左完全と右完全の名前は良くない
始完全と終完全の方が良いのでは
.
昨年得た一番の知見は、代数クラスに対して直積P・全射像H・単射部分Sというクラス拡張を考えるというもので、これらで閉じていることが等式クラスと同値というBirkoffの定理だった。
射影加群$P$は$N\rightarrow L\rightarrow 0$について$f\colon P\rightarrow L$から$\overline{f}\colon P\rightarrow N$を作る。上記の観点では$N$の全射像に向けた写像が元の$N$の言葉で書けるということ。
一方入射加群$I$は$0\rightarrow M\rightarrow N$について$f\colon M\rightarrow I$から$\overline{f}\colon N\rightarrow I$を作る。同様に$N$の単射部分に向けた写像が元の$N$の言葉で書けるということ。
こう考えると、なんとなく見通しが良くなる気がする。つまり何らかの加群のクラスを考える時、その$S$や$H$からどの程度元のクラスを復元できるか、が射影性・入射性なのだろう。
斎藤正彦さん大晦日に亡くなられたそうだ
https://twitter.com/q_n_adachi/status/1345873358047518720
遊星社、昨年末で看板降ろしたらしい https://twitter.com/noby_noby/status/1346238844442615810
吉田伸生のルベーグ積分は非常に良い本（読み込みは途中で力尽きてるけど）
層の定義はpresheafに完備条件加えたものとするのが一般的なのかな、WikipediaもStacks Projectもこれ
Hartshoneも同じ定義だけど他の定義もちらっと言及してて、そのことかは不明だけど、局所同相写像$\pi\colon S\rightarrow X$で定義している本を見つけた
ファイバーバンドルと似ていて一瞬混乱するけど、層は$s\in S$の近傍が$\pi(s)\in X$の近傍と同相であって、ファイバーバンドルは$\pi^{-1}(U)$が$U\times F$と同相。
こっちの方が分かりやすい説ないですかね？ 幾何的だし、Sh(X)がPsh(X)の随伴だって言う時もすっきりする気がする
.
グロタン流と言えるのかは分からないけど、Pshはとにかく何でも持ってるんだーという思想と合致すると思う
- 位相空間$X$は開集合系$U_{\alpha}$で決まる
-
$U_{\alpha}$ 達は包含写像と共に圏を作る - Psh(X)はその圏からSetなりAbなりの反変函手から成る
- 一方でSh(X)は幾何的に定義される（これが知りたい）
- Sh(X)をPsh(X)の（適切な意味での）部分圏と見なせる（ここでなら調べられる）
espace etaleと言うらしい
この辺 https://mathoverflow.net/questions/96264/what-are-the-benefits-of-viewing-a-sheaf-from-the-espace-%C3%A9tal%C3%A9-perspective https://mathoverflow.net/questions/6477/applications-of-the-other-definition-of-sheaves
.
coherentもP, S, Hの操作で考えたら雰囲気出るか？
Pは有限直積ならok Sは対象を局所有限なものに制限すればたぶんok Hは順像層のことでいいなら、射を固有な正則写像に制限すればokになる
？？？？？
数学なんてやっても分かるところはむしろ減っていって分からないところばかり増えるからやらないほうが健康的ですよ
圏はなんというか言葉であって、自分が今どこで何について議論しているのか、を明確にして整理するための言語だと思うとしっくりくる
.
Setはもちろん最低限Topは知らないとさっぱりなのは分かる
.
例えばこれは、書いてあることは最初の一歩レベルだけど、完全に自分向けだから圏論に入門したい人には全く向いてない https://github.com/mathmathniconico/Notes/blob/master/Category/Category.md
遊星社は流通代行という指摘を受けて
なるほど。今確認したら発行が遊星社で発売が星雲社になってますね。流通だけやってもらってた感じなんですね、それなら著者も存命だし融通が効くかもしれないです。
いや基本列$\lbrace \alpha_{n} \rbrace$が、$a_{n}=a_{n, p(n)}$と定義して作った実数$\alpha=\lbrack a_{n} \rbrack$に収束するということです。
limという記号は、収束して始めて使える記号です。まだ収束するか言えてないので使えません。
3で書かれてる
という文章は
「数列$\lbrace \alpha_{n} \rbrace$が$\alpha$に収束する」
という意味の「日本語」です。（等式じゃない）
「はさみうちの原理（補題）」の仮定をよく見て欲しいのですが、
となってますよね？
これは$c_{n}$を挟んでいる両側の数列が、
- 収束して
- 収束先が一致 している必要があります。
件の証明において
に補題を適用していますが、左右の式は収束先があるかどうか分かりません。そもそも$a_{n, p(n)}$が収束することを示すのが問題です。
というわけで、もう一度定義に戻って考えてみます（続く）
.
