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圏の例

我々が今何について考えているのか、その間の関連性をどのように記述しているのかは、圏を指定することで明らかとなる。この意味で圏は一つの議論領域であり、理論を俯瞰的に捉える大きな枠組みを我々に与えてくれる。

以下はこのノートで基本的に詳しく扱わない圏のリストである。前提知識としては$\mathbf{Set}$と$\mathbf{Top}$が何かくらいを知っていれば問題ない。

小さい圏の例

小さい圏とは、対象全体と、対象間の射全体が、どちらも集合であるような圏のことであった。

半順序集合

$X$を集合、$\le$を二項関係とする。組$(X, \le)$が以下を満たすとき 半順序集合 （partially ordered set, poset）と呼ぶ。$x, y, z\in X$とする。

• $x\le x$である。（反射律）
• $x\le y$かつ$y\le z$なら$x\le z$である。（推移律）
• $x\le y$かつ$y\le x$なら$x=y$である。（反対称律）

$(X, \le)$を半順序集合とする。以下で圏を定める。

• 対象は$x\in X$とする。
• $x, y\in X$とする。$x\le y$のときに限り射$x\rightarrow y$を定める。

この圏において、以下が成り立つ。

• 同型$x\simeq y$は等号$x=y$のことである。
• 終対象は最大元のことである。
• 始対象は最小元のことである。

圏とみなすだけなら反対称律は必要ない。つまり前順序（preorder, quasi-order）集合も圏とみなせるが、この場合の同型は必ずしも等号ではない。

例 自然数$\mathbb{N}$において、関係$a\vert b$を「$a$が$b$を割り切る」とする。このとき$(\mathbb{N}, \vert)$は半順序集合となる。$0$や$1$、最小公倍数や最大公約数はどういう対象か考えよ。

例 集合$X$に対して、$P(X):=2^{X}$を$X$の部分集合全体とする。$P(X)$は包含関係$\subset$により半順序集合$(P(X), \subset)$を定める。$\emptyset$や$X$自身、$A, B\subset X$について$A\cap B$や$A\cup B$はどういう対象か考えよ。包含関係を$\supset$で入れるとどうか。

モノイド

$M$を集合、$\cdot\colon M\times M\rightarrow M$を二項演算とする。組$(M, \cdot)$が以下を満たすとき モノイド （monoid）と呼ぶ。$a, b, c\in M$とする。

• $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$が成り立つ。（結合律）
• ある$1_{M}\in M$が存在して$a\cdot 1_{M}=1_{M}\cdot a=a$が成り立つ。（単位元の存在）

$(M, \cdot)$をモノイドとする。圏$\overrightarrow{M}$を以下で定める。

• 対象は一つとする。つまり$\mathrm{Ob}=\lbrace \ast \rbrace$とする。
• 射は$M$の元とする。つまり$\mathrm{Mor}(\ast, \ast)=M$とする。ただし射の合成を$a\circ b:=a\cdot b$と定める。

$a\circ b:=b\cdot a$と定める流儀と、どちらが良いのかは場合による。

この圏において、恒等射$\mathrm{id}{\ast}$は$M$の単位元$1{M}$のことである。

定義 圏$\mathscr{C}$は、全ての射が同型のときgroupoidという。

例 群$G$について圏$\overrightarrow{G}$はgroupoidである。

名前が似ているがモノイド圏、あるいはモノイダル圏と呼ばれる異なる概念が存在するので注意すること。

全ての行列が成す圏

有用かどうかは知らないが、変わり種に次のような圏もある。

• 対象は非負整数$n\ge 1$とする。
• 非負整数$m, n\ge 1$について$M$を適当な成分（例えば体や単位的可換環）の$m\times n$行列（$m$行$n$列）とする。このとき$M\colon n\rightarrow m$と表して射とみなす。

$n\times l$行列$N\colon l\rightarrow n$と$m\times n$行列$M\colon n\rightarrow m$の合成は$M\circ N:=MN\colon l\rightarrow n$によって定義される。

各対象$n$の恒等射は単位行列$E_{n}$である。

局所的に小さい圏の例

局所的に小さい圏とは、対象間の射全体が集合であるような圏のことであった。小さい圏はもちろん局所的に小さい圏である。

集合の圏

以下で定義される圏を$\mathbf{Set}$と書き、集合の圏 （category of sets）と呼ぶ

• 対象は集合とする。
• 集合$X, Y$について、$X$から$Y$への写像を射とする。

$\mathbf{Set}$において以下が成り立つ。

• 射$f\colon X\rightarrow Y$が同型であるとは、写像$f$が全単射のことである。
• 始対象は$\emptyset$である。
• 終対象は任意の一元集合$\lbrace \ast \rbrace$である。

$\mathbf{Set}$において全単射で移りあう集合は全て同じものとみなす。この意味で集合論は「ものを数える」ことの数学的定式化といえる。

位相空間と連続写像の圏

$\mathbf{Top}$

$\mathbf{HTop}$

例 $C^{\infty}$多様体と$C^{\infty}$写像の圏

代数と準同型の圏

例 群と群準同型の圏$\mathbf{Grp}$

例 単位的環と単位元を保つ環準同型の圏$\mathbf{Ring}$

例 $R$加群とその準同型の圏$\mathbf{Mod}_{R}$

その他

$\mathbf{Conv}$

$\mathbf{Prob}$

$G\mathbf{Set}$