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+# 第16章 角度差
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+    当赤经和赤纬已知，两个天体间的角距离可由下式计算：
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+  cos(d) = sinδ1 sinδ2 + cosδ1 cosδ2 cos(α1-α2)  ……16.1式
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+  式中α1、δ1是一个天体的赤经和赤纬，α2、δ2是另一个天体的赤经和赤纬。
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+  当天体的黄经λ黄纬β已知，天体角距离公式同样使用上式，只需把α1、α2、δ1、δ2换为λ1、λ2、β1、β2。
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+  当d接近于0或180度时，（16.1）不在适用。因为此时|cos(d)|接近于1，并且其值随d变化很小，所以得到的d不精确。例如：
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+    cos(0°01'00") = 0.999999958
+    cos(0°00'30") = 0.999999989
+    cos(0°00'10") = 0.999999997
+    cos(0°00'00") = 1.000000000
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+  如果角度差非常小，如小于0°00'10"，那么应改用下式计算：
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+  d = √(Δα*cosδ)2+(Δδ)2     ……16.2
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+  式中Δα是两个赤经的差，Δδ是两个赤纬的差，δ是两个赤纬的平均值。应注意，Δα和Δδ应表达为相同的单位。
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+  如果Δα是“小时”单位，Δδ是度单位，d是角秒单位，则公式如下：
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+    d = 3600√ (15*Δα*cosδ)2+(Δδ)2     ……16.3
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+  如果Δα是“时秒”单位，Δδ是角秒单位，d是角秒单位，则公式如下：
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+    d = √(15*Δα*cosδ)2+(Δδ)2          ……16.4
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+  公式(16.2)、(16.3)、(16.4)仅在d很小的时候才适用。
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+  你还可以使用本章末的其它公式。
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+例16.a：计算Arcturus(α Boo)和Spica(α Vir)之间的角距离。这两颗的J2000.0坐标是：
+    α Boo：
+        α1 = 14h 15m 39s.7 =213°.9145
+        δ1 = +19°10'57" = +19°.1825
+    α Vir：
+        α2 = 13h 25m 11s.6 = 201°.2983
+        δ2 = -11°09'41" = -11°.1641 
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+  由公式(16.1)得cos(d) = +0.840633，因此d = 32°.7930 = 32°48'
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+  当然，这个距离是J2000.0时它们的角距离。由于恒星自行，这个距离随时间缓慢变化。
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+练习：计算Aldebaran和Antares的角距离。答案：169°.58'
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+  一个(或二个)天体可能是移动的。例如，一个行星和一个恒星，或者二个行星。在这种情况下，可以写个程序，先对δ1、δ2和α1-α2这三个量进行插值计算，之后再把插值结果代入公式(16.1)或(16.2)算出d。提示：利用插值结果并利用(16.1)式计算d时，如果cos(d)<0.999995，那么可以直接算出d，否则应改用(16.2)式。
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+  译者注：为什么要先对(16.1)式所需的三个量δ1、δ2和α1-α2先做插值处理，而不是直接对距离d进行插值处理？因为，当星体之间的距离很近，接近会合时（比如它们可以会合），我们可以把星体之间的运动看做均速的，就会发现，两线星间是“线性”的靠近然后“线性”的远离，当我们画出“时间——距离”图象，将得到一条"V"字形的图象，这样星体会合时“时间——距离”图象的曲率非常大，插值的精度不高。
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+  练习：使用以下坐标值，计算水星与土星之间的最近距离。
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+  答案：两星体间的最短的角距离是0°03'44"，发生在1978年9月13日 15h 06m.5 TD = 15h 06m UT。