改めて状況を確認します
個々の$\alpha_{n}$は実数なので、「有理数の基本列の同値類」として表現されます。
問題2で、$n$に対して
となる$p(n)$が存在することを示しました。そして$a_{n}:=a_{n, p(n)}$と置けば$\lbrace a_{n} \rbrace_{n}$もまた「有理数の基本列」となることも示しました。
（続く）
.
問題3は
を主張しています。これは日本語に直すと
「実数の基本列$\lbrace \alpha_{n} \rbrace_{n}$は、先で定めた実数$\alpha$に収束する」
という意味です。
定義通り収束することを示しましょう。
を満たすことです。
まず右辺の$\varepsilon$ですが、これは実数でも有理数でもどうでもいいことは、以前話したと思います。ここは気にしなくていいです。
次に左辺に現れる$\alpha_{n}$と$\alpha$は実数です。しかし我々が普段するような計算はできません。なぜなら今、我々は実数を「有理数の基本列の同値類」として定義しているからです。
（続く）
.
問題3は
を主張しています。これは日本語に直すと
「実数の基本列$\lbrace \alpha_{n} \rbrace_{n}$は、先で定めた実数$\alpha$に収束する」
という意味です。
定義通り収束することを示しましょう。
を満たすことです。
まず右辺の$\varepsilon$ですが、これは実数でも有理数でもどうでもいいことは、以前話したと思います。ここは気にしなくていいです。
次に左辺に現れる$\alpha_{n}$と$\alpha$は実数です。しかし我々が普段するような計算はできません。なぜなら今、我々は実数を「有理数の基本列の同値類」として定義しているからです。
（続く）
.
証明の鍵となるのは三角不等式です。
です。
triangulated categoryがなぜtriangleなのか infinity categoryがなぜinfinityなのか
誰か分かりやすく教えて欲しい
infp仲介者でした https://www.16personalities.com/ja/infp%E5%9E%8B%E3%81%AE%E6%80%A7%E6%A0%BC
.
infp-aか
意識 86% 内向型 エネルギー 67% 直感型 気質 57% 道理型 戦術 69% 探索型 アイデンティティ 54% 自己主張型
エレオラド ブリゾーラ リーズィ ザハリ アフラディア
ギリシャ語、創作の人名とかで使えそうな気がする
それぞれオリーブ油、ステーキ、米、砂糖、洋ナシなんだけど
EGAもSGAも自分は現物を見たことが無くて、源氏物語を読みたくて仕方ない更級日記の作者みたいな気分になってる
というか原文はフランス語だよね、なんで皆そんな簡単に読めてるんだ？
twitter.com/nori76/status/1349848903445696513
最低の人材が、最低の環境で、適当に作った動画が、何故かバズるニコニコとかいう動画サイトがある限り日本は安泰かもしれない
リアルタイムレイトレって実際どうやって実現してんだろ、GPU上で解像度分のレイ飛ばして、超ゴリ押ししてるってことでいいのかな
あとノイズ除去もそうだけど、RTXのDLSSはもう完全に「ウソ」ではあるよね
我々は一体何を見ているのだろうか
示したい命題は「実数の基本列は常に収束する」です。
なので最初に実数の基本列$\lbrace \alpha_{n} \rbrace$を取り、これが収束することを示すことが目的です。
実数の基本列というのは、各$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \dotsc$は実数で、更に基本列の条件を満たします。つまり$\varepsilon\gt 0$が与えられれば、適当な$N$を取り、$N$以降の$n, m$について$\vert \alpha_{n}-\alpha_{m} \vert\lt\varepsilon$を満たすようにできます。
つまり、何か有理数の基本列$\lbrace a_{1, 1}, a_{1, 2}, a_{1, 3}, \dotsc$が存在して$\alpha_{1}=\lbrack a_{1, k} \rbrack$と表せます。
（続く） . 厳密には$\alpha_{1}=\lbrack \lbrace a_{1, k} \rbrace_{k} \rbrack$ですが、省略して書いてます。
同様に$\alpha_{2}, \alpha_{3}, \dotsc$も実数です。だから$\alpha_{2}$に対して有理数の基本列$a_{2, 1}, a_{2, 2}, a_{2, 3}, \dotsc$が存在して$\alpha_{2}=\lbrack a_{2, k} \rbrack$と表せます。
（続く） . 次に、各$n$について、ある自然数$p(n)$が存在して$\vert \alpha_{n}-a_{n, p(n)} \vert\lt\frac{1}{n}$とできます。
このとき$a_{n}:=a_{n, p(n)}$は、有理数の基本列$\lbrace a_{n} \rbrace_{n}$を作ります。よって新たな実数$\alpha$を$\alpha:=\lbrack \lbrace a_{n} \rbrace_{n} \rbrack$によって定義できます。
今定義した$\alpha$は、最初の$\alpha_{n}$たちの収束先になってます。
Rust製TeX https://github.com/tectonic-typesetting/tectonic
Tectonic is a modernized, complete, self-contained TeX/LaTeX engine, powered by XeTeX and TeXLive.
