chapter{Conclusion}
 \label{ch:conclusion}
 
-dicussion of the results, comparison to classical case, open problems, future
-work,..\\
+After starting with a short introduction to the classical minimal surfaces theory, we introduced
+the recent concept of nonlocal minimal surfaces. We presented the fractional perimeter, a generalization
+of the classical perimeter incorporating long-range correlations. We considered a generalization of
+the model considered in~\cite{dipierro2020disconnectedness} and showed that the minimizer exhibits
+similar behavior depending on the width of the slab. \\ 
 
-1. Change of Topology in the models (barrier construction) \\
-2. Cubic construction for arbitrary external data\\
-3. Existence of \( s_{0} \) for all external data and prescribed sets\\
-4. Minimizer touching the boundary of the prescribed set (Calculations with of 3. with
-arbitrary parameter shows, no)\\
-5. Can we give an estimate of the amount of connected components?\\
+In the last part of the thesis, we gave an example of a model where the external data and prescribed
+set are disconnected, but the minimizer is not the external data itself. This is a property unique
+to nonlocal minimizers. \\ 
+
+While a lot of properties of nonlocal minimizers have been studied, there are still many open
+questions. Here we showed that for models such as considered in \Cref{ch:models}, the minimizer
+changes topology depending on the width of the slab, but we don't know when and how this happens.
+A promising approach would be a barrier construction as shown in~\cite{dipierro2012asymptotics}.
+Another interesting question is whether there exists \( s_{0}  \) such that the minimizer is not
+the external data for all models such that the external data is unbounded and the distance between
+the external data and prescribed set is nonzero.