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+  我们看到，达到最近距离时，它们几乎会合了。我们必须强调这个事实，在这种情况下，应先对δ1、δ2和α1-α2进行插值计算，而不能直接对距离进行插值计算出最近距离。
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+  假设我们直接对距离进行插值计算。利用16.1式，我们得到以下距离，单位是度，共5个：
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+1978 9月 12.0 TD d1 = 2.5211度
+1978 9月 13.0    d2 = 0.9917度
+1978 9月 14.0    d3 = 0.5943度
+1978 9月 15.0    d4 = 2.2145度
+1978 9月 16.0    d5 = 3.8710度
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+  很明显，最小距离发生在9月13.0和14.0日之间，并且更接近14.0日一些。
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+  现在，我们使用中间的3个值d2、d3、d4，并利用公式(3.4)计算最小距离为0°.5017 = 0°30'06"。也可以使用5个值d1到d5，利用(3.9)式计算出“更好”的nm，公式(3.9)相应的极值公式是(3.8)式，计算得极值是0°.4865=0°29'11"。
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+  以上两个结果都完全错误。在接近最小距离之前的一小段时间内，水星几乎是直线靠近土星，两星体间的角距离随时线性递减。同样，在达到最近距离之后的一小段时间内，水星以几乎按直线离开土星。
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+  图中实线曲线表示两个星体角距离的真实变化。除了十分靠近最小距离的这段曲线外，两边几乎就是两条直线，一条经过B，另一条经过C和D，在这种情况下，插值将失效。
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+  公式(3.3)、(3.4)和(3.5)，是把函数的部分曲线拟合为抛物线。但是，这几乎是两条直线不是抛线，除非在十分靠近极点的那么小距矩中。
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+  如果我们使用B、C、D三点及它们相应的距离d2、d3、d4，那么利用插值公式(3.3)，我们得到通过这三点的抛物线，如图中的虚线。这条抛物线与真实曲线相差很大，尤其是在它的极值处相差更多。
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+  使用5个值d1到d5，代替3点插值，仍然无济于事。因为实线与4次多项式仍然相差太大。
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+  因此，对距离直接执行插值得不到准确结果。正如我们已经说的，我们应对原始坐标进行插值，只有它们才能准确推算出中间时刻的距离，接下来使用公式(3.8)插值，我们得到以下几个插值因子：
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+n	距离(度)
+-0.50	0.21437
+-0.45	0.14057
+-0.40	0.07790
+-0.35	0.07028
+-0.30	0.12815
+  显然，最小距离对应的n在-0.40到-0.35之间，所以我们可以在这个范围内用更小的间隔来计算角距离：
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+n	距离(度)
+-0.38	0.06408
+-0.37	0.06229
+-0.36	0.06448
+  现在，这个列表的间隔已经足够小，可以使用(3.4)式和(3.5)式了。我们得到最小的距离是 n = -0.370502 时取极值0°.06228 = 0°03'44"，对应的时刻就是上面说到的 9月13.629498 = 9月13日15h 06m.5 TD。
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+  然而，无需计算以上的几个插值因子n，而通过引入直角坐标计算出角距离也是可能的。这些坐标值是u和v,单位是角秒，用下式计算：
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+  式中的α1和δ1是第一个行星的赤经和赤纬，而Δα=α2-α1，Δδ=δ2-δ1，其中α2和δ2是第二个行星的赤经和赤纬。
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+  让我们计算3个等时间间隔的u和v的值。对于其它任意中间时刻，可以使用公式(3.3)插值计算得到，而它们的变化率（单位：角秒/列表时间隔）为：
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+  u' = ( u3 - u1 )/2 + n( u1 + u3 - 2u2 )
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+  式中n是插值因子，u1、u2、u3是u的三个计算值。v'的表达式与上式类似。
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+  插值因子n从任意一个值开始，一个良好的选择是n=0。对于这个n，利用公式(3.3)进行插值得到u和v，进而得到变化率u'和v'。那么n的修正值为：
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+  Δn = -( uu' + vv' )/( u'2 + v'2 )
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+  所以，n的新值是 n+Δn，重复计算n，直到Δn是一个很小的量，例如绝对值小于0.000001。
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+  得到n以后就可再算出u和v，那么最小距离是(单位是角秒)：sqrt(u*u+v*v)。