数学民はモダンとかセルフコンテインドという言葉に弱い .
many people find The TeXbook to be extremely unhelpful... it’s written by a mathematician...Unfortunately, we’re not aware of any alternatives
草
選択公理は https://ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+choice にあるように、全射$A\rightarrow B\rightarrow 0$がsplitすること、と聞くと自明ではないけど自然な感じがする
このへんは圏論的論理学とかやると分かるんだろうか
そうです。$\alpha_{n}$も$a_{n, p(n)}$も、お互い違う場所にいます。
ですが、問題1の方で、$\alpha_{n}=\lbrack \lbrace a_{n, k} \rbrace_{k} \rbrack$のとき、$a_{n, k}$を実数とみなしたら、$\alpha_{n}$に収束していることが分かってます。
なのでその不等式が言えるような$p(n)$（$n$に対して決まる番号）の存在が言えます。 . 最後の不等式の後ろが逆です。
3列目の式は、$a_{n}=a_{n, p(n)}$なので [ \vert a_{n}-a_{k} \vert ] です。つまり$\lbrace a_{n} \rbrace$が基本列であることから、十分大きな$n, k$で$\varepsilon$未満にできます。
2列目の式が$\lbrace a_{n, 1}, a_{n, 2}, \dotsc \rbrace$の方が、$1/n$で抑えられることを使ってます。これも十分大きな$n, k$で$\varepsilon$未満にできます。
合わせて$2\varepsilon$未満ですが、定義通り$\varepsilon$未満にしたければ、それぞれを$\varepsilon/2$で抑えればよいです。
やっぱ層は図形。幾何学の範疇。分解とか、絡んでる紐をほどいてるようなもん
エタールとか何も分からんかったけど、たぶんこのイメージで行けそうな気がする
.
どんな分解に対しても良い$Y$があるとは限らないが、例えば$Y$が$X$の位相を細かくしたもの（離散位相など）なら、層の絡み部分が解けて簡単になる。
こう考えると、位相空間では確かに狭いという印象を持つ。これがグロタンディーク位相とどう関係するかは勉強しないといけないけど、空間概念を広げなければならないという要請は確か。 . あんまり一般論やりすぎても、あらぬ方向に曲解しそうで怖いな . nLabは文献案内あるからなぁ、そっち見れるならそっちの方がいいかも
ただ内容は良く纏まってるし、なんなら読む側も参照しやすくて良い可能性がある（論文中に定義や性質もちゃんと書けと言われるだろうけど）
新規陽性者は誰も利用価値ないなぁ。強いて言えば医療関係だけど、要治療者数とかのほうが大事だし
まぁでも確かゾロ目の日があった気がする。そのときは自分も「おっ」となった
完備順序体は同型を除いて一意
読んでないけど、こんだけ長いのでまぁ大変です。もし興味があるなら、同型写像$F$の定義くらいは確認しておいても良いかもしれません。$\mathrm{sup}$を用いてますね。
大事なのは、我々が基本列を用いて定義した$\mathbb{R}$というものが、皆の心の中にある「実数」と本質的に変わらない、という事実です。
この事実があるので、今後の議論において、実数を基本列による$\mathbb{R}$で考えてもよいし、あるいは日常的に知っている「実数」としても良いわけです。
完備順序体という「性質」のみに着目している限りは、もはやその構成法については考えなくて良いのです。 . 61ページ下に書いてあるように、他にも小数展開を用いる構成法、デデキントによる切断（デデキント・カット）を用いる方法、などなど色々構成法はありますが、どれも全て完備順序体という性質を示すことによって、同一なものだということが分かります。
位相が与えられたとき、程よく細かい位相入れる一般的な方法ないかな
閉集合を生成系に加えたらどうなるんだっけ？ ちょっと強すぎるか？
不完全性定理シリーズ https://www.youtube.com/channel/UCwsTJy8qRylVe5xT5DQtpEQ
基礎論で最も簡単な定理（あるいは出発点）というのは、まあそうなんだろうけど、個人的には十分ハードル高い
でも独り芝居があったりして内容は面白い
https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/ 「確率変数」の正体は米田埋め込み で言及されてるAlexSimpsonの動画は、categorical internal logicについて言及してるんだよね
どうもSh(Prob)は色々持ってるみたいで、選択公理は無いけど、依存選択はあるらしい
層は局所同相全射と見なすのが良いと思うけど、一般化は難しい。そこで前層として特徴付けると、張り合わせ条件が本質的になる。
グロタンディークは貼り合わせ条件の一般化としてサイトの概念を用意した。これによりサイト上では一般の圏Cに対するPsh(C)の部分圏としてJ層の圏Sh(C, J)を定義できる。これをグロタンディーク・トポスという。特にSh(C, J)はPsh(C)と随伴になっている。つまりPsh(C)の「層化」がある。
