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c366cf6 · Aug 15, 2017

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第55章 双星

双星的轨道要素如下:

P = 旋转周期,单位是平太阳年 T = 经过近点的时刻,一般表达形式为带小数点的年,如1945.62 e = 轨道离心率 a = 半长轴,单位是角秒 i = 真轨道面与视直线的垂直面之前的夹角。在视视道上由西向东(顺行)运动,i则在0到90度,逆行,则i在90到180度。当i=90度时,视轨道是一条经过主星的直线。 Ω= 升交点的位置角。 ω= 近星点的经度。这是直轨道上的一个角度,从升交点开如测量到近星点,总是沿运动方向测量。

当轨道要素已知,t时刻的视位置角θ和角距离ρ可由下式计算:

n = 360°/P, M = n ( t - T )

式中t的单位是年,与T类似,可带小数点;n是伴星的平每年运动,单位是度,总是正值。M是t时刻伴星的平近点角。

然后,解开普勒方程:E = M + e sin E

解法详见第29章。然后由下式计算径矢r和真近点角v:

r = a ( 1 - e cos E )

tan v/2 = √(1+e)/(1-e) tan(E/2)

然后由下式计算 (θ - Ω )

tan (θ - Ω ) = [ sin ( v + ω) cos i ]/ cos ( v + ω) (55.1)

当然,公式可改写为:

tan (θ - Ω ) = tan ( v + ω ) cos i

但是,在这种情况下,(θ-Ω)的正确象限不好确定。而用上一式,则可以使用本书已提到过的ANT2函数,(55.1)式的分子和分母分别做为它的参数,这样得到的(θ-Ω)立刻在正确象限。

当(θ-Ω)得到了,加上Ω就得到θ。如果需要,可把结果转到0到360度。

应记住,根据定义,位置角为0度对应北方向,90度向东,180度向南,270向西。因此,如果0°<θ<180°,在天球的周日运动中,伴星“回绕”主星旋转(译者注:这是天顶的旋转引起的视效果);如果180°<θ<360°,则主星“回绕”伴星旋转。

角度差由下式计算:

ρ = r cos ( v + ω ) / cos (θ - Ω)

例55.a:根据E.Silbernagel(1929),η Coronae Borealis的轨道要素:

P = 41.623年 i = 59°.025 T = 1934.008 Ω = 23°.717 e = 0.2763 ω =219°.907 a = 0".907

试计算历元1980.0时的θ和ρ

我们依次得到:

n = 8.64906 t-T = 1980.0 - 1934.008 = 45.992 M = 397°.788 = 37°.788 E = 49°.897 r = 0".74557 v = 63°.416

tan(θ-Ω) = (-0.500813)/(+0.230440)

θ-Ω = -65°.291 θ = -41°.574 = 318°.4 ρ = 0".411

作为一个练习:计算γVirginis的星历,使用以下轨道要素[1]:

P = 168.68年 i = 148°.0 T = 2005.13 Ω = 36°.9 (2000.0) e = 0.885 ω = 256°.5 a = 3".697

答案:——以下是每隔4年的星历,从1980年开始。位置角θ随时间减小,因为i介于90度到180度。

年 θ(度) ρ(角秒) 1980.0 296.65 3.78 1984.0 293.10 3.43 1988.0 288.70 3.04 1992.0 282.89 2.60 1996.0 274.41 2.08 2000.0 259.34 1.45 2004.0 208.67 0.59 2008.0 35.54 1.04 2012.0 12.72 1.87 最小距离(0".36)出现在历元2005.21。

位置角θ涉及2000.0平赤道,角Ω也是同样的历元。


视轨道的离心率

双星的视轨道是一个椭圆,它的离心率e'一般与真轨道的离心率e不同。我们可能有兴趣知道e',虽然视离心率没有天体物理学意义。

以下公式由作者[2]导出:

A = (1 - e2 cos2ω) cos2 i

B = e2 sin ω cos ω cos i

C = 1 - e2 sin2ω

D = ( A - C )2 + 4B2

e'2 = 2√D / ( A + C +√D )

应注意,e'不受轨道要素a和Ω约束,它可能大于或小于离心率e。

例55.b:计算η Coronae Borealis的视轨道离心率。轨道要素在“例55.a”中已提供。

我们得到:

A = 0.25298 B = 0.01934 C = 0.96858 D = 0.51358

e' = 0.860

因此,视轨道比真轨道偏长。

参考资料

1、W.D.Heintz,"15个可视双星的轨道",《天文学和天体物理学,补编系列》,卷82,第65—69页(1990)。 2、J.Meeus,"双星视轨道离心率",英国Astron杂志,副教授,卷89,第485—488页(8月19/9)。