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+  让我们利用这个方法解决以上提到的水星与土星会合问题。选择3个时刻：1978年9月13.0、14.0、15.0日。我们得到以下u和v的值，保留了一些额外的小数位，以避免舍入误差：
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+  因此Δn=-0.002142，则n修正后： -0.368582 - 0.002142 = -0.370724
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+  再次迭代得到Δn=-0.000003，所以最后n的值是 -0.370724 - 0.000003 = -0.370727。
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+  ［这个值与前面得到的n=-0.370502，因为前面的计算只用了行星的3个位置，而不是5个位置。不过相差只有0.000225日，即19秒］
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+  对于n=-0.370727，我们得到 u = +70".20，v = -212".42，因此两个行星的最小距离是：sqrt(u*u+v*v) = 224" = 3'44"，和前面的一样。
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+  同样的方法可以用于其中一个星体是恒星的情况，只是把恒星的坐标值是个常数。但要注意，恒星的α和δ所涉及的赤道坐标系应与另一个移动星体所用的坐标系相同。（译者注：恒星坐标一般是FK5坐标系的，行星常用的坐标系可能是VSOP87的Date黄道坐标或其它坐标，应注意坐标变换）
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+  如果移动的星体是主行星，给出的是Date分点坐标的视赤经和视赤纬涉，那么恒星坐标值也必须是相对于Date分点坐标系的。如果一个恒星位置坐标取自星库，涉及标准分点坐标(J2000.0赤道坐标)，那么就应考虑恒星自行、岁差、章动及光行差（在第22章还会讲到），把这个坐标转换到Date分点坐标中。
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+  如果移动的星体α和δ，已经是标准分点坐标(天文观测坐标)，那么恒星的α和δ也必须是涉及标准分点坐标的，这时只需考虑恒自行即可。
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+  译者注：插值计算时，几个插值节点的时间间隔很短，通常只用几天或几个小时，这么段的时间内，恒星的位置可以看做不变。但星库中的恒星位置通常是指J2000.0时刻的恒星位置坐标，这个时刻可能与我们计算的时刻相差很多年，此期间，恒星的自行造成恒星的实际位置与星库中的位置不相符，所以要做恒自行修正。
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+可供选择的替代公式
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+  虽然，公式(16.1)是很准确的，但是，从算术计算的角度看来，当d很小时，精度是很糟糕的，这一点在本章开始部分就已经讲到了。正由于这个原因，有几个其它的方法已经被推荐。
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+  其中一中方法是，考虑使用旧的半正矢(hav)函数，它对某些包含小角度的天文计算有很大的帮助，可以保留足够的有效数字。hav定义如下：
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+  havθ = (1-cosθ)/2
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+  余弦公式(16.1)可精确等价于：
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+  hav d = havΔδ + cosδ1 cosδ2 hav Δα    (16.5)
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+  式中Δα = α1 - α2，  Δδ = δ1 - δ2
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+  在使用计算机计算时，我们还可以利用以下恒等式：
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+  havθ = sin2(θ/2)
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+  利用公式(16.5)，在接近180度到0度的整个范围内，角度差可以被计算十分精确。
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+  J.j.Slabinski 提供了另一种方法：
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+  sin2d = (cosδ1 sinΔα)2 + (sinδ2 cos δ1 cosΔα - cosδ2 sinδ1)2
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+  不过，这个公式不能区分补角，例如144度与36度。在d接近90度时，这个公式精度很低。
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+参考文献
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+1、A.Danjon，《Astronomie Generale》，第36页，公式3.2（巴黎 1959）
+2、《天空和望远镜》，卷68，第159页（1984年8月）
+3、《天空和望远镜》，郑69，第158页（1985年2月）
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