LawvereとTierneyはこの「層化」に着目し、初等トポスという圏を考えた。初等トポスにおいてはlocal operatorと呼ばれる射jによってj層という部分圏が定義できる。
前層の圏Psh(C)も初等トポスなので、底空間とその上の層、というボトムアップな発想から離れて、「層化」を伴う圏とその部分圏というトップダウンな一般化を行ったといえる。
実際Psh(C)のlocal operator jとグロタンディーク被覆Jは一対一に対応し、対応する「層」も完全に一致することが知られている。
とりあえずここまで分かった . で具体的に何が嬉しいのよ…
subobject classifierとか仰々しい名前が付いてて謎だったけど、要するに部分集合の特性函数の一般化なのね
集合の圏において対象$X$の部分対象・つまり$X$への単射$A\rightarrow X$とは部分集合$A\subset X$のことだから、特性函数$\chi_{A}\colon X\rightarrow \Omega=\lbrace \mathrm{true}, \mathrm{false} \rbrace$は真偽値集合への写像になる。
終対象は一点集合のことだから、これを$\mathrm{true}$に対応させる写像$\top$がsubobject classifier
考えた奴、天才かな？ . で、$\Omega$は真偽値なんだから、項の解釈が射によってなされるなら、コドメインが$\Omega$のものが論理式となる。（論理式には真偽値が解釈されるべきなので）
これで圏を用いて意味論ができる
やばすぎ
いよいよマックレーンモなんとかとカシワラシャピーラ買うべきか？ 値段がとても手出せないんだが？ . MacLane（Categories for the Working Mathematician）の方は無くても良い気がする（色々ネット上の解説とかも増えてきたので）
Kashiwara, Schapira（Categories and Sheaves）はホモロジー代数のために欲しい
MacLane, Moerdijk（Sheaves in Geometry and Logic）の方は持ってた方が良い気がする（全然ない）
Caramello（Theories, Sites, Toposes）は圏論的意味論ガチるなら読みたい
Lurie（Higher Topos Theory）は有難いことに著者がPDF配布してくれてるから、高階圏論のためにいつか読みたい . 導来圏を勉強するために準備してたのに、気付いたらinternal logicにいるの謎すぎる
基本的に、数学的に何かを構成するとき、ある性質を満たす何かを作るときは、何か大きな集合を考えて、そこに同値関係を定義し、その同値類を取ります。
例えば実数の構成では、有理数の基本列全体を考え、差がゼロ収束列となるモノ同士を同値としました。実数はその同値類として表されるわけです。
商体の構成もそのアナロジー（類推・類似物）を行います。
まず動機ですが、これは「割り算」を考えたいからです。環の命題を、いったん「割り算ができる世界」に持ち上げて計算し、結果が元の環に収まれば良いわけです。
全然違うことですが、数字1, 1, 9, 9 で10を作る問題と雰囲気は似ています。加減乗では無理ですが、割り算で1/9を作ってしまえば(1+1/9)*9=10です。
体では「割り算」が出来るので、環$R$を含む体$F$が欲しいです。 . もちろん必ず$F$があるわけではなく、整域という条件が必要十分です。整域とは（書いてないですが）ゼロ環でなく、$a, b\neq 0$なら$ab\neq 0$となる環です。
体はもちろん整域ですから、あとは整域$R$を含む体を構成すれば良いのです。
アイディアとしては、有理数の分母と分子の関係を抽象化してしまうことです。
教科書の$\mathfrak{R}=R\times R^{\times}$は、最初の$R$が分子で、次の$R^{\times}$が分母に相当します。分母にゼロが来ないのは有理数でもおなじみですから、$R^{\times}$、つまり$R$からゼロ$0$を除いた集合としています。
有理数で$a/b=c/d$となるのはどういうときか？ を整数の範囲に落とし込むと$ad=bc$になります。
この応用で$(a, b)$と$(c, d)$を$ad=bc$のときに同値（$\sim$）と定め、同一視します。
問題1：$\sim$が34ページの同値関係であることを示せ。つまり$(a, b)\sim(a, b)$などの3つの条件を示せ。 . 同値類の全体を$\widetilde{R}$と表します。ここに和と積の演算$+, \cdot$を定めることができます。
問題2：演算はwell-definedか？ つまり同値なもの同士の演算は同じ結果を与えているか？
問題3：この演算が環を定めていることを確認せよ（教科書の問題）
63ページの残りは次の問題です。
自然数$a$と有理数$a/1$は同じ数ですよね？ それと同じことが成り立ちます。
問題4：$\widetilde{R}$は$R$を含む（つまり環準同型$i\colon R\rightarrow\widetilde{R}$が存在して、単射である）
問題4：$\widetilde{R}$は体である（ゼロ以外は逆元をもつ） . 3番目が違いますね
あと自分も間違えてたんですけど、$ad=bc$は$ad=cb$の誤記です。 . 一応、この本では「環」は「単位元を持つ可換環」のこと（11ページ）なので、どちらでもいいんですが . 今我々がしようとしていることは、「分数」を定義しようとしています。この「分数」は鍵括弧付きであり、普段目にする有理数の分数とは異なります。
環$R$に対して、$\mathfrak{R}:=R\times R^{\times}$と定義します。この意味するところは、$R$の元$a$と$R^{\times}$の元$b$に対し、組$(a, b)$全体を考えているということです。
また「環$R$」というのは有理数や$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$のように具体的な対象ではなく、もっと一般的に二種類の演算が定義され、分配律などの性質を満たす抽象的な何かです。
従って環$R$には「分数」というものはありません。代わりに、先ほど定義した$\mathfrak{R}$を考えて、その「気持ち」の部分を、「分子」と「分母」と言っているに過ぎません。
つまり$a/b=a^{\prime}/b^{\prime}$というのは、あくまで「気持ち」であって、現実的には$ab^{\prime}=a^{\prime}b$という式のことです。 . 従って、$a/b=a^{\prime}/b^{\prime}$という式を証明に使うことはできません。推移律をちゃんと書くと、
ですが、これを証明するには、定義の式に戻って
が成り立つことを示さなければなりません。
この式は一般の環では成り立たちません。しかし環が、ある性質を満たすときは上手く示せます。その性質とは何でしょうか？
人に聞かれたら スマホならiPhone タブレットならiPad ノートならSurface を勧めるし、
代数幾何ならハーツホーン 圏論ならマックレーン を勧める
どれも自分ではまともに使ったことないけどね . みんなが使ってるものは間違いなく悪い物ではないですね
ただ自分の場合、みんなが使ってるならわざわざ自分が使う意味ないなって思ってしまうときがたまにあって、変なの使ってたりします。
今は定理4.5の証明中であることを思い出してください。なぜ簡約律が成り立つのでしょうか？ . そうです。教科書は若干不親切で、この部分については何も言及されてないんですよね。
さて$\sim$が同値関係ということが分かりました。これにより晴れて「気持ち」の表現だった$a/b$という表示が、$\mathfrak{R}/\sim$という場において意味を持つことになります。
つまり組$(a, b)$の同値類を$a/b$と書いても問題ないということです。$a/b=c/d$は$ad=cb$であり、すなわち$(a, b)\sim(c, d)$となるからです。
ただし、まだ「分数」（鍵括弧付き！）としての機能を持っていません。有理数の分数と同じような計算ができなければ、$a/b$と書く意味がないからです。
そこで演算を$a/b+c/d:=(ad+bc)/bd$で定義します。ただしこれは「気持ち」のうえでの定義なので、well-definedかどうか、同値類の代表元の取り方に依らないことを示す必要があります。 . 和の「(2)より」が証明の日本語になってないです。何が示したいことで、何が仮定で、何が結論なのか、を明確にしましょう。
言いたいことは分かるんですが、何も知らない人が見てすらすら読めるのが理想です。
層$F$について$F\rightarrow f_{\ast}f^{\ast}F$が単射になる条件がよく分からん。なるべく広く取りたいけど…
数学の板書で使う略語とか iff if and only if ～と同値である where ～の条件下で / under ～の下で w/ with ～を伴う w/o without ～を除いて w.r.t with respect to ～に関して resp. respective ～も同様に TFAE the following are equal 以下は同値である
あと何かあるかな .
s.t such that とかかな？ . なんか違う気がするけどi.i.d (Independent and identically distributed random variables,独立同分布) . a.e. almost everywhere とかもあるか . Hdf Hausdorff cpt compact . 自分はHausdorffはHaus.だなぁ
cpx complex 複体 もたまに使うか？
理論もいいが応用も欲しい。どんな結果に応用されてるのか知りたいけど学習コストが高い
4とか抜けてる部分ありますが、流石にこの辺はわざわざやらなくてもいいかなって感じになりますね。元々有理数の雰囲気で作ってるので、この辺の演算は当然成り立っていて欲しい感じです。
一応、$R$が単位元を持つ可換環なので、こういったことができます。
級数の収束って結局論理式なわけじゃん？ それをトポス上で解釈して、そこで代数の直積みたいな形で書けたら、収束が示せたことみたいにならないかな。
定理の主張の「同型写像」は「準同型写像」ですね
あと証明中は$cb/b$にしてますが、これは特に$b=1$で取ってしまっても良いです。
演算を保つ単射があるということで、$R$は$\widetilde{R}$の一部分とみなせるわけです。
Cを単位的可換環の圏とする。
ここから更に$e: 1\rightarrow GL_{n}$及び$m: GL_{n}\times GL_{n}\rightarrow GL_{n}$及び、$i: GL_{n}\rightarrow GL_{n}$が自然変換であることが言えて群構造を復元できるらしい。
そこで思ったのだが、一般の函手$F$あるいは$h^{R}$が似たような自然変換を満たすかどうか、考えたら面白いかもしれない。
あるいは表現論とかはこういう研究と言えるのか？
.
対称式は基本対称式の多項式で書ける。この表し方は$s_{n}$の代数的独立性より一意的
極限と余極限の覚え方
まず普遍的な対象は、必ず普遍射の経由点となる。
Xを変数とする図式D(X)の為す圏を考える。その圏の終対象が極限、始対象が余極限である。
例えばA←X→Bという図式を考える。この図式から成る圏の始対象は経由しないから、終対象が普遍的な対象である。つまりこの図式は極限を定義し、直積という。
A→X←Bの場合は始対象を考えるから、余極限を定義し、余直積という。
余がついたら始対象、つまりXに向かう射の図式。つかなかったら終対象、Xから出る射の図式 . 普遍射の始点・頭側にあれば始対象だから余がつく。普遍射の終点・尾側にあれば終対象だから余はつかない。
で、なぜか右向きの射を考える文化があり、始点側を左、終点側を右と呼ぶのが一般的。左完全とか右完全とか。
左Kan拡張は始点側だから余を付けた方が良い気がするし、右Kan拡張は終点側だから余が付かない呼び方を考えた方が良い気がする
よく考えると集合というのは物の個数しか数えてないわけで、色々構成するときの差はどこにあるんだという気になる
斜体というのは非可換な環に対して言うもので、我々は11ページ中段にあるように可換な環だけを考えているので、ここで特に言及する必要はないかなと思います。
それよりも、$\widetilde{R}$の元$b/a$が可逆になる理由をもう少し丁寧に書いてみて欲しいです。なぜ逆元として$a/b$が取れるのか、このあたりが一番重要だと思うので。
それと62ページに、商体の定義は$R$を含む体のうち最小のものと定義されていますが、この「最小」という言い方は微妙なので、今作った$\widetilde{R}$のことだと思って下さい。
これ面白い https://math.berkeley.edu/~kmill/toys/droots/roots.html
多項式に$re^{i\theta}$を入れてる
森さんやめるのはどうでもいいんだが、肝心の話が長くて的を得ない意見ばかり言う素人知識の理事は残ったままなんだよな、大変やな . 文章そのまま受け取る人間は増えてる気がするな
森さんの発言もそれ。あれは理事の中に話の長いクソババァがいるって話。たぶん相手も森さんのことを話の長いクソジジィと思ってるからおあいこだったはず。 . 自分も国語の成績は3とかだったので、文章読めない側の人間ではあるんだが。日常会話でも皮肉とか冗談とか全く使わない。
まず→について： 「このとき～」は「よって～」の後に書くべきですね。
結論の書き方も逆で、「よって$P$が素イデアルであるには$R/P$が整域である。」だと意味が変わってしまいます。
素イデアルなら、整域の順です。
次に←について：
で、剰余環で$\overline{ab}=\overline{0}$になるので、整域性より$a\in P$か$b\in P$になります。
仮定と結論を書く順があべこべになってます。
カルタンの公式って何なんだろうな…Cartan calculusという形で纏まって入るけど、全然自然性が分からん . これ良さそう。クリフォード代数使ってアルゴリズム的に構成してるらしい。
https://arxiv.org/abs/1011.1027
読んでないし、正しいかどうかも知らないけど
配信だと万札飛び交ってるから景気は普通に良い気がする。あとはサブスク系。株価も推しに課金するようなもんだろ（違う）
30年前とはお金の使いどころが違うし、見えにくくなってる。 . 顔もよくて身体も整えてて声も聞きやすくて話も面白くなきゃいけない時代よりは、後ろ二つだけで良くなったわけだから、だいぶ簡単になってる。簡単になることは良いことだ。
滑らかな多様体だとリーマン計量が入り1-formとベクトル場が同一視されるけど、ひょっとしてk-formと対応する「高次元のベクトル場」にあたるのがクリフォード代数のk-bladeなのか？ . クリフォードが対応しそうなのは、非退化計量で定義される擬リーマン多様体なんだろうけど、だとしたらそんなに簡単じゃなさそう
日本の名門校からの交換留学生で、英語のアクセントは日本語寄りの人がいたんだが、アメリカ人交えて一緒にご飯いって、帰り道別れた後にそのアメリカ人から「きっと彼は君の国では凄く優秀なんだろうけど、発音がアレだから頭悪く感じるね」って言われてから絶望しかない。
. アメリカ人に頭良いと思われてもな…（偏見）
同じ位相を定める距離の違いか
今調べたらLipschitz解析とかあるみたいですね
面白そうではある
一方で論理式$A\wedge\neg S$には、$S$に0が入力されたら常に0になる、という意味も含まれていますよね。
また論理式$\neg S\rightarrow A$には、$S$に1が入力された場合は上と同じですが、$S$に0が入力されたら常に1になる、という意味も含まれてます。
この違いで$\vee$で繋ぐか$\wedge$で繋ぐか、という違いが出るのかなと思った次第です。
多様体（やベクトルバンドル）やるとベクトル解析がすっきりするが、物理等の計算問題が解けるようになるかはまた別
可換環$R$を考えると、地面の$\lbrace 0 \rbrace$から始まって天空の$R$に至るまで、だんだん大きくなるイデアルのタワー（というよりも木）みたいなのが作れます。
極大イデアルというのは、その一番高い所にいるイデアルのことで、天空の$R$との間に何もありません。
イデアルで割るということは、そのイデアルより上の部分を見るような感じです。
イデアルが自明なもの（ゼロと自分自身）しかないとき体なので、$R/M$は体ということです。
例えば環として、実係数の多項式環$R=\mathbb{R}\lbrack X \rbrack$を考えます。イデアル$(X^{2}+1)$は極大です。というのも、これより大きなイデアルは一次式を含むはずですが、$X^{2}+1$は一次式の積で書けないので$R$以外ないからです。示したことより$\mathbb{R}\lbrack X \rbrack/(X^{2}+1)$は体になります。これが所謂、複素数体$\mathbb{C}$というやつです。
表現論なんも分からん。とりあえず有限アーベル群の指標あたりからスタートして調和解析入門するのが一番良さそう . 広すぎて色んな話題があるから目移りするんよな . フーリエ変換の$1/\vert G \vert$が要らない説 . 係数をどう取るかはまあまあ流儀があって、再計算しないで記憶に頼ってるとずれることがある
1000以下の正の数のうち奇数は500個くらいあり、そのうち半分も素数であるわけないので1000以下の素数の個数が250個以下なのは確定的に明らか
ネタが思いつかなくてつい
じゃあisomorphism-closedな部分圏$\mathscr{A}\subset\mathscr{B}$の定義を今
「$A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B}$について$A\simeq_{\mathscr{B}}B$なら$B\in\mathscr{A}$」
としてるのですが、これに$A\simeq_{\mathscr{A}}B$を要請すべきなのか、更に同じ射で同型となることまで要請するのか悩んでる . これなんですが普通に自分が定義読み違えてただけでした。結論から言えば「同型は同じ射であることを要請する」です
数学やる人はTeXは使うけどTeXには興味ない人多い気がする
個人的にクソ読みにくいタイプ文も昔の人は普通に読んでたわけだし、能力が高すぎて読みやすくしようという発想すらなかったのではないだろうか（読めてしまうので） . KaTeXに図式入れるという話は消えたんだろうか
GitHubに挙げてるノートでは、文章はmarkdownで管理、図式は別口でsvgを生成しておいて文中で参照、ブラウザの拡張機能で＄の部分をKaTeXに処理してもらう、そんなところ。
自分でWebページ作るのもメンドイ、ファイル管理するのもメンドイ、しかし数式は書きたいの妥協点。 . web時代にtex/pdfに拘る必要も無いんじゃないかとは常々考えているが、markdown+KaTeXだと表現力が足りないのはひしひしと感じているので、その辺を誰か解決してくれないかなと。mathjaxはwebに強い人なら機能としては十分なんだろうけど、職人技という印象が強い . 分野によって読み慣れた形式というのはあるだろうから、それらを吸収しつつも簡単なmarkdown+αで（図式や化学合成とかも）記述できて、データから図表なんかも生成できて、版・共著・公開秘匿・文献などの管理もできるようになったら楽なんじゃないかなと
考えなくても分かることにスパコンを使うしょーもなさよ
フェルマーの小定理 https://github.com/mathmathniconico/Notes/blob/master/Algebra/Group/FermatLittleTheorem.md
昔書いたブログの導入部分が、作用を用いた証明の拡張だったことに気付いた（編集中） . フェルマーの小定理の拡張で [ \sum_{d\vert m}a^{d}\mu(m/d)\equiv 0 ] と [ \sum_{d\vert m}a^{d}\varphi(m/d)\equiv 0 ] が成り立つのに、何か関係ないわけないよなぁと思って調べたけどよく分からない。
素数積の偶奇と互いに素な個数が法$m$で似た者同士というのは、そんなに不思議ではないが。 . これnecklace congruenceという$a^{n}$側の性質が効いてるっぽい。この全体がたぶん$\mu$や$\phi$で不変な空間になってる
勉強したいことが指数増大するのどうにかしたい
調和解析やるには積分が必要なので、局所コンパクトハウスドルフという条件はたぶん必要。
アーベル群の場合は既約ユニタリ表現が一次元なのでフーリエ変換の理論がある。
非アーベルでもコンパクトの場合は理論がある。既約ユニタリ表現が有限次元なので膨らんでしまうけど、フーリエ級数の理論はある。
じゃあ非アーベル・非コンパクトの場合はというと、たぶん統一的には難しい。個別の群に対しては色々理論はあるらしい。
この量は入力お疲れさまでした。これほど長いと、ここだと不便かもしれませんね。
環の構造のみを考える場合、準同型によってその違いを測るのですが、同型ということは環としてその二つは区別が付かないということになります。
準同型があったら核を調べるのが常套手段で、$=0$という式が増えるので良い性質があったりします。
なお単準同型写像という言葉は余り使わないかもです。「中への同型」が一般的です。英語だとintoとかontoが付きます。同型は大抵の場合単射なので（厳密には異なる概念） . 単準同型は単射同型と見間違えてました。単と全で単射・全射ですね、ここは気にしなくて大丈夫です。 . 66ページ以降ですが、「素数」「素元」「素イデアル」の違いを意識しながら読むと良いかもです。これらの概念がどういうときに用いられるのか、どういう状況で同等なものになるのか、など。
購入したのは140ページのペーパーバック。紙質は当然下から数えた方が早い。値付けミスか在庫処分なのか今回は2500円だったが元値60ユーロなので実際は7000円くらい。1000円の同人誌を額に飾れるレベル。日本の印刷業界は胸張って良いよマジで。
解析接続の何が酷いってうっかり英語で略記するとanal.conti.で、これ以上は言えない
ギリシャ語やってるが格変化以前に動詞が覚えられん。日本語はもっとギリシャ語から借用してどうぞ。
それっぽいのトレヒ（走る）くらいしかない。 . 現代ギリシャ語、対格がどの程度使われてるのかは気になるところ。古典と比べてだいぶ英語っぽくなってるんじゃないかと、全部主格でも通じるのでは？ . 希、伊、英と文章構造が直接化・合理化・簡素化され整理されてく様子はぼんやり感じるので面白い。
日本語はあまり変わってないかも。上記の流れと比べるとまだ若いからか？
宇宙規模だと1/1000も1000倍も誤差だから単位に意味がなくなるという話は面白い
補題１：（２）→（３）の誤記
補題５がない。同伴なら生成するイデアルが等しいこと、ですね。
補題３の（２）→（３）の証明：「補題１より」とあるが、極大イデアルが素イデアルなのは一般的な性質なのでこの文言は必要ない
補題３の（３）→（１）の証明：これも「補題１より」とあるが、補題１は$\mathbb{Z}$に関する命題なので使えない。「整域上で素元なら既約元」は示す必要がある
問題：整域上で既約元だけど素元でない例はあるか？
KaTeXのコマンド表眺めて思ったこと
- setminus使うの忘れてたbackslashを置き換えるべきか
- operatorname{}にするべきか。ただ写像名と変数を取る集合名が曖昧なんだよね。妥協してmathrm使ってたけどそのままでいいかもしれない
- llbracket, rrbracketあるやん。llbrackで無いと思ってた
- substack{}はsumの下に二行書くとか便利そう
注意：$N$は環$R$に依存します。
一方$R=\mathbb{Z}\lbrack \rho \rbrack$はどうか。実は$N(a+b\rho)=\vert a+b\rho \vert^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$であり、自然数になる仕組みが変わります。
条件1：$N(\alpha)=\vert \alpha\vert^{2}$としてますね。$N$は上記の理由で自然数を取るのでokです。
条件2で$N(a+b\rho)=(a+b\rho)(a-b\rho)$は正しいですか？
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標数ゼロなら最小多項式は微分すれば重根が無いことが分かる
正標数はこの世に存在しない（過激派） . 任意の有限体は完全体だからその代数拡大は分離的、安全！
有限次分離拡大は単拡大、これが一番つよつよな性質だと思う
つまり無限はクソ . 有限部分群$G\lt\mathrm{Aut}(L)$による固定体か、一般に言えるのか？ . まず有限次拡大であることを言わなきゃいけなくて、そんな自明じゃないような？ . 桂の系1.7.11がまさにこれだった。やっぱり有限次が面倒そう。$L^{\mathrm{Aut}L/K}=K$を示してから、最小多項式は相異な$\sigma(\theta)$を考えれば良い。 . ああそうか。有限次なのはそうか。拡大次数がちょうど$\vert G \vert$である方に重きを置いてる感じでした . いや$\sigma\in G$は$K$上の同型でもあるから、その個数$\vert G \vert$は$\lbrack L : K \rbrack$以下ですね。
なんで桂は回りくどい方法を取ってるんだろう
あと気になるのは$K(\theta, \theta^{\prime})$が有限次分離という部分だけど、これは正しいですか？ . 結局$\theta\in L$が$K=L^{G}$上分離的であることに帰着されて、それは相異な$\sigma(\theta)$により定義される$f_{\theta}$が$K$上の最小多項式であることから従うと。特に$f_{\theta}$は一次の積だから正規性も従うと。それはそうか。
問題には無いけど、桂で議論してたのはガロア群が$G$になるという部分か。$G$の元は$K$同型でもあるから$G\subset\mathrm{Gal}(L/K)$で、個数がちょうど$\vert G \vert$であることを示すのに一工夫してる感じか。
ようやくしっくりしてきた . すみません、余計なこと考えて場を乱しましたが自己解決しました